新高考数学一轮复习 专项分层精练第26课 平面向量的概念及线性运算（解析版）

第26课平面向量的概念及线性运算（分层专项精练）【一层练基础】一、单选题1．（2023春·重庆酉阳·高一重庆市酉阳第二中学校校考阶段练习）下列说法中正确的是（

）A．单位向量都相等B．平行向量不一定是共线向量C．对于任意向量SKIPIF1<0，必有SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0且SKIPIF1<0与SKIPIF1<0同向，则SKIPIF1<0【答案】C【分析】对于A：根据单位向量的概念即可判断；对于B：根据共线向量的定义即可判断；对于C：分类讨论向量的方向，根据三角形法则即可判断；对于D：根据向量不能比较大小即可判断.【详解】依题意，对于A，单位向量模都相等，方向不一定相同，故错误；对于B，平行向量就是共线向量，故错误；对于C，若SKIPIF1<0同向共线，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0反向共线，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0不共线，根据向量加法的三角形法则及两边之和大于第三边知SKIPIF1<0.综上可知对于任意向量SKIPIF1<0，必有SKIPIF1<0，故正确；对于D，两个向量不能比较大小，故错误.故选：C.2．（2023春·新疆·高一八一中学校考期末）如图，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点E是SKIPIF1<0的三等分点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根据向量的加法法则和减法法则进行运算即可.【详解】SKIPIF1<0故选：B.3．（2023春·江苏连云港·高一校考阶段练习）如图所示，在SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0上靠近A的三等分点，点SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】由向量线性运算的几何意义即可计算【详解】SKIPIF1<0.故选：B4．（2023春·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第四中学校校考阶段练习）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不共线，向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若O，A，B三点共线，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根据O，A，B三点共线，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入整理．【详解】因为O，A，B三点共线，则SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0整理得：SKIPIF1<0又∵向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不共线，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0故选：A．二、多选题5．（2023·全国·高三专题练习）给出下面四个结论，其中正确的结论是（

）A．若线段SKIPIF1<0，则向量SKIPIF1<0B．若向量SKIPIF1<0，则线段SKIPIF1<0C．若向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共线，则线段SKIPIF1<0D．若向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0反向共线，则SKIPIF1<0【答案】AD【分析】A选项，根据SKIPIF1<0得到点B在线段SKIPIF1<0上，进行判断A正确；BC选项，可举出反例；D选项，根据向量线性运算推导出答案.【详解】选项A：由SKIPIF1<0得点B在线段SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0，A正确：选项B；三角形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，但SKIPIF1<0，B错误；对于C：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0反向共线时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，C错误；选项D：SKIPIF1<0,SKIPIF1<0反向共线时，SKIPIF1<0，故D正确．故选：AD．6．（2023·广东·高三专题练习）在SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，下列结论正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的余弦值为SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ABD【分析】求得SKIPIF1<0的长度判断选项A；求得SKIPIF1<0的长度判断选项B；求得SKIPIF1<0的余弦值判断选项C；求得SKIPIF1<0的化简结果判断选项D.【详解】连接PC，并延长交AB于Q，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，选项A:SKIPIF1<0SKIPIF1<0.判断正确；选项B:SKIPIF1<0SKIPIF1<0.判断正确；选项C:SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.判断错误；选项D:SKIPIF1<0.判断正确.故选：ABD7．（2022·全国·高三专题练习）下列说法正确的是（

）A．若SKIPIF1<0为平面向量，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0为平面向量，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影为SKIPIF1<0D．在SKIPIF1<0中，M是AB的中点，SKIPIF1<0＝3SKIPIF1<0，BN与CM交于点P，SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0+SKIPIF1<0，则λ＝2μ【答案】CD【分析】利用向量共线的概念判断A、B，；利用向量数量积的定义可判断C；利用向量共线的推论即可判断D.【详解】A，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与任意向量共线，所以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不一定平行，故A错误；B，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0共面时，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0不共面时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不平行，故B错误；C，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影为SKIPIF1<0，故C正确；D，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，①SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，②由①②可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故D正确.故选：CD三、填空题8．（2023春·上海浦东新·高一校考期中）在SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的数量投影是-2,则SKIPIF1<0的最小值为.【答案】SKIPIF1<0【分析】根据SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的数量投影先求出SKIPIF1<0,取SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,即求SKIPIF1<0的最小值,过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂线即可求得.【详解】解:由题知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的数量投影是-2,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,记SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,若求SKIPIF1<0的最小值即求SKIPIF1<0的最小值,过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂线交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0,此时SKIPIF1<0最小,如图所示:SKIPIF1<0,故答案为:SKIPIF1<09．（2023春·山东菏泽·高一山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）如图,在平行四边形SKIPIF1<0中,点E是CD的中点,点F为线段BD上的一个三等分点,且SKIPIF1<0,若SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【分析】根据题意可知SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,根据平面向量基本定理,将SKIPIF1<0用SKIPIF1<0线性表示,根据两个向量相等即可得SKIPIF1<0的值,进而得出结果.【详解】解:由题知点F为线段BD上的一个三等分点,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0不共线,所以SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0.故答案为:SKIPIF1<0四、解答题10．（2022春·广东茂名·高一校联考阶段练习）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是两个不共线的向量，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）求证：A，B，D三点共线；（2）若SKIPIF1<0，且B，D，F三点共线，求k的值.【答案】（1）证明见解析；（2）12.【分析】（1）通过证明SKIPIF1<0可得结果；（2）由共线定理得SKIPIF1<0，列出关于SKIPIF1<0的方程解出即可.【详解】（1）证明：由已知得SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0与SKIPIF1<0有公共点B，∴A，B，D三点共线．（2）由（1）可知SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，且B，D，F三点共线，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.【二层练综合】一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）已知不共线的平面向量SKIPIF1<0两两所成的角相等，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．3 D．2或3【答案】D【分析】先求出SKIPIF1<0，转化SKIPIF1<0，列方程即可求出.【详解】由不共线的平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两两所成的角相等，可设为θ，则SKIPIF1<0.设|SKIPIF1<0|=m.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或3.所以|SKIPIF1<0|=2或3故选：D二、多选题2．（2023春·高一单元测试）中华人民共和国的国旗图案是由五颗五角星组成，这些五角星的位置关系象征着中国共产党领导下的革命与人民大团结．如图，五角星是由五个全等且顶角为36°的等腰三角形和一个正五边形组成．已知当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则下列结论正确的为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AB【分析】连接DH，AF，CH，BH，利用五角星的结构特征逐项分析判断作答.【详解】对于A，连接DH，如图，由DF=FH，SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，A正确；对于B，连接AF，由SKIPIF1<0得：AF垂直平分DH，而SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，B正确；对于C，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不共线，C不正确；对于D，连接CH，BH，由选项A知，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，则四边形SKIPIF1<0是平行四边形，SKIPIF1<0，D不正确.故选：AB三、填空题3．（2023春·江西宜春·高一校考期中）已知四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点E是SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【分析】如图，分别过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0,垂足分别为SKIPIF1<0,求出SKIPIF1<0，再利用平面向量的线性运算和数量积运算求解.【详解】解：如图，分别过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0,垂足分别为SKIPIF1<0.由题得四边形SKIPIF1<0为等腰梯形，SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.由题得SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0四、解答题4．（2022春·广东茂名·高一校联考阶段练习）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是两个不共线的向量，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）求证：A，B，D三点共线；（2）若SKIPIF1<0，且B，D，F三点共线，求k的值.【答案】（1）证明见解析；（2）12.【分析】（1）通过证明SKIPIF1<0可得结果；（2）由共线定理得SKIPIF1<0，列出关于SKIPIF1<0的方程解出即可.【详解】（1）证明：由已知得SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0与SKIPIF1<0有公共点B，∴A，B，D三点共线．（2）由（1）可知SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，且B，D，F三点共线，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.【三层练能力】一、多选题1．（2023·全国·高一专题练习）定义平面向量的一种运算“SKIPIF1<0”如下：对任意的两个向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，下面说法一定正确的是（

）A．对任意的SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0B．存在唯一确定的向量SKIPIF1<0使得对于任意向量SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0成立C．若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0垂直，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共线D．若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共线，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的模相等【答案】AD【分析】由SKIPIF1<0表示出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，即可判断A；假设存在唯一确定的向量SKIPIF1<0使得对于任意向量SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0成立，即方程组SKIPIF1<0，对任意SKIPIF1<0恒成立，解方程可判断B；若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0垂直，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，分别表示出SKIPIF1<0与SKIPIF1<0即可判断C；若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共线，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，分别表示出SKIPIF1<0与SKIPIF1<0即可判断D.【详解】设向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，对于A，对任意的SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故A正确；对于B，假设存在唯一确定的向量SKIPIF1<0使得对于任意向量SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0成立，即SKIPIF1<0恒成立，即方程组SKIPIF1<0，对任意SKIPIF1<0恒成立，而此方程组无解，故B不正确；对于C，若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0垂直，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，故C不正确；对于D，若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共线，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的模相等，故D正确.故选：AD.【点睛】本题在平面向量的基础上，加以创新，属于创新题，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力.二、填空题2．（2023春·江西九江·高一校考期中）设SKIPIF1<0是平面直角坐标系中关于SKIPIF1<0轴对称的两点，且SKIPIF1<0.若存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0与SKIPIF1<0垂直，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为.【答案】SKIPIF1<0【分析】根据向量的线性运算