运筹学 第二章 多目标规划

2多目标规划题的解2多目标规划问题的解法标标模模,许许题题优优牵牵涉涉往往个个考考、、。。,,题题变变AttributeDecisioMaki大类前者AttributeDecisioMaki大类前者,基基照照变变量量连连还还划划OODDn)和和准准n,,产产选选择择优优多标策主要指多目标最优化多标策主要指多目标最优化多目标规划对于某问题可以先用多目标规划选出几个备选方案再用多准则决策方法步处理因此这两者既有区别又有联系,。些些,然然后后作作进进,,。析最最优优化化想想萌萌6经经济济学学效效用用6年年法法经经济济研研标标题题,,美美经经济济K和和分分活动分活动分考考虑虑策策题题,标标最最化化题题,将将其其命命“P“Pa””。年年,WW学学规规度首度首量量极极值值及有及有。进入20世纪70年代随着第进入20世纪70年代随着第次多目标决策研讨会召开及这方面专著的问世多目标决策问题工作迅速蓬勃地开到目前为止已取得若干有价值的研究成果一一,,研研展展起起来来、,,。划划及及划划研研在在集集R,,Xn),。然而，在题中然而，在题中衡量个往往难以用需要用很很一一方方案案好好坏坏,个个指指标标来来判判也也就就说说一个以一个以,标标这这往往,,那那,,相相例例几几类类化化。、、糖糖题题场场糖糖及及糖糖,4////““””。。,,5斤斤确确佳佳采采购购。。们们确确题题应应满满足足。,xxxx2,)在在研研什什“佳佳”衡衡量量准准“”,,。:f,:ffxxmm212糖糖量量,f3((xx2x==1m,它它划划题题,。个项设问题的约束条件为=1个项设问题的约束条件为=1nA万n。,预预计计益益bb应应A,?iiiiii2,,2,i=,n0iiff所所“最“最佳佳益益””解解“少“少钱钱””变变个个题题,投投,益益:11(ff个个0-划划题题。【木梁设计问题把横截面为圆形干加工成矩形【木梁设计问题把横截面为圆形干加工成矩形。件件梁梁度度超超,横横截截度度其其。,梁梁量量,低低。x2,。x1→2→m矩矩横横截截梁梁横横截截树树干干,。,梁梁低低还还应应2+2x2/422,((x1xm根根据据题题应应满满足足述述件件:。般般,。,追追追追。,变变量量xx1n11，,xxn)11，,pp若记,,n)表示TFF,,,f)进进化。,,。模模或或)P的、一类。,。把把所所考考,,三三个个第第————。————。其优优层层在在,基基础础在在第2,。。1PPf}P优优层层记记,。。个个立立层层优优量投入量投入。三三类类种种供供选选择择,其其应应益益表表:复复式食产食产量利利素工量)(/)(/小亩)大大-早1稻稻-梗677022大大-早88448833稻稻-米——油油-玉3米米-菜0料料全全3,斤斤。今今优优考考润润和和粮粮食食,考考投投氮氮。。立立变变量量:12种种亩亩22，3xxxxxx2x,,,,)2x2233223311，22，3)3xxxx311，22，3123,,,:料料xx3:=种种亩亩,2,3。根根据据对对排排序序,将将前前个个,,其其,LL1−26x2−,xx1−2x20044PPxxx11+2x3。ff、。。ff00,,p使使各各标标可可建建标标)))fXf0)f)fXf0)fXX=记记XX偏偏ff(())0ii,fXX)≤fi0,,ppffi(X偏偏,pp-((f-f0ddddiidd+dd-=ff(())-ff0ii,d+d+iid-i==,=,pRd虽然去掉了绝对这仍然使求解Rd虽然去掉了绝对这仍然使求解于于XX∈∈fi(Xiidd-ifi0it++-idi•did=0ll+≥≥00dd-≥≥ii))i,i,p))值值运运束束条条件件,,式基础上还,++-~-,,,)),=+=dd+dd+))=-=))1,,,1,p,解解。3)模模。在在此此般般,立立加加权权标标规规划划。号万元套小套计划号~/元市场预万业号万元套小套计划号~/元市场预万业,。。全全8生生单单产值润工时要量要量510套套1机机套万万套套////令令性性))2机机00台万套万元/小小((市场预预))零零和和工工业业性作性作小小226万小元元小小//((测测))x今今在在达达计计划划前前提提,,4,。,4%,。。,产13数及其目标值0X→数及其目标值0X→标标f1(X1号机机11→=0=++0ff2(())1.3f3(Xx123333040f4(X工工f5(X加加过总工时%要f6(X按按市市进行生产22号号00xx200工工业业性性作作工时xx3→ff=26,,为非的目而条件根据决策者标重要性的次序次序可可得该题的分层层划模型模型L−minin[d++d((d+d−+d−+d((d+d−+d++d+dPP(11P2P234P3P578sxx整整xx≥≥001、+23ldi、idi≥i=i=,8由上例可见见,利用偏差变立规划,常常常可不严格区分区分题题标标与与约约将将些些约约束束考考虑虑作作,较较其其值值确确其其优优在在所所行行达达优优优优解解。个个xxxx,,2其其优优往往往往进进行行较较。它它们们值值FFF,。,往往往往存存在在个个对对每每个个优优。将将题题优优解解概概念念平平题题行行。将将划划题题种种解解概概念念及及其其Fi)每i)分量都等于向2对量。即对要至少pfFi)每i)分量都等于向2对量。即对要至少pfF,、先先进进一一,记记f,f)pp222,ffpEpEF1<F2意味着着F每个个分量严格的小于量量F2对对应应对对于于,,均有均有ff1<ff2,pp,ii。(2""FF22量F1量都要或或于向F2应的分分于=…pp均有均有ff1≤ff2""""11iiFF意意着着F每每个个要要于于或或F2应的分量,存在存在FF个分量量要严小于F2应应分分于于均均f1ff2且且存存,,,ii,个0有fi有<i0i可见FF2"等"F1F2""F1≠FXFXxX义义XXXXRR(())FF(XX),X为问MPMPP)的绝对最优解*,对最优解集个个,变变量量对对优优解解例例ff1022X),,f)的,,使12所所有有标标达达最最。但但在在规划题这样样的存存在在设即定义我们先考查什么叫做劣解个可行20设即定义我们先考查什么叫做劣解个可行20p个目标值坏RM,。X0若存在另若存在另一一R,X0对对于于,,均均有有X0))X0XX0X1来来说说劣劣0。X1ppX0pp,00。X。义义,。2RX,,F((X))FF(MP有有解解)P有有解解RpRp,a((PP)有有解解集集合合。,fff1(x))f200xx*xxR*2*2papa3322xX均均有有个个XX,FF((XX)≤FF(X))。""<,。(XRX(XRXf义义33RR,若若存存在在XX∈,使使FFXXFF((称称题题VMP))((P))弱弱有有解解全全体体记记X*Rp,p称称其其VMPMP)解解弱解解合f1(x)ff2xx00RR*44xx,*Rpp任任x。个个x,满满足足……R、较较,pff((x))ff((x)集集RR1,,p)((PP)优优解解集集记记Ri,……,。RR*R*之之,,wp,,p。11定理R是显然的，只需证用反证法证之。效解w均有p满足定理R是显然的，只需证用反证法证之。效解w均有p满足证毕**22paRRwp⊂RR证证R*RRR*pawpX∈R*,X。根根据据有有存存在在Y∈R,使papFFY)<F(X),对对,……,,fi(YfiX)此此YY**此此推推得得X劣劣解解,X∉RpaR,盾盾。而而证证X∈wpRwp,RR*RR*pawpwp。。⊂⊂XRXRYRp盾**理理33Ri,pii=………,pp**i0i,w,p,有有于于均均有有,,ⅆ……,,,ii=i0iXX∈,RR*⊂R*,。。iiiiwp定理证若，故不妨设RRa均有在p0定理证若，故不妨设RRa均有在p0毕*44RRabpaRR*=∅∅论论显显然然成成立立*≠≠∅∅ab。ab。X∈R*b*b，但但XX,必必存存在在某某YYR,papaF(Y(XX)…………少少存存i≤有有00说说X但但盾盾故故必必0i0,,**有有b。证证。xxRf1ff2((x))00x12**,RRx1,2=2x2*RRpa=RwRwp=2x2(R(Rfff1(f2x)R00**xpaR2*图6*RR**,R,R,R(f*例子中并且(f*例子中并且ff1xx)f20*RabR==Rpa*pax*RR2778*在这个在这个,ab≠≠∅,*=R***=R*pa22abab22事实上事实上∅,≠≠aab,pp))RRpp=Ri。1解解8,9。RR2Rpa**R*RRRR3RR1wpp,*RabR∅图ab=ab=RR*R*pa**2RR3pRRab≠≠∅图99单dd、←评评值值dd单单方案djjdjdjjffdj)…,fp(djd)全全序序idijdj之之iiddj;ddi==djdiiddj三三种种情情之之单目标（绝对最单目标（绝对最绝对最优有效解(Par弱、策策优解优解解解有有下下面面种种解解有效解有效解、、数外语语专业业解的型dd1d3d5的意图选择适得模型有效解本章将介用的多特求求解解标标最最,要要根根据据题题和和策策者者,解解法法,求求效效解解或或弱弱。一些些优优化化。进行如下处理令规范化处理,p个个标标先先把把每每然然后后再再。如如,可可把把标fX=…………,p),所所讨讨论论。是用评价函数h是用评价函数hFhf)(hFX)、:(())(()),ffp((P))单单标标题题((Ph[F((XX)]们们。,(())得得PP))((MP有有解解若若连连有有解解,,下面我们将指出当评价某种下面我们将指出当评价某种单调以保F的F)定义上的函数若对于任函数数数hh())有有“,””,可可证证XX*（或（或XXR为此,先pawp两两个个义义义义4设h(F)E上上,若若对于任对于任pF22E,pFF22Ep,均有:hh(()hh(F2))F严严格格单单调调函数。函数。hh(FF义义在在EEp,F1E,FF2E,均有:pp22pp((F))<hh(F))hh(F单单调调。6若在上的严格单调函数E6若在上的严格单调函数EXp)反证法若则XRFX为问题的最优解单调XX理理hhFF义义p,规规划划问题()minh[F(X)]R的最优则X∈∈R*。pa证证用用RR*存存在在YY有有FF(YY)≤≤((。,a∈∈,由h(F)的严格的严格单单调调,FF(YY)]<hh[FX(()])]*与X((pp),X∈RpaR。定理7hh(FF)为定义在EE上上数数题p((p))minRinRFF(X)])]最最优优证明方法方法与定与定雷同。下面介绍两种用的评价函数方法该方法就为各目标权和其中下面介绍两种用的评价函数方法该方法就为各目标权和其中……为相应目标系数线性加下重要…i。法法是是取取评评价价数数函数函数线线性性加加,λλλλ,p权权。权权和和法法步步骤骤如如程度程度系系数数λλλλ,p,p其其0=1,,λiλ将转化为单目标问题(2VM(可以证将转化为单目标问题(2VM(可以证明是的弱有进一数均为，MP0……事实上当时为严格单ihF))((PP))求解(Pλ)得最优X。)),XXVV))解解,XXRR。p步即λ>ipp则**iXpaRpa。,λi>λ00=……,p,(())调,X而而λλ,,pphh(F)ii为单,R。wp*。wp用设其中者认为重量两个标各为用设其中者认为重量两个标各为和0.7==线性加权和)xx例例性性例例3。W=3,3HH==,成本成本权权0033λλλ2。木木梁梁计计,立立模模。mm0xx07(7(22.2.12最优化方法可解最优化方法可解是3)标标,性性束束得得其其最最优优权权X标标题题表表,在在标标本本标标,应应x1()=()x2x))=0理是指pf然很这最近的点理是指pf然很这最近的点即可取评价函数为与的距离，hFf22想想法法、理想点想点一般一般标最优最优f1，,fp组成组成的点F((f*……T。若F*相应的自变量X*pX么当么当理理。我们知道知道,样样X往是不存在在（见)。于是自然想到找然想到找一一F它它(())FFFF*,体体构造构造FF(RR)F*=(f**f2*)T0f平方和加权法是原问题的弱有效解若0V平方和加权法是原问题的弱有效解若0V最小偏差法取取解解标标题题(p)hhF(XX)]λi≥,,X(())MPMP。λiλ,,pp,XP))))标标题题pminhhF(XX)]为避免绝对值运算一般将其转化X为避免绝对值运算一般将其转化XVM给)ff,之之等等价价量量模模p((PP)有有效效p。F*=(f*,,f*),先先求求解解pp,也也可可凭凭经经验验标标0000)')FF=((11，p,((p标标规规划划模模。最后介绍两种确系数的方法的技工干部等）请他如何取权系数发表意见设邀请老手最后介绍两种确系数的方法的技工干部等）请他如何取权系数发表意见设邀请老手设第老手pjjp权权。(:邀邀“老“老”家家、、、,们们对对。k位位=k))位,,,,,,标f标(j=,)λ,标标权权。=,ffX)老λffX)老λ与均值偏ff))数数12手手λλλλ22pp22………kk然然后后计计算算差差λλjj,,pp“”后后再再重重上上述述步步骤骤。(α)if(α)ifR方方法法优解记优解记标标题题fj(X)最最XXii((XXi构构组组,,,ffjj,ii=,ppj=*ab=∅=∅组组有有((λλλλ,pp，αα此此即得权系λλ1,λp,λ确数还可层次分析见本将针对第绍的分目标最优模型本将针对第绍的分目标最优模型介绍般的标分为个优先则可首先束集R对第行按价法进只层选用、一一节节节节层层化化,分分评价法价法和适于分层型层单形设设将将LL层层在在约约上上一一优优先先层进层进,行行标极标极,然后在后在一一优化所化所弱上对第对第二二层层行优然然在第二层优所得的)有效解解集上第三层进三层进优优化化可可证明证明,分分层层评评行行求求解时解时,要要每每一评评价函价函数数是严格增的,则最后所得解必为相应不分层最小化模小化模型型有农题mn[27−43≤农题mn[27−43≤:用用层层法法解解4中的4中的植植ii((0046462082082727LLP.x1x.xx2.xx3，0x−x−3x),22332(50(502+03x3)])]44s.)3))3)f)优优先先层层含含有有利利,求求先先对对作作统统一量量纲纲理理。+=利利润润标标,+/0=24粮粮食食产产量量标标数数,可可得得1f(X=5x2-xx33333fX=xx2-x311设设该该农农户户认认两两个个标标12F1((X=f11((X0f(X=4x2求解线性可得最中m3xx由第一优的最优值构造第求解线性可得最中m3xx由第一优的最优值构造第先层的可行域上R0X规规划划[[FX)])]XXinin优优解解X1=0−00xx))T其其12≤≤333最最优优值值hFX=先先层层二二优优1=XR3xxxx3xx2233在在R'极小极小先先层层()((484844ff3=xx11+xx22+xx3得得解解XX2=(7(7TTXX2有有表表:利润和和粮粮在中度度004他他应应选选择择.方:植方方种种植植方:植还还算算,润=粮粮食食产产量量=量=470=470量=用用量量=)P、将将普普通通适适推推广广,用用解解层层权权和和)用用解解层层应应划划LL,,1L。（迭代方验数满足法同单（迭代方验数满足法同单检验数为行检检下下往往上上先先调调P行行,纯纯形形法法直直至至P行行检检最最优优性性要要求求,,1(验验数数,,22下下行行数数,“”放放。这这样样进进直直至至无无全全检检验验数数有有某某但但其其)例0:层层划划LLmin[PPx11−x22(−x2x2P3Px22x2x33)]t解引入松弛变量将问题转化为标准形式解引入松弛变量将问题转化为标准形式Lm,,x6,iin[n[Pxxxx))xx2xx))12,,P2P2,,3P3(x+xx)]2233t建初始单纯2看行令检验数应的进基3为枢轴得下一张单纯建初始单纯2看行令检验数应的进基3为枢轴得下一张单纯立立表表XXB123456xx44x]x664-1133P1调调整整−对对xxP1P,2,确确5x5,交交叉叉元元元进元进行单行单纯纯形形迭迭代代。形形表表1324枢轴1324枢轴单代张单纯形表Xbxxxxxx66xxxx66P行行仍仍检检验数数−−1应应x,44,以其以其行行纯纯。。一一下下xxxx这时行已满足最优性要求开始调整行令单纯形迭代到下XXBxxx2233446630199163121PPP,2,2对对3进x,其其交交叉叉元元1枢枢轴轴形形表表002x0030此时虽然行还有负检