贵州省毕节大方县德育中学2025届高三第三次测评数学试卷含解析

贵州省毕节大方县德育中学2025届高三第三次测评数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A． B． C． D．2．已知抛物线：，点为上一点，过点作轴于点，又知点，则的最小值为（）A． B． C．3 D．53．已知向量，若，则实数的值为（）A． B． C． D．4．已知是虚数单位，则复数（）A． B． C．2 D．5．已知复数满足，其中是虚数单位，则复数在复平面中对应的点到原点的距离为（）A． B． C． D．6．已知双曲线：（，）的右焦点与圆：的圆心重合，且圆被双曲线的一条渐近线截得的弦长为，则双曲线的离心率为（）A．2 B． C． D．37．函数的一个零点在区间内，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．8．的展开式中的系数是（）A．160 B．240 C．280 D．3209．若x，y满足约束条件则z=的取值范围为（）A．[] B．[，3] C．[，2] D．[，2]10．若函数有且仅有一个零点，则实数的值为（）A． B． C． D．11．已知等差数列的前项和为，且，则（）A．45 B．42 C．25 D．3612．若复数（为虚数单位），则的共轭复数的模为（）A． B．4 C．2 D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数，则曲线在点处的切线方程为___________.14．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝kx有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．15．已知为抛物线：的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于、两点，直线与交于、两点，则的最小值为__________．16．函数的图象在处的切线方程为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数（1）若，不等式的解集；（2）若，求实数的取值范围.18．（12分）如图在直角中，为直角，，，分别为，的中点，将沿折起，使点到达点的位置，连接，，为的中点．（Ⅰ）证明：面；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AC＝CB＝C1C＝1，M，N分别是AB，A1C的中点.（1）求证：直线MN⊥平面ACB1；（2）求点C1到平面B1MC的距离.20．（12分）已知等差数列{an}的各项均为正数，Sn为等差数列{an}的前n项和，.（1）求数列{an}的通项an；（2）设bn＝an⋅3n，求数列{bn}的前n项和Tn.21．（12分）某百货商店今年春节期间举行促销活动，规定消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动，随着抽奖活动的有效开展，参与抽奖活动的人数越来越多，该商店经理对春节前天参加抽奖活动的人数进行统计，表示第天参加抽奖活动的人数，得到统计表格如下：123456758810141517（1）经过进一步统计分析，发现与具有线性相关关系．请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（2）该商店规定：若抽中“一等奖”，可领取600元购物券；抽中“二等奖”可领取300元购物券；抽中“谢谢惠顾”，则没有购物券．已知一次抽奖活动获得“一等奖”的概率为，获得“二等奖”的概率为．现有张、王两位先生参与了本次活动，且他们是否中奖相互独立，求此二人所获购物券总金额的分布列及数学期望．参考公式：，，，．22．（10分）某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图1.为了便于设计，可将该礼品看成是由圆及其内接等腰三角形绕底边上的高所在直线旋转180°而成，如图2.已知圆的半径为，设，圆锥的侧面积为.（1）求关于的函数关系式；（2）为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积最大.求取得最大值时腰的长度.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【详解】解：复数i（2+i）＝2i﹣1对应的点的坐标为（﹣1，2），故选：C【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2、C【解析】

由,再运用三点共线时和最小，即可求解.【详解】.故选：C【点睛】本题考查抛物线的定义，合理转化是本题的关键，注意抛物线的性质的灵活运用，属于中档题．3、D【解析】

由两向量垂直可得，整理后可知，将已知条件代入后即可求出实数的值.【详解】解：，，即，将和代入，得出，所以.故选:D.【点睛】本题考查了向量的数量积，考查了向量的坐标运算.对于向量问题，若已知垂直，通常可得到两个向量的数量积为0，继而结合条件进行化简、整理.4、A【解析】

根据复数的基本运算求解即可.【详解】.故选：A【点睛】本题主要考查了复数的基本运算,属于基础题.5、B【解析】

利用复数的除法运算化简z,复数在复平面中对应的点到原点的距离为利用模长公式即得解.【详解】由题意知复数在复平面中对应的点到原点的距离为故选：B【点睛】本题考查了复数的除法运算，模长公式和几何意义，考查了学生概念理解，数学运算，数形结合的能力，属于基础题.6、A【解析】

由已知，圆心M到渐近线的距离为，可得，又，解方程即可.【详解】由已知，，渐近线方程为，因为圆被双曲线的一条渐近线截得的弦长为，所以圆心M到渐近线的距离为，故，所以离心率为.故选：A.【点睛】本题考查双曲线离心率的问题，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的运算能力，是一道容易题.7、C【解析】

显然函数在区间内连续,由的一个零点在区间内,则,即可求解.【详解】由题,显然函数在区间内连续,因为的一个零点在区间内,所以,即,解得,故选:C【点睛】本题考查零点存在性定理的应用,属于基础题.8、C【解析】

首先把看作为一个整体，进而利用二项展开式求得的系数，再求的展开式中的系数，二者相乘即可求解.【详解】由二项展开式的通项公式可得的第项为，令，则，又的第为，令，则，所以的系数是.故选：C【点睛】本题考查二项展开式指定项的系数，掌握二项展开式的通项是解题的关键，属于基础题.9、D【解析】

由题意作出可行域，转化目标函数为连接点和可行域内的点的直线斜率的倒数，数形结合即可得解.【详解】由题意作出可行域，如图，目标函数可表示连接点和可行域内的点的直线斜率的倒数，由图可知，直线的斜率最小，直线的斜率最大，由可得，由可得，所以，，所以.故选：D.【点睛】本题考查了非线性规划的应用，属于基础题.10、D【解析】

推导出函数的图象关于直线对称，由题意得出，进而可求得实数的值，并对的值进行检验，即可得出结果.【详解】，则，，，所以，函数的图象关于直线对称.若函数的零点不为，则该函数的零点必成对出现，不合题意.所以，，即，解得或.①当时，令，得，作出函数与函数的图象如下图所示：此时，函数与函数的图象有三个交点，不合乎题意；②当时，，，当且仅当时，等号成立，则函数有且只有一个零点.综上所述，.故选：D.【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数，考查函数图象对称性的应用，解答的关键就是推导出，在求出参数后要对参数的值进行检验，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.11、D【解析】

由等差数列的性质可知,进而代入等差数列的前项和的公式即可.【详解】由题,.故选:D【点睛】本题考查等差数列的性质,考查等差数列的前项和.12、D【解析】

由复数的综合运算求出，再写出其共轭复数，然后由模的定义计算模．【详解】，．故选：D．【点睛】本题考查复数的运算，考查共轭复数与模的定义，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

根据导数的几何意义求出切线的斜率，利用点斜式求切线方程.【详解】因为，所以，又故切线方程为，整理为，故答案为：【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，属于容易题.14、【解析】由图可知，当直线y＝kx在直线OA与x轴(不含它们)之间时，y＝kx与y＝f(x)的图像有两个不同交点，即方程有两个不相同的实根．15、16.【解析】由题意可知抛物线的焦点，准线为设直线的解析式为∵直线互相垂直∴的斜率为与抛物线的方程联立，消去得设点由跟与系数的关系得，同理∵根据抛物线的性质，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离∴，同理∴，当且仅当时取等号.故答案为16点睛：（1）与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．利用定义可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，可以使运算化繁为简．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径；（2）圆锥曲线中的最值问题，可利用基本不等式求解，但要注意不等式成立的条件．16、【解析】

利用导数的几何意义,对求导后在计算在处导函数的值,再利用点斜式列出方程化简即可.【详解】,则切线的斜率为.又,所以函数的图象在处的切线方程为,即.故答案为：【点睛】本题主要考查了根据导数的几何意义求解函数在某点处的切线方程问题,需要注意求导法则与计算,属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】

（1）依题意可得，再用零点分段法分类讨论可得；（2）依题意可得对恒成立，根据绝对值的几何意义将绝对值去掉，分别求出解集，则两解集的并集为，得到不等式即可解得；【详解】解：（1）若，，则，即，当时，原不等式等价于，解得当时，原不等式等价于，解得，所以；当时，原不等式等价于，解得；综上，原不等式的解集为；（2）即，得或，由解得，由解得，要使得的解集为，则解得，故的取值范围是.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，着重考查等价转化思想与分类讨论思想的综合应用，属于中档题．18、（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）取中点，连结、，四边形是平行四边形，由，，得，从而，，求出，由此能证明．（Ⅱ）以为原点，、、所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．【详解】证明：（Ⅰ）取中点，连结、，∵，，∴四边形是平行四边形，∵，，，∴，∴，∴，在中，，又∵为的中点，∴，又∵，∴．解：（Ⅱ）∵，，，∴，以为原点，、、所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，设，则，，，，∴，，，设面的法向量，则，取，得，同理，得平面的法向量，设二面角的平面角为，则，∴二面角的余弦值为．【点睛】本题考查面面垂直及线面垂直性质定理、线面垂直判定与性质定理以及利用空间向量求线面角与二面角，考查基本分析求解能力，属中档题．19、（1）证明见解析.（2）【解析】

（1）连接AC1，BC1，结合中位线定理可证MN∥BC1，再结合线面垂直的判定定理和线面垂直的性质分别求证AC⊥BC1，BC1⊥B1C，即可求证直线MN⊥平面ACB1；（2）作交于点，通过等体积法，设C1到平面B1CM的距离为h，则有，结合几何关系即可求解【详解】（1）证明：连接AC1，BC1，则N∈AC1且N为AC1的中点；∵M是AB的中点.所以：MN∥BC1；∵A1A⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴A1A⊥AC，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1∥CC，∴AC⊥CC1，∵∠ACB＝90°，BC∩CC1＝C，BC⊂平面BB1C1C，CC1⊂平面BB1C1C，∴AC⊥平面BB1C1C，BC⊂平面BB1C1C，∴AC⊥BC1；又MN∥BC1∴AC⊥MN，∵CB＝C1C＝1，∴四边形BB1C1C正方形，∴BC1⊥B1C，∴MN⊥B1C，而AC∩B1C＝C，且AC⊂平面ACB1，CB1⊂平面ACB1，∴MN⊥平面ACB1，（2）作交于点，设C1到平面B1CM的距离为h，因为MP，所以•MP，因为CM，B1C；B1M，所以所以：CM•B1M.因为，所以，解得所以点，到平面的距离为【点睛】本题主要考查面面垂直的证明以及点到平面的距离，一般证明面面垂直都用线面垂直转化为面面垂直，而点到面的距离常用体积转化来求，属于中档题20、（1）.（2）【解析】

（1）先设等差数列{an}的公差为d（d＞0），然后根据等差数列的通项公式及已知条件可列出关于d的方程，解出d的值，即可得到数列{an}的通项an；（2）先根据第（1）题的结果计算出数列{bn}的通项公式，然后运用错位相减法计算前n项和Tn.【详解】（1）由题意，设等差数列{an}的公差为d（d＞0），则a4a5＝（1+3d）（1+4d）＝11，整理，得12d2+7d﹣10＝0，解得d（舍去），或d，∴an＝1（n﹣1），n∈N*.（2）由（1）知，bn＝an⋅3n•3n＝（2n+1）•3n﹣1，∴Tn＝b1+b2+b3+…+bn＝3×1+5×31+7×32+…+（2n+1）•3n﹣1，∴3Tn＝3×31+5×32+…+（2n﹣1）•3n﹣1+（2n+1）•3n，两式相减，可得：﹣2Tn＝3×1+2×31+2×32+…+2•3n﹣1﹣