2025届广东省番禺区高考数学倒计时模拟卷含解析

2025届广东省番禺区高考数学倒计时模拟卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知向量，且，则m=()A．−8 B．−6C．6 D．82．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A． B．C． D．4．已知命题：是“直线和直线互相垂直”的充要条件；命题：对任意都有零点；则下列命题为真命题的是（）A． B． C． D．5．在中，，，，点，分别在线段，上，且，，则（）．A． B． C．4 D．96．已知函数，若，则的最小值为（）参考数据：A． B． C． D．7．函数满足对任意都有成立，且函数的图象关于点对称，，则的值为（）A．0 B．2 C．4 D．18．若函数，在区间上任取三个实数，，均存在以，，为边长的三角形，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．9．设，则A． B． C． D．10．已知三棱柱()A． B． C． D．11．已知点在双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．12．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值，这就是著名的“徽率”。如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为（）（参考数据：）A．48 B．36 C．24 D．12二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．等腰直角三角形内有一点P，，，，，则面积为______.14．函数（为自然对数的底数，），若函数恰有个零点，则实数的取值范围为__________________.15．已知点是直线上的一点，将直线绕点逆时针方向旋转角，所得直线方程是，若将它继续旋转角，所得直线方程是，则直线的方程是______.16．若实数，满足不等式组，则的最小值为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，点的极坐标为.（1）求的直角坐标方程和的直角坐标；（2）设与交于，两点，线段的中点为，求.18．（12分）已知数列满足．（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，证明：．19．（12分）已知矩阵，且二阶矩阵M满足AMB，求M的特征值及属于各特征值的一个特征向量.20．（12分）已知实数x，y，z满足，证明：.21．（12分）手工艺是一种生活态度和对传统的坚持，在我国有很多手工艺品制作村落，村民的手工技艺世代相传，有些村落制造出的手工艺品不仅全国闻名，还大量远销海外.近年来某手工艺品村制作的手工艺品在国外备受欢迎，该村村民成立了手工艺品外销合作社，为严把质量关，合作社对村民制作的每件手工艺品都请3位行家进行质量把关，质量把关程序如下：（i）若一件手工艺品3位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为A级；（ii）若仅有1位行家认为质量不过关，再由另外2位行家进行第二次质量把关，若第二次质量把关这2位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为B级，若第二次质量把关这2位行家中有1位或2位认为质量不过关，则该手工艺品质量为C级；（iii）若有2位或3位行家认为质量不过关，则该手工艺品质量为D级.已知每一次质量把关中一件手工艺品被1位行家认为质量不过关的概率为，且各手工艺品质量是否过关相互独立.（1）求一件手工艺品质量为B级的概率；（2）若一件手工艺品质量为A,B,C级均可外销，且利润分别为900元，600元，300元，质量为D级不能外销，利润记为100元.①求10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是多少件；②记1件手工艺品的利润为X元，求X的分布列与期望.22．（10分）在平面直角坐标系中，，，且满足（1）求点的轨迹的方程；（2）过，作直线交轨迹于，两点，若的面积是面积的2倍，求直线的方程．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

由已知向量的坐标求出的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案．【详解】∵，又，∴3×4+（﹣2）×（m﹣2）＝0，解得m＝1．故选D．【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题．2、A【解析】

利用已知条件画出几何体的直观图，然后求解几何体的体积．【详解】几何体的三视图的直观图如图所示，则该几何体的体积为：．故选：．【点睛】本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键．3、B【解析】

由题意首先确定几何体的空间结构特征，然后结合空间结构特征即可求得其表面积.【详解】由三视图可知，该几何体为边长为正方体挖去一个以为球心以为半径球体的，如图，故其表面积为，故选：B.【点睛】(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．4、A【解析】

先分别判断每一个命题的真假，再利用复合命题的真假判断确定答案即可.【详解】当时，直线和直线，即直线为和直线互相垂直，所以“”是直线和直线互相垂直“的充分条件，当直线和直线互相垂直时，，解得.所以“”是直线和直线互相垂直“的不必要条件.：“”是直线和直线互相垂直“的充分不必要条件，故是假命题．当时，没有零点，所以命题是假命题．所以是真命题，是假命题，是假命题，是假命题．故选：．【点睛】本题主要考查充要条件的判断和两直线的位置关系，考查二次函数的图象，考查学生对这些知识的理解掌握水平.5、B【解析】

根据题意，分析可得,由余弦定理求得的值，由可得结果.【详解】根据题意，，则在中，又,则则则则故选：B【点睛】此题考查余弦定理和向量的数量积运算，掌握基本概念和公式即可解决，属于简单题目.6、A【解析】

首先的单调性，由此判断出，由求得的关系式.利用导数求得的最小值，由此求得的最小值.【详解】由于函数，所以在上递减，在上递增.由于，，令，解得，所以，且，化简得，所以，构造函数，.构造函数，，所以在区间上递减，而，，所以存在，使.所以在上大于零，在上小于零.所以在区间上递增，在区间上递减.而，所以在区间上的最小值为，也即的最小值为，所以的最小值为.故选：A【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查分段函数的图像与性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.7、C【解析】

根据函数的图象关于点对称可得为奇函数，结合可得是周期为4的周期函数，利用及可得所求的值.【详解】因为函数的图象关于点对称，所以的图象关于原点对称，所以为上的奇函数.由可得，故，故是周期为4的周期函数.因为，所以.因为，故，所以.故选：C.【点睛】本题考查函数的奇偶性和周期性，一般地，如果上的函数满足，那么是周期为的周期函数，本题属于中档题.8、D【解析】

利用导数求得在区间上的最大值和最小，根据三角形两边的和大于第三边列不等式，由此求得的取值范围.【详解】的定义域为，，所以在上递减，在上递增，在处取得极小值也即是最小值，，，，，所以在区间上的最大值为.要使在区间上任取三个实数，，均存在以，，为边长的三角形，则需恒成立，且，也即，也即当、时，成立，即，且，解得.所以的取值范围是.故选：D【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查恒成立问题的求解，属于中档题.9、C【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，然后求解复数的模.详解：，则，故选c.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.10、C【解析】因为直三棱柱中，AB＝3，AC＝4，AA1＝12，AB⊥AC，所以BC＝5，且BC为过底面ABC的截面圆的直径．取BC中点D，则OD⊥底面ABC，则O在侧面BCC1B1内，矩形BCC1B1的对角线长即为球直径，所以2R＝＝13，即R＝11、C【解析】

将点A坐标代入双曲线方程即可求出双曲线的实轴长和虚轴长，进而求得离心率.【详解】将,代入方程得，而双曲线的半实轴，所以，得离心率,故选C.【点睛】此题考查双曲线的标准方程和离心率的概念，属于基础题.12、C【解析】

由开始，按照框图，依次求出s，进行判断。【详解】，故选C.【点睛】框图问题，依据框图结构，依次准确求出数值，进行判断，是解题关键。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

利用余弦定理计算，然后根据平方关系以及三角形面积公式，可得结果.【详解】设由题可知：由，，，所以化简可得：则或，即或由，所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，仔细观察，细心计算，属基础题.14、【解析】

令，则，恰有四个解.由判断函数增减性，求出最小值，列出相应不等式求解得出的取值范围.【详解】解：令，则，恰有四个解.有两个解，由，可得在上单调递减，在上单调递增，则，可得.设的负根为，由题意知，，，，则，.故答案为：.【点睛】本题考查导数在函数当中的应用，属于难题.15、【解析】

求出点坐标，由于直线与直线垂直，得出直线的斜率为，再由点斜式写出直线的方程.【详解】由于直线可看成直线先绕点逆时针方向旋转角，再继续旋转角得到，则直线与直线垂直，即直线的斜率为所以直线的方程为，即故答案为：【点睛】本题主要考查了求直线的方程，涉及了求直线的交点以及直线与直线的位置关系，属于中档题.16、5【解析】

根据题意，画出图像，数形结合，将目标转化为求动直线纵截距的最值，即可求解【详解】画出不等式组，表示的平面区域如图阴影区域所示，令，则.分析知，当，时，取得最小值，且.【点睛】本题考查线性规划问题，属于基础题三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），（2）【解析】

（1）利用互化公式把曲线C化成直角坐标方程，把点P的极坐标化成直角坐标；（2）把直线l的参数方程的标准形式代入曲线C的直角坐标方程，根据韦达定理以及参数t的几何意义可得．【详解】（1）由ρ2得ρ2+ρ2sin2θ＝2，将ρ2＝x2+y2，y＝ρsinθ代入上式并整理得曲线C的直角坐标方程为y2＝1，设点P的直角坐标为（x，y），因为P的极坐标为（，），所以x＝ρcosθcos1，y＝ρsinθsin1，所以点P的直角坐标为（1，1）．（2）将代入y2＝1，并整理得41t2+110t+25＝0，因为△＝1102﹣4×41×25＝8000＞0，故可设方程的两根为t1，t2，则t1，t2为A，B对应的参数，且t1+t2，依题意，点M对应的参数为，所以|PM|＝||．【点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．18、（1）（2）证明见解析【解析】

（1），①当时，，②两式相减即得数列的通项公式；（2）先求出，再利用裂项相消法求和证明.【详解】（1）解：，①当时，．当时，，②由①-②，得，因为符合上式，所以．（2）证明：因为，所以．【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19、特征值为1，特征向量为．【解析】

设出矩阵M结合矩阵运算和矩阵相等的条件可求矩阵M，然后利用可求特征值的另一个特征向量.【详解】设矩阵M＝，则AM＝，所以，解得，所以M＝，则矩阵M的特征方程为，解得，即特征值为1，设特征值的特征向量为，则，即，解得x＝0，所以属于特征值的的一个特征向量为．【点睛】本题主要考查矩阵的运算及特征量的求解，矩阵运算的关键是明确其运算规则，侧重考查数学运算的核心素养.20、见解析【解析】

已知条件，需要证明的是，要想利用柯西不等式，需要的值，发现，则可以用柯西不等式.【详解】，.由柯西不等式得，...【点睛】本题考查柯西不等式的应用，属于基础题.21、（1）（2）①2②期望值为X900600300100P【解析】

（1）一件手工艺品质量为B级的概率为.（2）①由题意可得一件手工艺品质量为D级的概率为，设10件手工艺品中不能外销的手工艺品可能是件，则，则,.由得，所以当时，，即，由得，所以当时，，所以当时，最大，即10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是2件.②由上可得一件手工艺品质量为A级的概率为，一件手工艺品质量为B级的概率为，一件手工艺品质量为C