湘教版（新教材）七年级上册数学第三章《一次方程（组）》全章教学课件

教

学

课

件湘教版七年级上册数学（新教材）湘教版·七年级上册3.1等量关系和方程情境导入《九章算术》是我国现存最古老的数学经典著作之一.“程，课程也，群物总杂，各列有数，总言其实.令每行为率，二物者再程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程.”——刘徽请试着列式解决下列问题：(1)为进一步推动全民健身，弘扬体育精神，凝聚奋进力量，某地区于今年9月举办了一次中学生篮球联赛.比赛规则为：胜一场得2分，输一场得1分.若某校初中男子篮球队参加了14场比赛，赢了12场，问篮球队一共得了多少分？2×12+1×(14-2)=26(分)(2)如图是一个长方体形状的包装盒示意图，长为1.2m，宽为1m，高为1m，这个长方体的表面积是多少？长方体的表面积=(长×宽+宽×高+长×高)×2(1.2×1+1×1+1.2×1)×2=6.8(m²)探索新知(1)为进一步推动全民健身，弘扬体育精神，凝聚奋进力量，某地区于今年9月举办了一次中学生篮球联赛.比赛规则为：胜一场得2分，输一场得1分.若某校初中男子篮球队参加了14场比赛，共得26分.问：其中蕴含怎样的等量关系？思考胜的场数得分+输的场数得分=总得分还有其他等量关系？胜的场数+输的场数=总场数设该队胜了x

场，则该队输了(14－x

)场.2x+(14－x)=26①如何根据等量关系，列出相应等式？胜的场数得分+输的场数得分=总得分胜的场数+输的场数=总场数(2)如图是一个长方体形状的包装盒示意图，长为1.2m，高为1m，表面积为6.8m2.其中蕴含怎样的等量关系？(长×宽＋宽×高＋长×高)×2=表面积如何根据等量关系，列出相应等式？设包装盒底面的宽是ym，则(1.2×y+y×1+1.2×1)×2=6.8，即

2.4y+2y+2.4=6.8②2.4y+2y+2.4=6.8②2x+(14－x)=26①含有未知数的表示等量关系的等式叫作方程.未知数1.一种商品打八折后售价为208元，问该商品原价是多少？设原价为x元，可列出方程__________.2.小青比她妈妈小27岁，今年她妈妈的年龄正好是小青的4倍，小青今年几岁？设小青今年x岁，可列出方程_________________.0.8x=208x＋27=4x练一练①2x+2=18

⑦4x-3=73.判断下列各式是不是方程，如果不是，请说明理由.②3y-1③3x2-3x-1=0④-2x＜0⑤x-2y=6⑥a

一个未知数，次数是1.只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，这样的方程叫作一元一次方程。说一说2.4y+2y+2.4=6.8②2x+(14－x)=26①每个方程含有几个未知数？每个未知数的次数是多少？2x

+(14－x)=262.4y+2y

+2.4=6.8有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚.

问笼中各有多少只鸡和兔？做一做(1)找出上述趣题中的等量关系；兔的只数＋鸡的只数＝35兔的脚数＋鸡的脚数＝94做一做兔的只数＋鸡的只数＝35兔的脚数＋鸡的脚数＝94(2)适当设未知数，列出一元一次方程.设兔有x

只，则鸡有(35－x)只.4x+2(35－x)=94③从而方程③变成2x+70=94④将方程③左边的多项式整理得4x+(70－2x)=2x+70把方程的左边和右边分别看成多项式，找到一个数，将这个数代入方程，能使左、右两边的多项式的值相等，则这个数就是方程中未知数的一个值.如何找到一个数，使得方程2x+70=94左、右两边的值相等？议一议根据方程中x的实际意义可知，这个数一定是正整数.为什么x是正整数？如何找到一个数，使得方程2x+70=94左、右两边的值相等？议一议估计x的值方程左边的值与方程右边的值94比较第1次估算第2次估算1090小了15100大了第3次估算1396大了第4次估算1294相等第5次估算1192小了如何找到一个数，使得方程2x+70=94左、右两边的值相等？议一议经过估计并代入，只有一个数12符合条件.对于含有一个未知数x的方程，若x用一个数c代入能使方程左、右两边的值相等，这个数c就是这个方程的一个解.记作x=c.如何找到一个数，使得方程2x+70=94左、右两边的值相等？议一议由上可知，12是方程的唯一解，于是上述趣题中兔有12只，鸡有23只.例分别检验x的下列值是否是方程2.5x+318=1068的解.（1）x=300；（2）x=330.解（1）把x用300代入原方程得，左边=2.5×300+318=1068，左边=右边，所以x=300是方程2.5x+318=1068的解.例分别检验x的下列值是否是方程2.5x+318=1068的解.（1）x=300；（2）x=330.（2）把x用330代入原方程得，左边=2.5×330+318=1143，左边≠右边，所以x=330不是方程2.5x+318=1068的解.对于方程2x-6=7x+4，分别检验x=2和x=-2是不是它的解.练一练【课本P98

练习第3题】解：(1)把x用2代入原方程得，左边=2×2-6=-2，右边=7×2+4=18，左边≠右边，所以x=2不是方程2x-6=7x+4的解。解：（2）把x=-2代入原方程得，左边=2×(-2)-6=-10，右边=7×(-2)+4=

-10，左边=右边，所以x=

-2是方程2x

-

6=7x+4的解.【课本P98

练习第3题】对于方程2x-6=7x+4，分别检验x=2和x=-2是不是它的解.课堂练习1.排球场的长比宽多9m，周长是54m，排球场的

宽为多少？列出方程.【课本P98

练习第1题】解：设排球场的宽为xm.(9+x+x)×2=542.估计方程4x+1=61的解.【课本P98

练习第2题】估计x的值方程左边的值与方程右边的值61比较第1次估算第2次估算1041小了2081大了第3次估算1561相等解：经过估计和代入，x=15是方程4x+1=61的解.3.判断下列方程是不是一元一次方程：（1）23–x=–7（2）2a–b=3（3）y+3=6y–9（4）0.32m–（3+0.02m）=0.7（5）x2=1（6）√×√√×√实际问题一元一次方程找等量关系设未知数列方程只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的方程叫做一元一次方程.能使方程左、右两边相等的未知数的值，是这个方程的一个解.课堂总结课后作业1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题.湘教版·七年级上册习题

3.1学而时习之1.有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数有40个头，从下面数有110只脚，问笼中各有多少只兔和多少只鸡？列出方程.兔的脚数＋鸡的脚数=110解：设笼中兔有x只，则鸡有(40－x)只.4x+2(40－x)=110兔的只数＋鸡的只数=40【课本P99习题3.1第1题】2.一种商品打八折后售价为208元，问该商品原价为多少？列出方程.原价×折扣=现价解：设该商品原价x元.80%x=208【课本P99习题3.1第2题】

估计x的值方程左边的值与方程右边的值7比较第1次估计33小了第2次估计65小了第3次估计97相等第4次估计129大了【课本P99习题3.1第3题】4.下面左边的数分别是右边哪个方程的解？

请用线连接起来.2-12.5

x+3=54x+5=12(x+1)=34(x-1)=6【课本P99习题3.1第4题】温故而知新5.小青比她妈妈小27岁，今年她妈妈的年龄正好是小青的4倍，小青今年几岁？列出方程.小青的年龄+27=妈妈的年龄解：设小青今年x岁，则妈妈今年有(x＋27)岁.小青今年的年龄×4=妈妈今年的年龄4x=x+27【课本P99习题3.1第5题】6.如图，有两个圆柱形的水杯，大杯的内径为8cm，小杯的内径为6cm.已知这两个杯子装的水量相等，且小杯中水的高度比大杯中水的高度高7cm，问大杯装的水的高度是多少？列出方程.两个杯子装的水体积相等π·(8÷2)2x=π·(6÷2)2

(x+7)【课本P99习题3.1第6题】单位：cm7.若关于x的方程2x+a=-1的解是x=-4，

则a的值是多少？解：把x用-4代入方程，得

整理，得2×(-4)+a=-1-8+a=-1【课本P99习题3.1第7题】经估计，得a=7课后作业1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题.湘教版·七年级上册第1课时

等式的基本性质3.2等式的基本性质复习导入性质Ⅱ等式两边都乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式两边仍然相等（1）如果a+2=b+7，那么a=________；b+5（2）如果3x=9y，那么x=________；3y在小学，已经学习了等式的基本性质，即：性质Ⅰ

等式两边都加上或减去同一个数，

等式两边仍然相等探索新知（1）方程5x=4x+2的解是多少？思考设数a是方程5x=4x+2的解，则5a=4a+2.5a=4a+2a=2两边同时减去4a因此，2是方程5x=4x+2的唯一解.5x=4x+2x=2两边都减去4x等式的基本性质1：等式两边都加上或减去同一个数（或整式），等式两边仍然相等.符号语言：∵a=b∴a±c=b±c(c可以为一个数或整式)

思考

两边都乘3

x=15

等式的基本性质2：等式两边都乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式两边仍然相等.

(1)由等式的基本性质1可知，等式两边都减去2，y+5得

x+2-2=y+7-2即x=y+5.解：例1(2)由等式的基本性质2可知，等式两边都除以3，y+5即x=3y.3y

例1

(3)由等式的基本性质2可知，等式两边都乘-6，y+5即3x=-2y.-2y3y

例1

练一练【课本P102

练习第1题】（性质1）（性质2）（性质2）（性质1）例2

(1)错误.解：由等式的基本性质1可知，2m-3n+3n=7+3n即2m=7+3n.等式两边都加上3n，得例2

(2)正确.由等式的基本性质2可知，即5(2x-1)=4(4x-2).

等式两边都乘20，得练一练【课本P102

练习第2题】

(1)错误.解：由等式的基本性质2可知，即x+9=3y-3

练一练【课本P102

练习第2题】

(2)错误.由等式的基本性质2可知，即-x+3=-2y+1

课堂练习

D【课本P102

练习第3题】

B3.下列等式变形正确的是()(A)xz=yz，则x=y(B)(m-3)a=(m-3)b，则a=b(C)2mx=3my，则2x=3y(D)(a2+1)x=(a2+1)y，则x=yD4.已知x(m-1)=2(m-1),其中x≠2,则m的值为_____.1课堂总结

等式基本性质2等式两边都乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式两边仍然相等.

等式基本性质1等式两边都加上或减去同一个数（或整式），等式两边仍然相等.课后作业1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题.湘教版·七年级上册第2课时

移项新课导入用合并同类项进行化简:1.20x–12x=________2.x+7x–5x=________4.3y–4y–（–2y）=________3.=________8x3x-yy7x-6x=-57x=6x-5探索新知利用等式的基本性质把下列方程化成x=a的形式：(1)7x=6x-5；解:(1)在7x=6x-5的两边都减去6x，得做一做(2)2x+80=110.7x-6x=6x-5-6xx=-5即7x-6x=-57x=6x-5利用等式的基本性质把下列方程化成x=a的形式：(1)7x=6x-5；(2)在方程2x+80=110的两边都减去80，得做一做(2)2x+80=110.2x+80-80=110-80，2x=30.即在方程2x=30的两边都除以2，得x=15.2x+80=1102x=110-802x+80=1102x=110-807x-6x=-57x=6x-52x+80=1102x=110-80把方程中的某一项改变符号后，从等式的一边移到另一边，方程的这种变形叫作移项.移项要变号注意正确理解移项：(1)所移动的是等式中的项，并且是从等号一边移到等号另一边，而不是在方程的某一边“交换”两项的位置；(4)移项的作用：通过移项，使等号左边仅含未知数的项，等号右边仅含常数的项，使方程更接近x=a的形式.(2)移项时要变号（没有移项的不变号)；(3)移项的依据：等式的性质1；下面方程的移项是否正确？如有错误，请改正.(1)若x-4=8，则x=8-4；(2)若3y=2y+5，则-3y-2y=5；(3)若5x-2=4x+1，则5x-4x=1+2.议一议x=8+4y=5试一试

解：移项合并同类项化系数为1步骤例3

解：移项，得合并同类项，得两边都乘-3，得

课堂练习

解:(1)移项，得5x=8+7合并同类项，得5x=15两边都除以5，得

x=3【课本P104

练习】

(2)移项，得-6x+10x=1-9

合并同类项，得4x=-8两边都除以4，得

x=-2

【课本P104

练习】

【课本P104

练习】

【课本P104

练习】课堂总结把方程中的某一项改变符号后，从等式的一边移到另一边，方程的这种变形叫作移项.移项要变号注意课后作业1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题.湘教版·七年级上册第3课时

去括号和去分母复习导入利用等式的基本性质把下列方程化成x=a的形式：

(1)0.5x–0.7=6.3–0.2x；(2)-2x=-3x+1.解：(1)移项，得0.5x+0.2x=6.3+0.7合并同类项，得0.7x=7两边都除以0.7，得

x=10

(2)移项，得-2x+3x=1合并同类项，得x=1移项变号探索新知如何把方程3(2x+5)=x+5化成x=a的形式？这和我们以往学习的有什么不同？乘法对加法的分配律运用乘法对加法的分配律，将方程中的括号去掉，方程的这种变形叫作去括号.思考3(2x+5)=x+5

3(2x+5)=x+5

6x+15=x+5

去括号注意的事项：(1)如果括号外的因数是负数，去括号后，原括号内各项的符号要改变；(2)去括号时，括号前的数要与括号内的每一项相乘.如何把方程3(2x+5)=x+5化成x=a的形式？3(2x+5)=x+5

解：6x+15=x+5

6x-x=5-155x=-10x=-2去括号移项合并同类项化系数为1步骤：例4

在原方程的两边都乘各个分母的最小公倍数，从而将分母去掉，方程的这种变形叫作去分母.为什么要乘6？例4

去括号，得15x=8x-42，

移项，得15x-8x=-42，

合并同类项，得7x=-42，

两边都除以7，得

x=-6.去括号时，括号前的数要与括号内的每一项相乘.

议一议(1)改正：25x-3(2x-3)=30.例5

解：去分母，得2(3x+1)=7+x

去括号，得6x+2=7+x

移项，得6x-x=7-2合并同类项，得5x=5两边都除以5，得x=1将一元一次方程化成x=a形式的步骤：课堂练习【课本P106

习题3.2第3题】

2(2x+3)=x+5

正确做法如下：

解：(1)去括号，得9x=2x-14移项，得9x-2x=-14合并同类项，得7x=-14两边都除以7，得

x=-2【课本P105

练习】

(3)去括号，得-3x-6=9移项，得-3x=9+6合并同类项，得-3x=15两边都除以-3，得

x=-5(4)去括号，得3-2+x=-1移项，得x=-1-3+2合并同类项，得x=-2

(7)去分母，得25x=3(4x-13)去括号，得25x=12x-39移项，得25x-12x=-39合并同类项，得13x=-39两边都除以13，得

x=-3

课堂总结运用乘法对加法的分配律，将方程中的括号去掉，方程的这种变形叫作去括号.在原方程的两边都乘各个分母的最小公倍数，从而将分母去掉，方程的这种变形叫作去分母.课后作业1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题.湘教版·七年级上册习题 3.2学而时习之1.请在括号中写出下列等式变形的理由.

()等式的性质1(

)()等式的性质2等式的性质1【课本P105

习题3.2第1题】2.利用等式的基本性质把下列方程化成x=a的形式：(1)2-3x=x-4；(2)-2x=-3x+1.解：(1)移项，得

合并同类项，得

两边都除以-4，得

(2)移项，得

合并同类项，得-3x-x=-4-2-4x=-6

-2x+3x=1

x=1【课本P106

习题3.2第2题】

4x+6=x+54x-x=5-63x=-1

【课本P106

习题3.2第3题】4.把下列方程化成x=a的形式：解：(1)去分母，得

移项，得

合并同类项，得

(2)去括号，得

移项，得

合并同类项，得

两边都除以6

，得

【课本P106

习题3.2第4题】

(3)

去分母，得

去括号，得

移项，得

合并同类项，得

两边都除以－11

，得

(4)去分母，得

去括号，得

移项，得

合并同类项，得

温故而知新5.已知2a-b=4，请利用等式的基本性质求下列各式的值.(1)2a-b+2;(2)4a-2b.解：(1)原式=4+2=6(2)原式=2(2a－b)=2×4=8【课本P106

习题3.2第5题】

解：【课本P106

习题3.2第6题】7.把方程化成x=a

的形式.解：去分母，得

去括号，得

移项，得合并同类项，得

两边都除以3.8，得3(2x-0.3)-2(0.6x+0.4)=x+0.56x-0.9-1.2x-0.8=x+0.56x-1.2x-x=0.5+0.9+0.83.8x=2.2【课本P106

习题3.2第7题】课后作业1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题.湘教版·七年级上册第1课时

一元一次方程的解法(一)3.3一元一次方程的解法问题导入

解：去分母，得

去括号，得

移项，得

合并同类项，得

两边都除以5，得

探索新知只含有未知数x的一元一次方程转化为x=a的步骤：去分母去括号移项合并同类项除以未知数系数这也是求方程的解的过程.求方程的解的过程叫作解方程.解方程：4x+3=2x-7.解：移项，得合并同类项，得两边都除以2，得

做一做4x-2x=-7-32x=-10x=-5除特别要求外，这个检殓过程一般不写出来.例1解方程：3(2x-1)=3x+1.

求解下列方程.(1)2x+(14-x)=26；(2)2.4y+2y+2.4=6.8.解：(1)去括号，得2x+14-x=26

移项，得2x-x=26-14

合并同类项，得

x=12做一做

例2

解：去分母，得去括号，得移项，得合并同类项，得

两边都除以3，得2(x+1)+(x-1)=4，2x+2+x-1=4，2x+x=4-2+1，3x=3，x=1.去分母时,方程两边的每一项都要乘各个分母的最小公倍数.1.解下列方程:4x-6=-2x-4；(2)-0.6x+7=1.4x-3；(3)

2(2x-1)-3(4x+3)=7；(4)

3(4x-1)-5(-2x+1)=6x.

课堂练习【课本P108

练习第1题】

(2)移项，得1.4x+0.6x=7+3合并同类项，得2x=10两边都除以2，得

x=5课堂练习1.解下列方程:4x-6=-2x-4；(2)-0.6x+7=1.4x-3；(3)

2(2x-1)-3(4x+3)=7；(4)

3(4x-1)-5(-2x+1)=6x.

【课本P108

练习第1题】

课堂练习1.解下列方程:4x-6=-2x-4；(2)-0.6x+7=1.4x-3；(3)

2(2x-1)-3(4x+3)=7；(4)

3(4x-1)-5(-2x+1)=6x.

【课本P108

练习第1题】

课堂练习1.解下列方程:4x-6=-2x-4；(2)-0.6x+7=1.4x-3；(3)

2(2x-1)-3(4x+3)=7；(4)

3(4x-1)-5(-2x+1)=6x.

【课本P108

练习第1题】

解:(1)去分母，得4(x+1)-3(x-2)=36，去括号，得4x+4-3x+6=36，移项，得4x-3x=36-4-6，合并同类项，得x=26.【课本P108

练习第2题】

【课本P108

练习第2题】课堂小结解一元一次方程的基本步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1.课后作业1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题.湘教版·七年级上册第2课时

一元一次方程的解法(二)探索新知去分母，得去括号，得移项，得合并同类项，得两边都除以7，得解方程：.做一做方程右边为什么要乘10？5(3x-1)-2(-x+2)=10x，15x-5+2x-4=10x，15x+2x-10x=5+4

，7x=9，

例3解方程:0.2(x-2)-0.1(3x+4)=0.3(x+3).解：去括号，得移项，得合并同类项，得

两边都除以-0.4，得0.2x-0.4-0.3x-0.4=0.3x+0.9，0.2x-0.3x-0.3x=0.4+0.4+0.9，-0.4x=1.7，还有其他解法吗？

例3解方程:0.2(x-2)-0.1(3x+4)=0.3(x+3)解：两边同乘以10，得去括号，得移项，得合并同类项，得

两边都除以-4，得解法二：2(x-2)-(3x+4)=3(x+3)，2x-4-3x-4=3x+9，2x-3x-3x=9+4+4，-4x=17，

例4

即要解方程例4

解：由题意可知，要解方程：去分母，得去括号，得移项、合并同类项，得4(x-10)=3x-8，4x-40=3x-8，x=32.

做一做结合上述例题，总结解一元一次方程的基本步骤.解一元一次方程的基本步骤:一元一次方程ax=b(a、b是常数，a≠0)①去分母②去括号③移项④合并同类项⑤化系数为1

课堂练习解：(1)去分母，得去括号，得移项，得

10x-3(3x-1)=610x-9x+3=6x=3【课本P109

练习第1题】2(2x+1)+7(x-1)=284x+2+7x-7=28x=3(2)去分母，得去括号，得移项，得

合并同类项，得两边都除以11，得4x+7x=28-2+711x=33

【课本P109

练习第1题】

4(2x-1)-3(5x+1)=248x-4-15x-3=248x-15x=24+4+3-7x=31

【课本P109

练习第1题】15x-5+2x-4=10x(4)去分母，得去括号，得移项，得合并同类项，得两边都除以7，得5(3x-1)-2(-x+2)=10x15x+2x-10x=4+57x=9

【课本P109

练习第1题】

2(2x-3)+10=5(3x-1)4x-6+10=15x-515x-4x=5+10-611x=9

【课本P109

练习第2题】课堂小结解一元一次方程的基本步骤:一元一次方程ax=b(a、b是常数，a≠0)①去分母②去括号③移项④合并同类项⑤化系数为1

课后作业1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题.湘教版·七年级上册习题 3.3学而时习之1.解下列方程：解：（1）移项，得合并同类项，得

两边都除以3，得

（2）移项，得合并同类项，得

两边都除以0.2，得【课本P110

习题3.3第1题】1.解下列方程：

（3）去括号，得

移项，得合并同类项，得

两边都除以－5，得

（4）去括号，得

移项，得合并同类项，得

两边都除以7，得【课本P110

习题3.3第1题】1.解下列方程：（5）去分母，得去括号，得移项，得合并同类项，得（6）去分母，得去括号，得移项，得合并同类项，得两边都除以11，得【课本P110

习题3.3第1题】解：（1）去分母，得

去括号，得

移项，得合并同类项，得

两边都除以19，得2.解下列方程：【课本P110

习题3.3第2题】（2）去分母，得

去括号，得

移项，得合并同类项，得

两边都除以7，得2.解下列方程：【课本P110

习题3.3第2题】2.解下列方程：（3）去分母，得移项，得合并同类项，得

两边都除以3，得【课本P110

习题3.3第2题】解：（1）去分母，得

去括号，得

移项，得合并同类项，得

两边都除以2，得3.解下列方程：【课本P110

习题3.3第3题】（2）去分母，得

去括号，得

移项，得合并同类项，得

两边都除以-60，得3.解下列方程：【课本P110

习题3.3第3题】3.解下列方程：

（3）去括号，得

移项，得合并同类项，得

两边都除以-0.8，得【课本P110

习题3.3第3题】

【课本P110

习题3.3第4题】5.解方程：.解：去分母，得去括号，得移项，得合并同类项，得温故而知新【课本P110

习题3.3第5题】

【课本P110

习题3.3第6题】7.解方程：解：去中括号，得

去小括号，得

去分母，得移项、合并同类项，得两边都除以5，得

【课本P110

习题3.3第7题】课后作业1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题.湘教版·七年级上册第1课时

一元一次方程的应用(一)3.4一元一次方程的应用新课导入一元一次方程是一种重要的数学模型.利用等量关系建立一元一次方程，可以帮助我们解决一些实际问题.探索新知

一艘轮船在甲、乙两个码头之间航行，顺水航行时需4h，逆水航行时需5h.已知水流速度为2km/h，则轮船在静水中的航行速度是多少？思考小知识轮船顺水航行的速度=轮船在静水中的航行速度+水流速度；

轮船逆水航行的速度=轮船在静水中的航行速度–水流速度.设轮船在静水中的航行速度为x

km/h，则轮船顺水航行的速度为_______km/h，逆水航行的速度为_______km/h.(x+2)(x-2)轮船顺水航行的路程=轮船逆水航行的路程在航行过程中，你还能找到什么等量关系？设轮船在静水中的航行速度为x

km/h，则轮船顺水航行的速度为(x+2)km/h，逆水航行的速度为(x-2)km/h.甲乙顺水航行逆水航行甲乙顺水航行逆水航行轮船顺水航行的路程=轮船逆水航行的路程4h5h(x+2)km/h(x-2)km/h4(x+2)5(x-2)=解得x=18.因此，轮船在静水中的航行速度为18km/h.

1.运动场的跑道一圈长400m.小健练习骑自行车，平均每分钟骑350m；小康练习跑步，平均每分钟跑250m.两人从同一处同时反向出发，经过多少时间首次相遇?练一练例1

某房间里有4条腿的椅子和3条腿的凳子共16把，如果椅子腿数与凳子腿数的和为60，试问：有几张椅子和几把凳子？分析：题目中的等量关系：椅子数＋凳子数＝16，

椅子腿数＋凳子腿数＝60.例1某房间里有4条腿的椅子和3条腿的凳子共16把，如果椅子腿数与凳子腿数的和为60，试问：有几张椅子和几把凳子？解：设有x张椅子，则有(16-x)把凳子.根据题意，得4x+3(16-x)=60.解得x=12.因此，凳子有16-12=4

(把).答：有12张椅子，4把凳子.1.儿子今年13岁，父亲今年40岁，是否有哪一年父亲的年龄恰好是儿子年龄的四倍？为什么？解：设x年后父亲的年龄恰好是儿子年龄的4倍.根据题意，得4（13+x）=40+x.解得x

=–4.即4年前父亲的年龄恰好是儿子年龄的4倍.练一练刺绣是我国民间传统手工艺之一.我国刺绣主要有湘绣、苏绣、蜀绣、粤绣四大类.若刺绣一件作品，甲单独绣需要15天才能完成，乙单独绣需要12天才能完成.现在甲先单独绣1天，接着乙又单独绣4天，剩下的工作由甲、乙两人合绣.试问：再合绣多少天可以完成这件作品？

例2题中有什么等量关系？甲完成的工作量+乙完成的工作量=总工作量刺绣是我国民间传统手工艺之一.我国刺绣主要有湘绣、苏绣、蜀绣、粤绣四大类.若刺绣一件作品，甲单独绣需要15天才能完成，乙单独绣需要12天才能完成.现在甲先单独绣1天，接着乙又单独绣4天，剩下的工作由甲、乙两人合绣.试问：再合绣多少天可以完成这件作品？例2

甲完成的工作量+乙完成的工作量=总工作量一条地下管线由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队单独铺设需要24天.如果由这两个工程队从两端同时施工，要多少天可以铺好这条管线?练一练用流程图总结用一元一次方程解决有关实际问题的具体步骤：实际问题分析问题找出等量关系设出未知数列出方程检验解的合理性解方程做一做这一过程一般包括以下几个步骤：1.审：审题，分析题目中的数量关系；2.设：设适当的未知数，并表示未知量；3.列：根据题目中的数量关系列方程；4.解：解这个方程；5.答：检验并作答.课堂练习【课本P113

练习第1题】1.(1)一个长方形的周长是60cm，且长比宽多5cm，求该长方形的长；解：(1)设长方形的长为xcm，则宽为(x-5)cm.

根据题意，得2x+2(x-5)=60解得x=12.5

答：该长方形的长为12.5cm.

【课本P113

练习第1题】1.(2)一个长方形的周长是60cm，且长与宽的比是3:2，求该长方形的宽.2.足球比赛的记分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.某队在某次比赛中共踢14场球，负了5场，共得19分.问：该队共胜多少场？解：设该队共胜x场，则平了(14-5-x)场.

根据题意，得3x+(14-5-x)=19

解得x=5

答：该队共胜5场.【课本P113

练习第2题】课堂小结用一元一次方程解决有关实际问题的步骤：实际问题分析问题找出等量关系设出未知数列出方程检验解的合理性解方程课后作业1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题.湘教版·七年级上册第2课时

一元一次方程的应用（二）情境导入甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲速度为20

km/h，乙速度为30km/h，出发x小时后，两人相遇.那么甲车行了______km，乙车行了______kmA、B两地相距_________km.若A、B两站间的路程为500km，可得方程______________，求得x=____.20x30x20x+30x20x+30x=50010为进一步感悟雷锋胸怀祖国、服务人民的爱国精神，星期日早晨，小楠和小华分别骑自行车从家里同时出发去参观雷锋纪念馆．探索新知已知他俩的家到雷锋纪念馆的路程相等，并且小楠每小时骑10km，他在上午10时到达，小华每小时骑15km，他在上午9时30分到达.他俩的家到雷锋纪念馆的路程是多少？思考小楠家小华家雷锋纪念馆同时出发，距离相等10km/h上午10时到15km/h上午9时30分到本问题中有什么等量关系？小楠花的时间－小华花的时间=0.5h

时间=路程÷速度

路程=时间×速度

小楠花的时间－小华花的时间=0.5h应用一元一次方程解决问题的步骤：1.审：审题，分析题目中的数量关系；2.设：设适当的未知数，并表示未知量；3.列：根据题目中的数量关系列方程；4.解：解这个方程；5.答：检验并作答.某人骑自行车去工厂上班，若每小时骑10km，可早到6min；若每小时骑8km，就迟到6min，则他家到工厂的路程是_______.练一练8km某校七年级甲班有45人，乙班有39人.现要从甲、乙两班各抽调一些同学去参加“歌唱祖国”歌咏比赛，已知从甲班抽调的人比乙班多1人，此时甲班剩余人数恰好是乙班剩余人数的2倍.请问：从甲、乙两班各抽调了多少人参加歌咏比赛？分析：本题中的等量关系：

(1)甲班抽调的人数-乙班抽调的人数=1；

(2)抽调后甲班剩余人数=乙班剩余人数×2.例3解：设从甲班抽调了x人，那么从乙班抽调了(x-1)人.根据题意，得45-x=2[39-(x-1)].解得x=35.于是，x-1=35-1=34.答：从甲班抽调了35人，从乙班抽调了34人参加歌咏比赛.某校七年级甲班有45人，乙班有39人.现要从甲、乙两班各抽调一些同学去参加“歌唱祖国”歌咏比赛，已知从甲班抽调的人比乙班多1人，此时甲班剩余人数恰好是乙班剩余人数的2倍.请问：从甲、乙两班各抽调了多少人参加歌咏比赛？例3某班部分同学周日到公园游玩，休息时发现路边有若干条长凳，如果每3个同学坐一条长凳，则刚好还剩下一条长凳无人坐；如果每2个同学坐一条长凳，则还剩3个同学没有凳子坐.路边共有多少条长凳?解：设路边共有x条长凳.根据题意，得3(x-1)=2x+3，解得x=6.答：路边共有6条长凳.练一练例4现有树苗若干棵，计划栽在一段公路的一侧，公路的两端各栽1棵，并且相邻两棵树的间隔相等.方案一：如果每隔5m栽1棵，则树苗缺21棵；方案二：如果每隔5.5m栽1棵，则树苗正好用完.根据以上方案，请算出原有树苗的棵数和这段路的长度.观察下面植树示意图，想一想：相邻两树的间隔长、应植树棵数与路长有怎样的数量关系？路长=相邻两树的间隔×(种植的树苗数-1)设原有树苗x棵，由题意可得下表：方案间隔/m种植的树苗数路长/m一5二5.5x+215(x+21-1)x5.5(x-1)方案一和方案二的路长相等吗？设原有树苗x棵，由题意可得下表：方案间隔/m种植的树苗数路长/m一5x+215(x+21-1)二5.5x5.5(x-1)解：设原有树苗x棵，根据题意，得5(x+21-1)=5.5(x-1).解得x=211.因此，原有树苗211棵，这段公路长为

5×(211+21-1)=5×231=1155(m).答：原有树苗211棵，这段公路长1155m.相等练一练1.在一个圆形花坛的外围种植长春花，若每隔0.5m种植1株，最后还剩3株；若每隔0.4m种植1株，还需要购置12株，则原有长春花_____株.632.绿化环境，美化生活.现有树苗若干棵，计划栽在一段公路的一侧，要求路的两端各栽1棵.若每隔2m栽1棵，则树苗缺150棵；若每隔3m栽1棵，则树苗多出50棵.求这段公路的长.

课堂练习1.一队学生步行去参加社会公益活动，每小时走4km，学生甲因故推迟30

min

出发，为赶上队伍，甲以6

km/h的速度追赶，试问：甲用多长时间就可追上队伍?解：设甲用th就可追上队伍，根据等量关系，得4(0.5+t)=6t解得t=1答：甲用1h就可追上队伍.【课本P115

练习第1题】2.某村一条道路一侧装有路灯56盏（两端都有），且相邻两盏灯的距离为30m.为进一步建设美丽乡村，该村计划将该道路的路灯全部更换为亮度更强的节能灯，且相邻两盏灯的距离变为25m，则需要安装节能灯多少盏？路长=相邻两灯的间隔×(路灯的数量-1)本问题中有什么等量关系？【课本P115

练习第2题】解：设需要安装节能灯x盏，根据等量关系，得25×(x-1)=30×(56-1)

解得x=67

答：需要安装节能灯67盏.路长=相邻两灯的间隔×(路灯的数量-1)3.甲、乙两列火车从相距480km的A，B两地同时出发，相向而行，甲火车每小时行驶120km，乙火车每小时行驶100km，经过多长时间两列火车相距40km？课堂小结应用一元一次方程解决问题的步骤：1.审：审题，分析题目中的数量关系；2.设：设适当的未知数，并表示未知量；3.列：根据题目中的数量关系列方程；4.解：解这个方程；5.答：检验并作答.课后作业1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题.湘教版·七年级上册习题 3.4学而时习之

某手工小组计划教师节前做一批手工品赠给老师，如果每人做5个，那么就比计划少2个；

.请问手工小组有几人？（设手工小组有x人）

如果每人做6个，那么比计划多8个【课本P115

习题3.4第1题】2.一架飞机在两个城市之间飞行，顺风飞行时需2.9h，逆风飞行时则需3.1h.已知风速为20km/h，求无风时飞机的航速和这两个城市之间航线的距离.

【课本P115

习题3.4第2题】3.今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数、物价各几何？——《九章算术·盈不足》意思是：几个人一起购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱.问有多少人？物品的价格是多少？

【课本P116

习题3.4第3题】4.检修一台机器，甲、乙小组单独做分别需7.5h，5h就可完成.两小组合做1h后，再由乙小组单独做，还需几小时才能完成这台机器的检修任务？

【课本P116

习题3.4第4题】5.一个两位数的两个数字之和为6，如果将个位数字和十位数字对调后再加上18，仍得原数，求这个两位数.解：设十位上的数字为x，则个位上的数字为(6-x).

根据题意，得(6-x)×10+x+18=10x+(6-x)

解得x=4于是，个位上的数字为6－4=2故这个两位数为42.【课本P116

习题3.4第5题】6.小明的家与小红的家相距20km.小明从家里出发骑自行车去小红家，两人商定小红到时候从家里出发骑自行车去接小明.已知小明骑车的速度13km/h，小红骑车的速度为12km/h.如果小明先走30min，那么小红骑车要走多少小时才能与小明相遇.解：设小红骑车要走th才能与小明相遇.根据题意，得13×(t+0.5)+12t=20解得

t=0.54答：小红骑车要走0.54小时才能与小明相遇.

【课本P116

习题3.4第6题】

解：设重叠部分的面积为x

cm2.

根据题意，得6x+4x-2x=224解得

x=28答：重叠部分的面积为28cm2.温故而知新【课本P116

习题3.4第7题】8.某商场把一种双肩背的书包按进价提高50%标价，然后再按八折出售，这样商场每卖出一个这样的书包就可盈利8元.请问：这种书包的进价是多少元?如果按六折出售，商场还盈利吗？为什么？

【课本P116

习题3.4第8题】课后作业1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题.湘教版·七年级上册3.5认识二元一次方程组情境导入足球比赛的记分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.某队在某次比赛中共踢14场球，负了5场，共得19分.问：该队共胜多少场？解：设该队共胜x场，则平了(14-5-x)

场.根据题意，得3x+(14-5-x)=19

解得x=5于是，平了14-5-5=4(场)假设剩下的场次全踢平14-5=9(场)19-9=10(分)胜了：10÷(3-1)=5（场）平了：14-5-5=4(场)方法一：方法二:探索新知有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚.思考解：设兔有x

只，则鸡有(35－x)只.根据题意，得4x+2(35－x)=94兔的只数＋鸡的只数＝35兔的脚数＋鸡的脚数＝94等量关系：解得x=12于是，鸡有35-12=23(只)有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚.兔的只数＋鸡的只数＝35兔的脚数＋鸡的脚数＝94若设兔有x只，鸡有y只.你能根据两个等量关系列出两个方程吗？x+y=35，4x+2y=94.x+y=35，4x+2y=94.列出的两个方程还是一元一次方程吗？x+y=35，4x+2y=94.含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1，这样的方程叫作二元一次方程.这两个方程和一元一次方程有什么不同吗？注意“一次”是指含未知数的项的次数是1，而不是未知数的次数；方程的左右两边都是整式.练一练1.判断下列方程是不是二元一次方程？(1)x+y=11(2)m+1=2(3)x2+y=5(4)3x-π=11(5)-5x=4y+2(6)7+a=2b+11c

(8)4xy+5=02.若x2m-1+5y3n-2m=7是二元一次方程，则m=________,n=________.11

只含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程组叫作二元一次方程组.未知数x，y必须同时满足上述两个方程，于是将两个方程联立，得

①②练一练

①

②

③

④下列方程组属于二元一次方程组的有_______.(填序号)xy(1)把满足方程①，且符合问题的实际意义的x，y的值填入下表：如果不考虑实际意义，x，y还能取什么值满足方程①？

134233332431530629728827为什么代入的都是整数？······x=-1，y=36/x=0.5，y=34.5/···9261025112412231322做一做一般地，使二元一次方程左右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.一般地，一个二元一次方程有无数组解.

(2)上表中存在哪对x，y的值满足方程②吗？若有，请指出.x12345678910111213···y34333231302928272625242322···x=12，y=23既满足满足方程①，又满足方程②.x=12，y=23是方程①与方程②的公共解.写成(12，23)的形式，它就是上述方程组一个解.

一般地，对于未知数为x，y的二元一次方程组，若x，y分别用数c1，c2代入，能使每个方程左右两边的值相等，则把(c1，c2)叫作这个方程组的一个解.习惯上记作求解方程组的解的过程叫作解方程组.

C练一练

D.有无数个例小玲在文具店买了3本练习本，2支圆珠笔，共花去17元，其中购买练习本比圆珠笔多花1元.设练习本的单价是x元，圆珠笔的单价是y元，

试列出相应的二元一次方程组.分析：本题等量关系：购买练习本所花的钱+购买圆珠笔所花的钱=17元，购买练习本所花的钱-购买圆珠笔所花的钱=1元.例解：(1)根据等量关系，得

①②设练习本的单价是x元，圆珠笔的单价是y元，

试列出相应的二元一次方程组.小玲在文具店买了3本练习本，2支圆珠笔，共花去17元，其中购买练习本比圆珠笔多花1元.例

①②(2)是列出的二元一次方程组的一个解吗？

解：把x用3，y用4分别代入方程①②可得：方程①左边的值是3×3+2×4=17，方程①右边的值也是17；方程②左边的值为3×3-2×4=1，方程②右边的值也是1.

小玲在文具店买了3本练习本，2支圆珠笔，共花去17元，其中购买练习本比圆珠笔多花1元.课堂练习1.一艘轮船顺流航行的速度为24km/h，逆流航行的速度为18km/h.它在静水中的速度为xkm/h，水的流速为y

km/h，请列出相应的二元一次方程组.解：根据题意，得分析：静水中的速度+水流的速度=