2024-2025学年福建省厦门市思明区湖滨中学九年级（上）期中数学试卷VIP

第1页（共1页）2024-2025学年福建省厦门市思明区湖滨中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本大题有10小题，每小题4分，共40分。1．（4分）在0，，﹣2，这四个数中（）A．0 B． C．﹣2 D．2．（4分）有同学预测“小明在校初一乒乓球赛的决赛夺冠的可能性是80%”．则下列理解最合理的是（）A．小明夺冠的可能性较大 B．小明夺冠的可能性较小 C．小明肯定会赢 D．若决赛赛10局，他一定会赢8局3．（4分）关于y＝2（x﹣1）2﹣3（x为任意数）的函数值，下列说法正确的是（）A．最大值是1 B．最小值是1 C．最大值是﹣3 D．最小值是﹣34．（4分）如图，点A，B，C，D为⊙O上的点，则下列四个角中一定等于α的角是（）A．∠C B．∠BAC C．∠BDC D．∠AOD5．（4分）小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，根据题意，下面所列方程正确的是（）A．200（1+x）2＝242 B．200（1﹣x）2＝242 C．200（1+2x）＝242 D．200（1﹣2x）＝2426．（4分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦AB长为8米，轴心O到水面AB的距离为（）A．1米 B．2米 C．3米 D．4米7．（4分）关于y的方程y（y﹣2）＝4（y﹣2），下面解法完全正确的是（）甲乙丙丁整理得：y2﹣6y﹣8＝0a＝1，b＝﹣6，c＝﹣8Δ＝b2﹣4ac＝68x＝＝3±x1＝3+两边同时除以（y﹣2）得到y＝4移项得：y（y﹣2）+4（y﹣2）＝0∴（y﹣2）（y+4）＝0∴y﹣2＝0或y+4＝0∴y1＝2或y2＝﹣4整理得：y2﹣6y+8＝0配方得：∴（y﹣3）2＝1∴y﹣3＝±1∴y1'＝4，y2＝2A．甲 B．乙 C．丙 D．丁8．（4分）已知∠AOB，点P为OA上一点，用尺规作图（）A． B． C． D．9．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：x……﹣10123……y……105212……则当y＞5时，x的取值范围是（）A．0＜x＜4 B．1＜x＜3 C．x＜0或x＞4 D．x＜0或x＞510．（4分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝3，点D在边BC上，CD＝1（其中0＜α≤360）到CE，连接AE，AE为边作▱ABFE，连接DF（）A．5 B． C． D．二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。11．（4分）一辆汽车经过某十字路口，可能直行，也可能向左转或向右转，则直行经过这个十字路口的概率为．12．（4分）若x＝2是一元二次方程x2﹣3x+c＝0的一个根，则c的值为．13．（4分）如图，在△OAB中，A（﹣1，1），B（﹣2，1），若△ABO与△A1B1O1关于某点成中心对称，且A的对应点A1的坐标为（1，﹣1），则B的对应点B1的坐标为．14．（4分）如图，D，E分别是△ABC边AB，AC的中点，DE．若∠AED＝∠BEC，DE＝2．15．（4分）铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，所在圆的圆心C恰好是△ABO的内心，若AB＝2（图中实线部分的长度）＝．（结果保留π）三、解答题：本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（8分）（1）解方程：x2+2x﹣1＝0；（2）解不等式组．18．（8分）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在BC、CD边上，求证：BE＝DF．19．（8分）一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“我”、“爱”、“中”、“国”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别（1）若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“爱”的概率是多少？（2）从中任取一球，不放回，再从中任取一球，求取出的两个球上的汉字能组成“中国”的概率．20．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若BE＝2，BD＝4，求AB长．21．（8分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（﹣3，0），P为第二象限内抛物线上一点．（1）求抛物线的解析式；（2）连接PA，PB，当S△PAB＝6时，求出点P的坐标．22．（10分）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝120°（1）在CD右侧找点E，使得∠DCE＝∠BCA，CE＝CA；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若AB＝4，求AE的长．23．（10分）已知：，．（1）求证：（b+c）2≥12ac；（2）若m，n为整数，且，ac＜0，求24．（12分）根据以下素材，探索完成任务．如何设计滑雪爱好者滑雪轨迹问题？素材1图1是某跳台滑雪场地的截面示意图．平台AB长为1米，平台AB距地面18米．以地面所在直线为x轴，过点B垂直于地面的直线为y轴，建立如图2的平面直角坐标系．已知滑道对应的函数为．素材2运动员（看成点）在BA方向获得速度v米/秒后，从A处向右下飞向滑道（忽略空气阻力）．设运动员飞出时间为t秒，运动员与点A的竖直距离为h米素材3实验表明：h＝6t2，l＝vt．素材4滑雪场规定：滑雪爱好者在飞行的过程中，若5≤x≤7时，飞行的高度与跳台滑道的垂直距离在8～10米的范围内即可获得奖励．问题解决任务1确定滑道形状根据图2，求滑道抛物线的解析式；任务2确定滑雪爱好者与滑道位置关系根据图3，当v＝5，t＝1时任务3确定滑雪爱好者的滑雪方案滑雪爱好者从A处飞出，飞出的路径近似看成函数，若该滑雪爱好者能够获得奖励25．（14分）已知A，B，C，D为⊙O上的四个点，连接AB，AD，BC，CD，＝，∠ADC＝45°．（1）如图1，求证：BC为⊙O的直径；（2）如图2，在直线BD上取点E使得点E在AD的垂直平分线上，连接AE并延长交⊙O于点F．①求证：AF＝BD；②过点O作OM⊥AF于点M，连接BM并延长交直线AD于点N，连接CN．在点D运动的过程中，当A，O，D不在同一条直线上时，若发生变化，请说明理由，请求出∠ANC的度数．

2024-2025学年福建省厦门市思明区湖滨中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题有10小题，每小题4分，共40分。1．（4分）在0，，﹣2，这四个数中（）A．0 B． C．﹣2 D．【解答】解：∵﹣2＜0＜＜，∴最小的数是：﹣6．故选：C．2．（4分）有同学预测“小明在校初一乒乓球赛的决赛夺冠的可能性是80%”．则下列理解最合理的是（）A．小明夺冠的可能性较大 B．小明夺冠的可能性较小 C．小明肯定会赢 D．若决赛赛10局，他一定会赢8局【解答】解：根据题意，有人预测小明夺冠的可能性是80%，A、小明夺冠的可能性较大，符合题意；B、小明夺冠的可能性较小，不符合题意；C、小明不一定会赢，不符合题意；D、若决赛赛10局，说法错误；故选：A．3．（4分）关于y＝2（x﹣1）2﹣3（x为任意数）的函数值，下列说法正确的是（）A．最大值是1 B．最小值是1 C．最大值是﹣3 D．最小值是﹣3【解答】解：∵y＝2（x﹣1）8﹣3，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，﹣7），∴函数有最小值﹣3；故选：D．4．（4分）如图，点A，B，C，D为⊙O上的点，则下列四个角中一定等于α的角是（）A．∠C B．∠BAC C．∠BDC D．∠AOD【解答】解：A、由圆周角定理得：∠C＝∠B＝α；B、∠BAC与∠B的关系不确定；C、∠BDC与∠B的关系不确定；D、由圆周角定理得：∠AOD＝2∠B＝2α；故选：A．5．（4分）小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，根据题意，下面所列方程正确的是（）A．200（1+x）2＝242 B．200（1﹣x）2＝242 C．200（1+2x）＝242 D．200（1﹣2x）＝242【解答】解：根据题意，可列方程：200（1+x）2＝242，故选：A．6．（4分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦AB长为8米，轴心O到水面AB的距离为（）A．1米 B．2米 C．3米 D．4米【解答】解：如图，过点O作OC⊥AB交AB于点C．∵OC⊥AB，AB＝8米，∴AC＝AB＝，在Rt△ACO中利用勾股定理，得OC＝＝．故选：C．7．（4分）关于y的方程y（y﹣2）＝4（y﹣2），下面解法完全正确的是（）甲乙丙丁整理得：y2﹣6y﹣8＝0a＝1，b＝﹣6，c＝﹣8Δ＝b2﹣4ac＝68x＝＝3±x1＝3+两边同时除以（y﹣2）得到y＝4移项得：y（y﹣2）+4（y﹣2）＝0∴（y﹣2）（y+4）＝0∴y﹣2＝0或y+4＝0∴y1＝2或y2＝﹣4整理得：y2﹣6y+8＝0配方得：∴（y﹣3）2＝1∴y﹣3＝±1∴y1'＝4，y2＝2A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【解答】解：甲：原方程整理得：y2﹣6y+8＝0，甲的解法不正确；乙：∵无法确定y﹣2≠8，∴无法在方程的两边同时除以（y﹣2），乙的解法不正确；丙：移项得：y（y﹣2）﹣5（y﹣2）＝0，丙的解法不正确；丁：原方程整理得：y3﹣6y+8＝5，配方得：（y﹣3）2＝3，∴y﹣3＝±1，∴y5＝4，y2＝3，丁的解法完全正确．故选：D．8．（4分）已知∠AOB，点P为OA上一点，用尺规作图（）A． B． C． D．【解答】解：如图所示，∵OM平分∠AOB，∴∠AOM＝∠BOM，又∵PO＝PM，∴∠AOM＝∠PMO，∴∠PMO＝∠BOM，∴PM∥OB．故A选项不符合题意．如图所示，∵OP＝OM，∴∠OPM＝∠OMP．又∵PN平分∠APM，∴∠APN＝∠MPN．据此无法得到判定PN∥OB的条件．故B选项符合题意．如图所示，∵OP＝ON＝PM＝MN，∴四边形OPMN是菱形，∴PM∥OB．故C选项不符合题意．如图所示，根据作图步骤可知，这里作了一个角（∠APM）等于已知角（∠O），∵∠APM＝∠O，∴PM∥OB．故D选项不符合题意．故选：B．9．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：x……﹣10123……y……105212……则当y＞5时，x的取值范围是（）A．0＜x＜4 B．1＜x＜3 C．x＜0或x＞4 D．x＜0或x＞5【解答】解：∵根据表格可知抛物线经过点（1，2），3），∴对称轴为x＝＝2，设抛物线经过点（a，5），则：＝2，观察表格发现：当x＜6时，y随着x的增大而减小，y随着x的增大而增大，∴当y＞5时，x的取值范围是x＜0或x＞5，故选：C．10．（4分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝3，点D在边BC上，CD＝1（其中0＜α≤360）到CE，连接AE，AE为边作▱ABFE，连接DF（）A．5 B． C． D．【解答】解：作平行四边形ABPC，连接PA交BC于点O．∵四边形ABPC是平行四边形，AB＝AC，∴四边形ABPC是菱形，∴PA⊥BC，∵AB＝AC＝3，BC＝4，∴OA＝OP＝，OB＝OC＝2，∵CD＝1，∴OD＝5，∴PD＝＝，∵AB∥PC∥FE，AB＝PC＝FE，∴四边形PCEF是平行四边形，∴PF＝CE＝CD＝1，∴点F的运动轨迹是以P为圆心为半径的圆，∴DF的最大值＝+1，故选：D．二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。11．（4分）一辆汽车经过某十字路口，可能直行，也可能向左转或向右转，则直行经过这个十字路口的概率为．【解答】解：∵一辆汽车经过某十字路口，可能直行，共三种情况，∴直行经过这个十字路口的概率为．故答案为：．12．（4分）若x＝2是一元二次方程x2﹣3x+c＝0的一个根，则c的值为2．【解答】解：把x＝2代入方程x2﹣5x+c＝0，得24﹣3×2+c＝7，解得：c＝2．故答案为：2．13．（4分）如图，在△OAB中，A（﹣1，1），B（﹣2，1），若△ABO与△A1B1O1关于某点成中心对称，且A的对应点A1的坐标为（1，﹣1），则B的对应点B1的坐标为（2，﹣1）．【解答】解：∵A（﹣1，1）的对应点A2的坐标为（1，﹣1），∴△ABO与△A4B1O1关于原点O成中心对称，∴B（﹣3，1）的对应点B1的坐标为（3，﹣1）．故答案为：（2，﹣8）．14．（4分）如图，D，E分别是△ABC边AB，AC的中点，DE．若∠AED＝∠BEC，DE＝24．【解答】解：∵D，E分别是△ABC边AB，∴BC＝2DE＝2×8＝4，DE∥BC，∴∠AED＝∠C，∵∠AED＝∠BEC，∴∠BEC＝∠C，∴BE＝BC＝4，故答案为：7．15．（4分）铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，所在圆的圆心C恰好是△ABO的内心，若AB＝2（图中实线部分的长度）＝8π．（结果保留π）【解答】解：如图，过点C作CM⊥AB于点MAB＝，∵六条等弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，∴∠AOB＝＝60°，∵OA＝OB，∴△AOB是正三角形，∵点O是△AOB的内心，∴∠CAB＝∠CBA＝×60°＝30°，在Rt△ACM中，AM＝，∴AC＝＝2，∴的长为＝π，∴花窗的周长为π×6＝2π．故答案为：8π．三、解答题：本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（8分）（1）解方程：x2+2x﹣1＝0；（2）解不等式组．【解答】解：（1）x2+2x﹣5＝0，x2+3x＝1，x2+4x+1＝1+5，（x+1）2＝5，x+1＝，∴，；（2），解不等式①，得x＜7，解不等式②，得x＞2，所以不等式组的解集是2＜x＜3．18．（8分）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在BC、CD边上，求证：BE＝DF．【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D，在△ABE与△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（AAS），∴BE＝DF．19．（8分）一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“我”、“爱”、“中”、“国”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别（1）若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“爱”的概率是多少？（2）从中任取一球，不放回，再从中任取一球，求取出的两个球上的汉字能组成“中国”的概率．【解答】解：（1）从中任取一个球，球上的汉字刚好是“爱”的概率＝；（2）画树状图为：共有12种等可能的结果，其中取出的两个球上的汉字能组成“中国”的结果数为7，所以取出的两个球上的汉字能组成“中国”的概率＝＝．20．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若BE＝2，BD＝4，求AB长．【解答】（1）证明：∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAC＝∠OAD，∴∠DAC＝∠ODA，∴OD∥AC，∴∠BDO＝∠C＝90°，∵OD是半径，∴BC是⊙O的切线；（2）解：设⊙O的半径为r，则OD＝OE＝OA＝r，AB＝2+2r，由勾股定理得，OB7﹣OD2＝BD2，即（4+r）2﹣r2＝62，解得，r＝3，∴AB＝6+2×3＝8，∴AB的长为8．21．（8分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（﹣3，0），P为第二象限内抛物线上一点．（1）求抛物线的解析式；（2）连接PA，PB，当S△PAB＝6时，求出点P的坐标．【解答】解：（1）将点A（1，0）和点B（﹣8，可得，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x5﹣2x+3；（2）设点P坐标为（m，﹣m7﹣2m+3），∵P为第二象限内抛物线上一点，∴m＜8，﹣m2﹣2m+2＞0，∵A（1，5），0），∴AB＝4，∴S△PAB＝AB•yP＝×4×（﹣m2﹣5m+3）＝6，整理得：m6+2m＝0，解得m2＝﹣2，m2＝5（舍去），∴点P坐标为（﹣2，3）．22．（10分）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝120°（1）在CD右侧找点E，使得∠DCE＝∠BCA，CE＝CA；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若AB＝4，求AE的长．【解答】解：（1）如图，先作∠DCM＝BCA，CA的长为半径画弧，则点E即为所求．（2）连接DE，∵△BCD为等边三角形，∴∠BCD＝60°，BC＝DC，∵∠DCE＝∠BCA，CE＝CA，∴△DCE≌△BCA（SAS），∴DE＝AB＝4，∠CDE＝∠CBA．∵∠ABC+∠BCD+∠CDA+∠BAD＝360°，∠BAD＝120°，∴∠ABC+∠CDA＝180°，∴∠CDE+∠CDA＝180°，∴点A，D，E三点在同一条直线上．∴AE＝AD+DE＝2+5＝6．23．（10分）已知：，．（1）求证：（b+c）2≥12ac；（2）若m，n为整数，且，ac＜0，求【解答】（1）证明：∵，，∴b+c＝a（3m+n），c＝amn，∴（b+c）7﹣12ac＝[a（3m+n）]2﹣12a×amn＝a7（9m2+2mn+n2﹣12mn）＝a2（4m2﹣6mn+n3）＝a2（3m﹣n）7，∵a2≥0，（2m﹣n）2≥0，∴a3（3m﹣n）2≥8，∴（b+c）2﹣12ac≥0，即（b+c）7≥12ac；（2）解：∵，，∴b+c＝a（3m+n），c＝amn，∴b＝a（3m+n）﹣c＝a（3m+n）﹣amn＝a（3m+n﹣mn），∵ac＜2，∴a≠0，b≠0，∴a×amn＜8，∴a2×mn＜0，∴mn＜5，∴m，n异号，∵，∴2（a﹣c）＝b，∴4（a﹣amn）＝a（3m+n﹣mn），即2a（6﹣mn）＝a（3m+n﹣mn），∵a≠0，∴7（1﹣mn）＝（3m+n﹣mn），整理得：mn+5m+n﹣2＝0，∴（m+7）（n+3）＝5，∵m，n为整数，∴或或或，由，解得：，n异号，舍去；由，解得：，n异号，舍去；由，解得：，n异号；由，解得：，n异号，舍去；∴，∴b＝a（8m+n﹣mn）＝a×（12﹣2+8）＝18a，c＝amn＝﹣6a，∴＝＝．24．（12分）根据以下素材，探索完成任务．如何设计滑雪爱好者滑雪轨迹问题？素材1图1是某跳台滑雪场地的截面示意图．平台AB长为1米，平台AB距地面18米．以地面所在直线为x轴，过点B垂直于地面的直线为y轴，建立如图2的平面直角坐标系．已知滑道对应的函数为．素材2运动员（看成点）在BA方向获得速度v米/秒后，从A处向右下飞向滑道（忽略空气阻力）．设运动员飞出时间为t秒，运动员与点A的竖直距离为h米素材3实验表明：h＝6t2，l＝vt．素材4滑雪场规定：滑雪爱好者在飞行的过程中，若5≤x≤7时，飞行的高度与跳台滑道的垂直距离在8～10米的范围内即可获得奖励．问题解决任务1确定滑道形状根据图2，求滑道抛物线的解析式；任务2确定滑雪爱好者与滑道位置关系根据图3，当v＝5，t＝1时任务3确定滑雪爱好者的滑雪方案滑雪爱好者从A处飞出，飞出的路径近似看成函数，若该滑雪爱好者能够获得奖励【解答】解：（1）由题意，点A的坐标为（1，且点A在滑道所在的抛物线上，将x＝1，y＝18代入﹣7+c，解得：c＝，因此滑道对应的函数表达式为y＝x2﹣4x+；（2）当v＝5，t＝1时7＝6，l＝vt＝5×6＝5，当x＝5+3＝6时，y＝2﹣4×6+＝5，因此运动员此时没有落在滑道上；（3）设飞行的高度与跳台滑道的垂直距离为：y′，则y′＝（﹣x2+x+t）﹣（x2﹣4x+）＝﹣）2+t﹣，∵飞行的高度与跳台滑道的垂直距离在8～10米的范围内即可获得奖励，∴2＜t﹣＜10，∴17.7＜t＜19.7，当t＝18或19时，该滑雪爱好者能够获得奖励．25．（14分）已知A，B，