2025届福建省泉州市安溪一中高三第六次模拟考试数学试卷含解析

2025届福建省泉州市安溪一中高三第六次模拟考试数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．某中学有高中生人，初中生人为了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高生和初中生中抽取一个容量为的样本.若样本中高中生恰有人，则的值为（）A． B． C． D．2．已知函数（其中为自然对数的底数）有两个零点，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．3．已知等差数列的公差为-2，前项和为，若，，为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为，则的最大值为（）A．5 B．11 C．20 D．254．已知抛物线，F为抛物线的焦点且MN为过焦点的弦，若，，则的面积为（）A． B． C． D．5．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D是AB的中点，若，且，则面积的最大值是()A． B． C． D．6．已知实数x，y满足约束条件，若的最大值为2，则实数k的值为（）A．1 B． C．2 D．7．已知函数，若，，,则a，b，c的大小关系是（）A． B． C． D．8．已知，，那么是的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件9．如图，双曲线的左，右焦点分别是直线与双曲线的两条渐近线分别相交于两点.若则双曲线的离心率为（）A． B．C． D．10．已知函数的零点为m，若存在实数n使且，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．11．如图，是圆的一条直径，为半圆弧的两个三等分点，则（）A． B． C． D．12．已知函数，方程有四个不同的根，记最大的根的所有取值为集合，则“函数有两个零点”是“”的（）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在矩形ABCD中，，，点E，F分别为BC，CD边上动点，且满足，则的最大值为________.14．某市高三理科学生有名，在一次调研测试中，数学成绩服从正态分布，已知，若按成绩分层抽样的方式取份试卷进行分析，则应从分以上的试卷中抽取的份数为__________.15．若，i为虚数单位，则正实数的值为______.16．已知正方形边长为，空间中的动点满足，，则三棱锥体积的最大值是______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知各项均为正数的数列的前项和为，且是与的等差中项.（1）证明：为等差数列，并求；（2）设，数列的前项和为，求满足的最小正整数的值.18．（12分）如图，椭圆的左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为，，且，为等边三角形，过点的直线与椭圆在轴右侧的部分交于、两点．（1）求椭圆的标准方程；（2）求四边形面积的取值范围．19．（12分）设复数满足（为虚数单位），则的模为______.20．（12分）已知函数f(x）=xlnx，g(x)=,（1）求f(x)的最小值；（2）对任意，都有恒成立，求实数a的取值范围；（3）证明：对一切，都有成立．21．（12分）传染病的流行必须具备的三个基本环节是：传染源、传播途径和人群易感性.三个环节必须同时存在，方能构成传染病流行.呼吸道飞沫和密切接触传播是新冠状病毒的主要传播途径，为了有效防控新冠状病毒的流行，人们出行都应该佩戴口罩.某地区已经出现了新冠状病毒的感染病人，为了掌握该地区居民的防控意识和防控情况，用分层抽样的方法从全体居民中抽出一个容量为100的样本，统计样本中每个人出行是否会佩戴口罩的情况，得到下面列联表：戴口罩不戴口罩青年人5010中老年人2020（1）能否有的把握认为是否会佩戴口罩出行的行为与年龄有关？（2）用样本估计总体，若从该地区出行不戴口罩的居民中随机抽取5人，求恰好有2人是青年人的概率.附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82822．（10分）已知顶点是坐标原点的抛物线的焦点在轴正半轴上，圆心在直线上的圆与轴相切，且关于点对称.（1）求和的标准方程；（2）过点的直线与交于，与交于，求证：.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

利用某一层样本数等于某一层的总体个数乘以抽样比计算即可.【详解】由题意，，解得.故选：B.【点睛】本题考查简单随机抽样中的分层抽样，某一层样本数等于某一层的总体个数乘以抽样比，本题是一道基础题.2、B【解析】

求出导函数，确定函数的单调性，确定函数的最值，根据零点存在定理可确定参数范围．【详解】，当时，，单调递增，当时，，单调递减，∴在上只有一个极大值也是最大值，显然时，，时，，因此要使函数有两个零点，则，∴．故选：B．【点睛】本题考查函数的零点，考查用导数研究函数的最值，根据零点存在定理确定参数范围．3、D【解析】

由公差d=-2可知数列单调递减，再由余弦定理结合通项可求得首项，即可求出前n项和，从而得到最值.【详解】等差数列的公差为-2，可知数列单调递减，则，，中最大，最小，又，，为三角形的三边长，且最大内角为，由余弦定理得，设首项为，即得，所以或，又即,舍去，，d=-2前项和.故的最大值为.故选：D【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的应用，考查求前n项和的最值问题，同时还考查了余弦定理的应用.4、A【解析】

根据可知,再利用抛物线的焦半径公式以及三角形面积公式求解即可.【详解】由题意可知抛物线方程为,设点点,则由抛物线定义知,,则.由得,则.又MN为过焦点的弦,所以,则,所以.故选：A【点睛】本题考查抛物线的方程应用,同时也考查了焦半径公式等.属于中档题.5、A【解析】

根据正弦定理可得，求出，根据平方关系求出.由两端平方，求的最大值，根据三角形面积公式，求出面积的最大值.【详解】中，，由正弦定理可得，整理得，由余弦定理，得.D是AB的中点，且，，即，即，，当且仅当时，等号成立.的面积，所以面积的最大值为.故选：.【点睛】本题考查正、余弦定理、不等式、三角形面积公式和向量的数量积运算，属于中档题.6、B【解析】

画出约束条件的可行域,利用目标函数的几何意义,求出最优解,转化求解即可.【详解】可行域如图中阴影部分所示，，，要使得z能取到最大值，则，当时，x在点B处取得最大值，即，得；当时，z在点C处取得最大值，即，得（舍去）.故选:B.【点睛】本题考查由目标函数最值求解参数值,数形结合思想,分类讨论是解题的关键,属于中档题.7、D【解析】

根据题意，求出函数的导数，由函数的导数与函数单调性的关系分析可得在上为增函数，又由，分析可得答案．【详解】解：根据题意，函数，其导数函数，则有在上恒成立，则在上为增函数；又由，则；故选：．【点睛】本题考查函数的导数与函数单调性的关系，涉及函数单调性的性质，属于基础题．8、B【解析】

由，可得，解出即可判断出结论．【详解】解：因为，且．，解得．是的必要不充分条件．故选：．【点睛】本题考查了向量数量积运算性质、三角函数求值、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9、A【解析】

易得，过B作x轴的垂线，垂足为T，在中，利用即可得到的方程.【详解】由已知，得，过B作x轴的垂线，垂足为T，故，又所以，即，所以双曲线的离心率.故选：A.【点睛】本题考查双曲线的离心率问题，在作双曲线离心率问题时，最关键的是找到的方程或不等式，本题属于容易题.10、D【解析】

易知单调递增,由可得唯一零点,通过已知可求得,则问题转化为使方程在区间上有解,化简可得,借助对号函数即可解得实数a的取值范围.【详解】易知函数单调递增且有惟一的零点为，所以，∴，问题转化为：使方程在区间上有解，即在区间上有解，而根据“对勾函数”可知函数在区间的值域为，∴.故选D．【点睛】本题考查了函数的零点问题,考查了方程有解问题,分离参数法及构造函数法的应用,考查了利用“对勾函数”求参数取值范围问题,难度较难.11、B【解析】

连接、，即可得到，，再根据平面向量的数量积及运算律计算可得；【详解】解：连接、，，是半圆弧的两个三等分点，，且，所以四边形为棱形，．故选：B【点睛】本题考查平面向量的数量积及其运算律的应用，属于基础题.12、A【解析】

作出函数的图象，得到，把函数有零点转化为与在（2，4]上有交点，利用导数求出切线斜率，即可求得的取值范围，再根据充分、必要条件的定义即可判断．【详解】作出函数的图象如图，由图可知，，函数有2个零点，即有两个不同的根，也就是与在上有2个交点，则的最小值为；设过原点的直线与的切点为，斜率为，则切线方程为，把代入，可得，即，∴切线斜率为，∴k的取值范围是，∴函数有两个零点”是“”的充分不必要条件，故选A．【点睛】本题主要考查了函数零点的判定，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，训练了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，试题有一定的综合性，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

利用平面直角坐标系，设出点E，F的坐标，由可得，利用数量积运算求得，再利用线性规划的知识求出的最大值.【详解】建立平面直角坐标系，如图（1）所示：设，，，即，又，令，其中，画出图形，如图（2）所示：当直线经过点时，取得最大值.故答案为：【点睛】本题考查了向量数量积的坐标运算、简单的线性规划问题，解题的关键是建立恰当的坐标系，属于基础题.14、【解析】

由题意结合正态分布曲线可得分以上的概率，乘以可得.【详解】解：，所以应从分以上的试卷中抽取份.故答案为：.【点睛】本题考查正态分布曲线，属于基础题.15、【解析】

利用复数模的运算性质，即可得答案．【详解】由已知可得：，，解得．故答案为：．【点睛】本题考查复数模的运算性质，考查推理能力与计算能力，属于基础题．16、【解析】

以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴建立空间直角坐标系，设点，根据题中条件得出，进而可求出的最大值，由此能求出三棱锥体积的最大值.【详解】以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴建立空间直角坐标系，则，，，设点，空间中的动点满足，，所以，整理得，，当，时，取最大值，所以，三棱锥的体积为.因此，三棱锥体积的最大值为.故答案为：.【点睛】本题考查三棱锥体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析，（2）最小正整数的值为35.【解析】

（1）由等差中项可知，当时，得，整理后可得，从而证明为等差数列，继而可求.（2），则可求出，令，即可求出的取值范围，进而求出最小值.【详解】解析：（1）由题意可得，当时，，∴，，当时，，整理可得，∴是首项为1，公差为1的等差数列，∴，.（2）由（1）可得，∴，解得，∴最小正整数的值为35.【点睛】本题考查了等差中项，考查了等差数列的定义，考查了与的关系，考查了裂项相消求和.当已知有与的递推关系时，常代入进行整理.证明数列是等差数列时，一般借助数列，即后一项与前一项的差为常数.18、（1）；（2）.【解析】

（1）根据坐标和为等边三角形可得，进而得到椭圆方程；（2）①当直线斜率不存在时，易求坐标，从而得到所求面积；②当直线的斜率存在时，设方程为，与椭圆方程联立得到韦达定理的形式，并确定的取值范围；利用，代入韦达定理的结论可求得关于的表达式，采用换元法将问题转化为，的值域的求解问题，结合函数单调性可求得值域；结合两种情况的结论可得最终结果.【详解】（1），，为等边三角形，，椭圆的标准方程为．（2）设四边形的面积为．①当直线的斜率不存在时，可得，，．②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，，联立得：，，，．，，，，面积．令，则，，令，则，，在定义域内单调递减，．综上所述：四边形面积的取值范围是．【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用问题，涉及到椭圆方程的求解、椭圆中的四边形面积的取值范围的求解问题；关键是能够将所求面积表示为关于某一变量的函数，将问题转化为函数值域的求解问题.19、1【解析】

整理已知利用复数的除法运算方式计算，再由求模公式得答案.【详解】因为，即所以的模为1故答案为：1【点睛】本题考查复数的除法运算与求模，属于基础题.20、(1)(2)（(3)见证明【解析】

（1）先求函数导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律确定函数单调性，最后根据函数单调性确定最小值取法；（2）先分离不等式，转化为对应函数最值问题，利用导数求对应函数最值即得结果；（3）构造两个函数，再利用两函数最值关系进行证明.【详解】（1）当时，单调递减，当时，单调递增，所以函数f(x）的最小值为f(）=；（2）因为所以问题等价于在上恒成立，记则，因为，令函数f(x）在（0,1）上单调递减;函数f(x）在（1，+）上单调递增；即，即实数a的取值范围为（.（3）问题等价于证明由（1）知道，令函数在（0,1）上单调递增；函数在（1，+）上单调递减；所以{，因此，因为两个等号不能同时取得，所以即对一切，都有成立.【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.21、（1）有的把握认为是否戴口