《工程力学 》课件第9章

第9章剪切与扭转9.1剪切的概念与实用计算

9.2剪切胡克定律与剪应力双生定律9.3扭转的概念

9.4圆轴扭转时的应力与强度计算

9.5圆轴扭转时的变形和刚度计算

思考题

习题

9.1剪切的概念与实用计算

9.1.1剪切和挤压的概念剪切变形是工程实际中常见的一种基本变形，例如，铆钉连接（图9-1）、钢丝钳的销钉（图9-2）、轮毂与轴之间的键连接（图9-3）等。这些联接件的受力和变形可简化为如图9-4所示。其受力特点是：作用于构件两侧面上的合力是一对垂直于杆轴线且大小相等、方向相反、作用线相距很近的力。其变形特点是：杆件的左、右两部分沿两组平行力系交界面之间某一截面m-M处发生相对错动。这种变形形式称为剪切变形，m-m截面称为剪切面。剪切面平行于作用力的作用线，介于构成剪切的二力之间。若构件中只有一个剪切面，则称为单剪，如前面所说的铆钉、键。若构件中有两个剪切面，则称为双剪，如拖车挂钩中螺栓所受的剪切（图9-5）即是双剪的实例。图9-1图9-2图9-3图9-4图9-59.1.2剪切和挤压的实用计算如图9-1所示的铆钉连接，钢板受拉力F作用后又将力传递到铆钉上，而使铆钉的左上侧面和右下侧面受力（图9-1(b)）。这时，铆钉的上、两半部分将沿着外力的方向分别向右和向左移动（图9-1(c)）。当外力足够大时，将会使铆钉剪断，m-m为剪切面。在m-m处截开并取下部为分离体（见图9-6(a)），由静力平衡方程可知，m-m面上一定存在沿截面的内力Q，且Q=F。内力Q称为剪力，它与截面相切。图9-6由于剪力Q在截面上的分布情况很复杂，故工程上通常采用剪力在实验基础上、近似而可供实用的计算方法，即假设它在截面上为均匀分布（大量实践结果表明，这种实用计算能够满足工程实际的要求）。按此假设计算的平均剪应力称为名义剪应力，用τ表示。其计算公式为（9-1）

式中A剪切面面积。为保证铆钉在工作中不被剪断，剪应力应不超过材料的许用剪应力[τ]，即

(9-2)工程中常用材料的许用剪应力，可从有关规范中查得。一般情况下，[τ]与许用应力[σ]之间有如下关系：塑性材料[τ]＝（0.6～0.8）脆性材料[τ]＝（0.8～1.0）如前所述，铆钉在受剪的同时，还承受着挤压，有可能发生挤压破坏。工程上挤压的强度计算也采用实用计算方法，即以实际挤压面的正投影面积Ajy（见图9-6(c)）中的阴影面积为计算挤压面积，用挤压力Pjy(Pjy=F)（图9－6(a)）除以挤压面积Ajy得挤压应力σjy(图9-6(d))，即

（9-3）

为保证铆钉不产生局部挤压塑性变形，必须满足挤压应力不超过许用挤压应力［σjy］，即

（9-4）

式中，［σjy］是材料的许用挤压应力，它是通过挤压破坏实验并考虑一定的安全储备确定的,可以从有关规范中查取。一般情况下，［σjy］与许用拉应力［σ］的关系为：

［σjy］＝（1.5～2.5）［σ］

塑性材料

脆性材料

［σjy］＝（0.9～1.5）［σ］例9-1图9-7(a)所示键连接机构中，已知键长为35mm，其它尺寸如图所示。若键的许用剪应力［τ］=80MPa,许用挤压应力［σjy］=150MPa。设各联接件的材料相同，试求作用于手柄上的P力的容许值。

解（１）受力分析。因整个机构处于平衡状态，由平衡条件∑MO=0,可求得圆轴所传递的扭转力偶矩为

M=P×600以联接部分的键和轴一起作为研究对象（图9-7(b)）,其上的主要作用力有轴上的扭转力偶矩M和手柄对键侧面的挤压力Pc，以及手柄给轴的推力Pa，由平衡条件∑MO=0，可得

或

Pc是作用于键左侧面上半部分的挤压力。再由键（图9-7(c)）的平衡条件可知，作用于键右侧面下半部分的挤压力也为Pc

。

图9-7（２）考虑键的剪切强度条件确定P的容许值。键的受剪面积A=5×35mm2。受剪面上的剪力为Q=Pc=53.5P。由（9-2）式

可得

（３）考虑键的挤压强度条件确定的容许值键的挤压面为它的左侧面上半部分（或右侧面下半部分），其面积为Ajy=35×2.5mm2。由（9-4）式

可得

所以作用于手柄上的的容许值为

9.2剪切胡克定律与剪应力双生定律

在构件受剪部位中的某点K取一微小的正六面体，微体在剪应力作用下产生剪切变形，互相垂直的侧边所夹直角发生微小改变，如图9-8(a)所示。直角的改变量称为角应变或切应变，并用γ表示，单位为rad（弧度）。薄圆管的扭转试验表明（图9-8(b））:当剪应力不超过材料的剪切比例极限τ∝p时，剪应力与切应变成正比，即τ∝γ。图9-8

如果引进比例系数G，

则

τ=Gγ

此关系称为剪切胡克定理。比例系数G称为剪切弹性系数，其值随材料而异，并由试验测定。剪切弹性系数G的量纲与剪应力τ的量纲相同，在国际单位制中，其常用单位为GPa。钢材的剪切弹性系数G=80～84GPa。

图9-9由于我们所研究的受剪构件是平衡的，因此从受剪构件中取出的K点（即正六面体）也应该是平衡的。图9-9是从受剪构件中取出的微体的受力情况，设微体的边长分别为dx、dy和dz。这对大小相等、方向相反的剪力构成一力偶，其矩为τ×dz×dy×dx。然而，由于微体处于平衡状态，因此，在微体的顶面和底面上，也必然存在剪应力τ′，并构成一个矩为τ′×dz×dx×dy的力偶，上述力偶相平衡，即由此得

τ=τ′

上式表明：在微体的两个互相垂直截面上，垂直于截面交线（即微体棱边）的剪应力数值相等，其方向均指向或背离该交线。

此关系称为剪应力双生定理。

9.3扭

转

的

概

念

9.3.1扭转的概念在日常生活及工程实际中，有很多承受扭转的构件。例如汽车转向轴（图9-10），当汽车转向时，驾驶员通过方向盘把力偶作用在转向轴的上端，在转向轴的下端则受到来自转向器的阻力偶作用。当钳工攻螺纹时（图9-11），加在手柄上的两个等值反向的力组成力偶，作用于锥杆的上端，工件的反力偶作用在锥杆的下端。如图9-12所示，桥式起重机的传动轴两端，在工作时受到一对力偶的作用。

图9-10图9-11图9-12上述杆件的受力情况，可以简化为如图9-13所示的计算简图。由此可以看出，扭转杆件的受力特点是：杆件两端受到一对大小相等、转向相反、作用面与轴线垂直的力偶作用。其变形特点是：杆的各横截面都绕轴线发生相对转动。这种变形称为扭转变形。以扭转变形为主的构件称为轴。

图9-139.3.2扭矩１．外力偶矩的计算研究圆轴扭转的强度和刚度问题时，首先要知道作用在轴上的外力偶矩的大小。在工程实际中，作用在轴上的外力偶矩通常并不直接给出，而是已知轴所传递的功率和轴的转速。

从理论力学中知道，功率、转速和力偶矩之间的关系为：

（9-6）

式中：M——外力偶矩拒，单位为牛米（N·m），

P——轴传递的功率，单位为千瓦（Kw）

n——轴的转速，单位为转／分（r／min）

２．扭矩圆轴在外力偶矩的作用下，横截面上将产生内力，用截面法来研究。图9-14(a)所示圆轴AB，在两端受一对大小相等、转向相反的外力偶矩M作用下产生扭转变形，并处于平衡状态。用一假想截面沿m-m处将轴假想切成两段，取其中一段（如左段）为研究对象（图9-14(b)）。因为原来的轴是处于平衡状态的，所以切开后的任意一段也应处于平衡状态。因此，在截面m-m上必然存在一个内力偶矩,这个内力偶矩称为扭矩，用符号Mn表示。图9-14根据平衡条件，如果取右段为研究对象（图9-14(c）），也得到同样的结果。但是，取截面左段与取截面右段为研究对象所求得的扭矩数值相等而转向相反（作用与反作用）。为了使从左、右两段求得同一截面上的扭矩正负号相同，通常对扭矩的正负号作如下规定:按右手螺旋法则，以右手四指表示扭矩的转向，则大拇指的指向离开截面时的扭矩为正（图9－15(a)），大拇指指向截面时的扭矩为负（图9-15(b)）。图9-159.3.3扭矩图若圆轴上同时受几个外力偶作用时，则各段轴截面上的扭矩就不完全相等，这时必须分段来求。为了确定最大扭矩及其所在截面的位置，通常是将扭矩随截面位置变化的规律用一图形表示出来，即以横坐标表示截面位置，以纵坐标表示扭矩，这样的图形称为扭矩图。例9-2传动轴如图9-16所示。已知主动轮A输入功率为PA=36kW，从动轮B、C、D输出功率分别为PB=PC=11kW，PD=14kW，轴的转速为n=300r/min。试画出传动轴的扭矩图。图9-16解

按式（9-6）算出作用于各轮上外力偶的力偶矩大小

将传动轴分为BC、CA、AD三段，先用截面法求出各段的扭矩。在BC段内，以Mn1表示横截面1-1上的扭矩，并设扭矩的方向为正。由平衡方程即得

式中，负号表示扭矩Mn1的实际方向与假设方向相反。可以看出，在BC段内各横截面上的扭矩均为Mn1。在CA段内，设截面2-2的扭矩为Mn2，得式中，负号表示扭矩Mn2的实际方向与假设方向相反。在AD段内，扭矩Mn3由截面3-3的右段的平衡求得，即以横坐标表示横截面的位置，纵坐标表示相应横截面上的扭矩，画出扭矩大小随截面位置变化的图线，即BD段的扭矩图如图9-6(e)所示。从图中可以看出，在CA段内有最大扭矩|Mn|max=700N·m。9.4圆轴扭转时的应力与强度计算

9.4.1圆轴扭转时横截面上的剪应力

1．实验观察为了观察圆轴的扭转变形，在圆轴表面上画出许多间距很小的纵向线和垂直于杆轴线的圆周线，如图9-17(a)所示。在两端外力偶矩作用下，使轴产生扭转变形，如图9-17(b)所示。可以观察到下列现象：

(1)各圆周线均绕轴线相对旋转过一个角度，但形状、大小及相邻两圆周线之间的距离均无变化。

图9-17

(2)所有纵向线仍保持为直线，但都倾斜了一个微小角度γ，使圆轴表面的小矩形变为平行四边形。根据上述现象，可得出关于圆轴扭转的基本假设：圆轴扭转变形后，轴的横截面仍保持为平面，形状和大小均不变，半径也保持为直线。这就是圆轴扭转时的平面假设。按照这一假设，在扭转变形中，圆轴的横截面就像刚性平面一样，绕轴线旋转了一个角度。由此可见，横截面上只存在垂直于半径方向的剪应力。纵向线倾斜的角度γ表达了轴变形的剧烈程度，即为轴的切应变。

２．变形的几何关系

为了确定横截面上的剪应力，先用相邻两横截面1-1和2-2在圆轴上截取出微段dx，如图9-18所示。横截面2-2相对于横截面1-1转过的微小角度等于截面上半径Oｄ转过的微小角度dφ,如图9-18(b)所示。圆轴表面的圆周线和纵向线所构成方格的左右两边cd和ab发生相对错动，在横截面上距圆心为ρ的任一点e随Oa移到e′点，则

式中，γ为圆轴表面上点的剪应变，对于给定的某一截面来说为常量;γρ为距圆心为ρ的点的剪应变。将两式左右相比：

于是

上式表明，横截面上任意一点的剪应变γρ与该点到圆心的距离成正比，如图9－18(c)所示。

图9-18

３．物理关系上面已经求出横截面上任意点的剪应变。根据剪切胡克定律，横截面上距圆心为ρ的任意点处的剪应力τρ与该点处的剪应变γρ成正比，即式中，G为材料的剪切弹性模量。将胡克定律代入上式，得

(9-7)上式表明:截面上某点的剪应力的大小与该点到圆心的距离ρ成正比，圆心处的剪应力为零，周边上的剪应力最大；在半径为ρ的同一圆周上各点的剪应力相等。圆轴横截面上剪应力沿半径的分布规律如图9-19所示，其方向垂直于半径，转向和扭矩方向一致。

图9-19

4．静力学关系圆轴扭转时，平衡外力偶矩的扭矩是由横截面上的应力所组成的内力偶矩。设距圆心为ρ处的剪应力τρ，在此处取一微面积dA，如图9-20所示。由于在横截面上任一点处的剪应力方向垂直于半径，因此，微面积dA上的微内力系的合力为τρdA，它对圆心的微力距为ρτρdA，横截面上这些微力矩的总和应等于该截面上的扭矩，即图9-20将

代入,式中，τ为横截面外圆轴上某点的剪应力，故为最大剪应力τmax，在给定的情况下是常量，得式中,IP为一个取决于横截面尺寸的几何量，称为横截面对形心的极惯性矩，单位为mm4或cm4，对于一个已知截面，IP是常数，因此上式可以写成

将上式代入式(9-7)，

得到横截面上距圆心为ρ的任一点处的剪应力计算公式为

式中:Mn——横截面上的扭矩；

ρ——横截面上任一点至圆心的距离；

IP——横截面对形心的极惯性矩。当ρ=R时，

剪应力取得最大值τmax:WP称为抗扭截面系数，是表示圆轴抵抗扭转破坏能力的一个几何量，取决于横截面的大小和形状。9.4.2极惯性矩和抗扭截面系数对于实心圆轴，

(9-8)(9-9)

对于空心圆轴，设内、外径之比α=d/D,(9-10)(9-11)9.4.3扭转强度计算圆轴扭转时，产生最大剪应力的横截面，称为危险截面。考虑到轴横截面上剪应力的分布，可知危险截面上的应力大小和该点到圆心的距离成正比。所以在横截面上存在危险点，即应力值最大的点。为保证圆轴具有足够的扭转强度，轴的危险点的工作应力τmax不应超过材料的许用剪应力［τ］，故圆轴扭转的强度条件为(9-12)

式中,Mnmax和WP分别为危险截面上的扭矩和抗扭截面系数。在常温、静载作用下，许用剪应力与许用拉应力之间有如下近似关系：塑性材料［τ］=（0.6～0.8）［σ］脆性材料［τ］=（0.8～1.0）［σ］应用强度条件解决问题的基本思路是：先由扭矩图、截面尺寸确定危险点，然后考虑材料的力学性质应用强度条件进行计算。扭转强度条件也可以解决三类问题：强度校核、截面设计和确定许用荷载。

例9-3由无缝钢管制成的汽车传动轴AB，外径D=90mm，壁厚t=2.5mm，材料为45钢，许用剪应力［τ］=60MPa，工作时最大外扭矩M=1.5kN·m。（１）试校核AB轴强度。（２）如将AB轴改为实心轴，试在相同条件下确定轴的直径。

（３）

比较实心轴和空心轴的重量。

解（１）校核AB轴的强度。由已知条件可得

则

故AB轴满足强度要求。

（２）确定实心轴的直径。若实心轴与空心轴的强度相同，则两轴的抗扭截面系数必相等。设实心轴的直径为D1，则有

得

（３）比较空心轴和实心轴的重量。两轴的材料和长度相同，则它们的重量比就等于面积比。

设A1为实心轴的截面面积，A2为空心轴的截面面积，

则有

故

计算结果说明，在强度相同的情况下，空心轴的重量仅为实心轴重量的31％，节省材料的效果明显。这是因为剪应力沿半径呈线性分布，圆心附近处的应力较小，材料未能充分发挥作用。

改为空心轴相当于把轴心处的材料移向边缘，从而提高了轴的强度。

例9-4阶梯轴如图9-21(a)所示，M1=5kN·m，M2=3.2kN·m，M3=1.8kN·m，材料的许用剪应力［τ］=60MPa。校核该轴的强度。

解绘制阶梯轴的扭矩图如图9-21(b)所示。因两段的扭矩、直径各不相同，故需要分别校核。

AB段：

故

图9-21在求τmax时，Mn1取绝对值，其正负（转向）对计算结果没有影响。

BC段：

故

可见，最大剪应力发生在扭矩较小的BC段。由于τmax=73.4MPa≥［τ］，因此AC轴的强度不够。9.5圆轴扭转时的变形和刚度计算

9.5.1圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形是用两个横截面间绕轴线的相对扭转角φ来度量的。对于外力偶矩为常量的等截面圆轴，由于其变形很小，由变形的几何关系Rφ=lγ可得将胡克定律

代入，得

(9-13)这就是扭转角的计算公式，单位为弧度（rad）。由此可见,扭转角φ与扭矩Mn和轴的长度l成正比，与GIP成反比。GIP反映了圆轴抵抗扭转变形的能力，称为圆轴的抗扭刚度。如果两截面之间的扭矩值Mn有变化，或轴的直径或材料不同，那么应该分段计算各段的扭转角，然后叠加。9.5.2扭转刚度计算轴类零件除应满足强度要求外，还应满足刚度要求，即不允许轴有过大的扭转变形。例如：车床的丝杠若扭转角过大，则会影响车刀进给，从而降低加工精度；发动机的凸轮轴扭转角过大，会影响气阀开关的时间；镗床的主轴或磨床的传动轴若扭转角过大，则将引起扭转振动，影响工件的加工精度和表面粗糙度。所以，轴还应满足刚度要求。工程中常常采用单位长度的扭转角θ来衡量轴扭转变形的程度，即在扭转角表达式中消除长度l的影响:其单位为弧度／米（rad/m）。

为了保证轴的刚度，通常规定单位长度扭转角的最大值θmax不应超过某个规定的许用值，即轴单位长度的许用扭转角［θ］。于是得扭转的刚度条件为：

在工程中，［θ］的单位习惯上用度/米（°/m）表示。把公式中的弧度换算为度，得

(9-14)

［θ］的数值按照对机器的要求和轴的工作条件来确定，可以从有关手册中查得。一般规定为：精密机器的轴［θ］=(0.25～0.5)°/m一般传动轴［θ］=(0.5～1.0)°/m精度要求不高的轴

［θ］=(1.0～

2.5)°/m

例9-5

传动轴如图9-22(a)所示。已知轴转速n=300r/min，主动轮输入功率PC=30kW，从动轮输出功率PD=15kW，PB=10kW，PA=5kW，材料的剪切弹性模量G=80GPa，许用剪应力［τ］=40MPa，［θ］=1°/m。按强度条件和刚度条件设计轴的直径。

解（１）

求外力偶矩

（２）绘制扭矩图。绘制扭矩图如图9-22(b)所示。AB段：

BC段：

CD段：

由扭矩图知最大扭矩发生在BC、CD段。

图9-22（３）

按强度条件设计轴的直径。

将

和

代入，

得

（４）

按刚度条件设计轴的直径。

将

和

代入，

得

为使轴同时满足强度条件和刚度条件，应选取较大的值，即d=44mm。

思

考

题

9-1分析图中构件的剪切面和挤压面，

并写出剪切面和挤压面的面积。

思考题9-1图

9-2挤压面和计算挤压面是否相同？试举例说明。

9-3图示为粘连在一起的两木块，已知P=40kN,木块垂直于纸面的尺寸为40mm，试计算粘连平面上的剪应力。

思考题9-3图

9-4两根轴的直径d和长度l相同，而材料不同，在相同的转矩作用下，它们的最大剪应力是否相同？扭转角是否相同？为什么？

9-5图示两个传动轮，哪一种布局对轴的强度有利？思考题9-5图

9-6试判断下面所示的扭转剪应力分布图,哪个是正确的？

思考题9-6图

9-7试判断图示各杆中哪些发生纯扭转变形？

为什么？

思考题9-7图

9-8说明为什么横截面相同的空心圆轴与实心圆轴相比，空心圆轴的强度和刚度都大。

习

题

9-1电机车挂钩的销钉联接如图所示。已知挂钩厚度t=8mm，销钉材料的许用剪应力［τ］=60MPa，许用挤压应力［σjy］=200MPa,电机车的牵引力P=15kN。试选择销钉直径。题9-1图

9-2螺栓连接件如图所示。已知F=180kN，t=20mm,螺栓材料的许用剪应力［τ］=80MPa,试求螺栓的直径。

题9-2图

9-3已知图示铆接钢板的厚度δ=10mm，铆钉直径d=17mm，铆钉的许用剪应力［τ］=140MPa，许用挤压应力［σjy］=320MPa,P=24MPa。试作强度校核。题9-3图

9-4销钉连接如图所示，已知P=100kN,销钉直径d=30mm,材料的许用剪应力［τ］=60MPa，试校核销钉的剪切强度。

若强度不够，

应改用多大直径的销钉？

题9-4图

9-5用两块钢板将两根矩形木杆联接如图所示。若载荷F=60kN,杆宽b=150mm，木杆的许用剪应力［τ］=1MPa,许用挤压应力［σjy］=10MPa。

试确定尺寸a和δ。

题9-5图

9-6冲床的最大冲力为400kN,冲头材料的许用应力［σ］=440MPa，被冲剪钢板的剪切强度极限τb=360MPa。求在最大冲力作用下所能冲剪的圆孔最小直径d和钢板的最大厚度δ。

图9-6题

9-7图中传动轴的转速n=250r/min，主动轮B输入功率PB=7kW,从动轮A、C、D分别输出功率PA=3kW,PC=2.5kW,PD=1.5kW。试画该轴扭矩图。题9-7图

9-8传动轴如图所示。其力偶矩分别为M1=1000N·m，M2=600N·m，M3=200N·m，M4=200N·m。（1）试画出轴的扭矩图；（2）若M1与M2的作用位置互换，扭矩图有何变化？题9-8图

9-9图示圆轴，直径d=100mm，l=500mm,作用着力偶矩M1=7000N·m，M2=5000N·m，G=8×104MPa。（1）作轴的扭矩图；（2）求轴上的最大剪应力，并指出其位置。题9-9图

9-10一传动轴如图所示，直径d=75mm,作用着力偶矩M1=1000N·m，M2=600N·m，M3=M4=200N·m，G=8×104MPa。（1）作轴的扭矩图；（2）求各段内的最大剪应力；（3）

求截面A相对于截面C的扭转角φCA。

题9-10图

9-11在计算汽轮机功率时，量得主轴在6m长度内的转角为1.2°，轴的外径D=25cm,内径d=17cm,转速n=250r/min,材料的剪切弹性模量G=80GPa。试计算该主轴传递的功率及轴内产生的最大剪应力。

9-12直径D=50mm的圆轴，受到扭矩Mn=2150N·m的作用。试求离轴心10mm处的剪应力及该截面上的最大剪应力。

9-13一钢轴直径为50mm，材料的切变模量G=80GPa,承受力偶矩M=200N·m而扭转，轴