广东省 广州市越秀区铁一中学2023-2024学年学九年级上学期月考数学试题（含答案）

第1页/共1页铁一初三月考一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．）1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.下列函数中不属于二次函数是（）A. B.C. D.3.关于x的一元二次方程的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根C只有一个实数根 D.没有实数根4.如图，将绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边上时，连接，若，则的度数是（）A. B. C. D.5.对于二次函数的图象，下列说法正确的是()A.开口向上 B.对称轴是x=-3C.当x>-4时，y随x的增大而减小 D.顶点坐标为(-2，-3)6.已知在平面直角坐标系中，点关于坐标原点对称的点位于第一象限，则m的取值范围是（）A. B. C. D.7.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，则的值是（）A. B.7 C.5 D.8.2019年9月份猪肉价格连续两次大幅度上涨，瘦肉价格由原来的25元/千克，连续上涨后，上升到64元/千克，根据题意，则下列方程中正确的是（）A. B.C. D.9.二次函数的部分图象如图，图象过点（-2，0）对称轴为直线x=1，下列结论：①<0；②=0；③>0；④当y>0时，的取值范围是；⑤>3b，其中正确的结论序号为（）A.①②③ B.①③④ C.①③④⑤ D.②③④10.已知关于x的方程有两个实数根，则的化简结果是（）A. B.1 C. D.二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分．）11.二次函数的图象的顶点坐标是_________．12.如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点恰好落在边上．若，则______．13.关于的一元二次方程：的一个解是0，则a的值为_________．14.将抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是_________．15.已知m为方程的根，那么的值为______．16.平面直角坐标系中，，，为轴上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，当点在轴上运动，取最小值时，点坐标为___________．三、解答题（本大题有9小题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．）17.解一元二次方程：．18.关于的一元二次方程有两个不等的实数根．（1）求的取值范围；（2）当取最小整数时，求的值．19.如图，中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点（1）求证：；(2)若，，求的度数.20.如图，三个顶点的坐标分别为（1）请画出与关于原点O成中心对称的图形；（2）若以点A为旋转中心逆时针旋转后得到的图形为（B的对应点为，C的对应点为），在网格中画出旋转后的图形；（3）点P为x轴上一点，使的值最小，则点P的坐标为.21.某社区在开展“美化社区，幸福家园”活动中，计划利用如图所示的直角墙角（阴影部分，两边足够长），用50米长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围，两边）．（1）若花园的面积为400米2，求的长；（2）若在直角墙角内点处有一棵桂花树，且与墙，距离分别是10米，30米，要将这棵树围在矩形花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园的面积能否为625米2？若能，求出的值；若不能，请说明理由．22.如图，已知二次函数图象的顶点的坐标为，并经过点．（1）求该二次函数的表达式；（2）直线与该二次函数的图象交于点（非原点）．求点的坐标和的面积．23.小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网与y轴的水平距离，，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系；若选择吊球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系．（1）求点P的坐标和a的值．（2）小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式．24据图回答下列各题．【问题：】如图1，在中，，点是边上一点（不与，重合），将线段绕点逆时针旋转得到，连接，则线段，之间满足的数量关系式为．【探索：】如图2，在与中，，，将绕点旋转，使点落在边上，请探索线段，，之间满足的数量关系，并证明你的结论．【应用：】如图3，在四边形中，，若，，求的长．25.在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知抛物线与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点．（1）如图，若，抛物线的对称轴为．求抛物线的解析式，并直接写出时的取值范围；（2）在（1）的条件下，若为轴上的点，为轴上方抛物线上的点，当为等边三角形时，求点，的坐标；（3）若抛物线经过点，，，且，求正整数m，n的值．铁一初三月考一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．）1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据轴对称图形概念与中心对称的概念即可作答．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转后与原图形重合．【详解】A．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形．故本选项不合题意；

B．该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故本选项不符合题意；

C．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形．故本选项不合题意；

D．该图形是轴对称图形，也是中心对称图形．故本选项合题意；

故选：【点睛】本题考查中心对称图形与轴对称图形，掌握相关概念是解题的关键．2.下列函数中不属于二次函数的是（）A B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用二次函数定义进行解答即可．【详解】解：A、y＝（x+1）（x﹣2）是二次函数，故此选项不合题意；B、是二次函数，故此选项不合题意；C、y＝2（x+2）2﹣2x2＝8x+8不是二次函数，故此选项符合题意；D、y＝1﹣x2是二次函数，故此选项不合题意；故选：C．【点睛】此题主要考查了二次函数定义，解题的关键是掌握二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．3.关于x的一元二次方程的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根 D.没有实数根【答案】A【解析】【分析】对于，当,

方程有两个不相等的实根，当,

方程有两个相等的实根，,

方程没有实根，根据原理作答即可．【详解】解：∵，∴，所以原方程有两个不相等的实数根，故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．4.如图，将绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边上时，连接，若，则的度数是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据旋转的性质推出，，根据等边对等角即可求解．【详解】解：由题意可得：将绕点C顺时针旋转得，，故选：D．【点睛】本题主要考查图形旋转的性质；熟知旋转图形的对应角相等，对应边相等是解题的关键．5.对于二次函数的图象，下列说法正确的是()A.开口向上 B.对称轴是x=-3C.当x>-4时，y随x的增大而减小 D.顶点坐标为(-2，-3)【答案】B【解析】【分析】根据抛物线的性质由a=-2得到图象开口向下，根据顶点式得到顶点坐标为（-3，0），对称轴为直线x=-3，当x>-3时，y

随

x的增大而减小．【详解】解：二次函数y=-2（x+3）2的图象开口向下，顶点坐标为（-3，0），对称轴为直线x=-3，当x>-3时，y随x的增大而减小，

故B正确，A、C、D不正确，

故选：B．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，其顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h．当a＞0时，抛物线开口向上，当a＜0时，抛物线开口向下．6.已知在平面直角坐标系中，点关于坐标原点对称的点位于第一象限，则m的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出点位置，再结合第三象限内点的坐标特点得出答案．【详解】解：点关于坐标原点对称的点位于第一象限，点在第三象限，由第三象限内点的坐标特点，横坐标、纵坐标都为负数，，解得：．故选：C．【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质以及解不等式组，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．7.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，则的值是（）A. B.7 C.5 D.【答案】C【解析】【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得出：，，然后将代数式变形，代入计算即可．【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根为，，∴，，∴．故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．8.2019年9月份猪肉价格连续两次大幅度上涨，瘦肉价格由原来的25元/千克，连续上涨后，上升到64元/千克，根据题意，则下列方程中正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】可先用表示第一次提价后商品的售价，再根据题意表示第二次提价后的售价，然后根据已知条件得到关于的方程．【详解】解：当猪肉第一次提价时，其售价为；当猪肉第二次提价x%后，其售价为．∴．故选：D．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，根据题意找出等量关系是解题的关键．9.二次函数的部分图象如图，图象过点（-2，0）对称轴为直线x=1，下列结论：①<0；②=0；③>0；④当y>0时，的取值范围是；⑤>3b，其中正确的结论序号为（）A.①②③ B.①③④ C.①③④⑤ D.②③④【答案】B【解析】【分析】①由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴，判断b与0的关系，即可得出abc与0的关系；②根据对称轴为直线x=1，即可判断2a+b=0；③根据抛物线与x轴的交点个数，即可判断b2-4ac＞0；④根据抛物线的对称轴，抛物线与x轴的交点的一个坐标为（-2，0）得出抛物线与x轴另外一个交点坐标为（4，0），即可得出y>0时，x的取值范围；⑤把x=-3代入y=ax2+bx+c得出y=9a-3b+c，根据图象可知，当x=-3时，，得出9a-3b+c＜0，即可得出答案．【详解】解：①由图象可得c＞0，，∵x==1，∴，∴abc＜0，故①正确；②∵抛物线的对称轴为直线x==1，∴b=-2a，即2a+b=0，故②错误；③∵抛物线与x轴有两个不同的交点，∴b2-4ac＞0，故③正确；④∵抛物线与x轴的交点的一个坐标为（-2，0），对称轴为直线x=-1，∴抛物线与x轴的另外一个交点坐标为（4，0），∴当y>0时，x的取值范围是−2<x<4，故④正确；⑤∵当x=-3时，y＜0，∴9a-3b+c＜0，即9a+c＜3b，故⑤错误；综上分析可知，①③④正确，故B正确．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，Δ=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．10.已知关于x的方程有两个实数根，则的化简结果是（）A. B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】首先根据关于x的方程有两个实数根，得判别式，由此可得，据此可对进行化简．【详解】解：∵关于x的方程有两个实数根，∴判别式，整理得：，∴，∴，，∴．故选：A．【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质，理解一元二次方程根的判别式是解答此题的关键．二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分．）11.二次函数的图象的顶点坐标是_________．【答案】【解析】【分析】根据二次函数顶点坐标是，即可求解．【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标是．故答案为：【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的顶点坐标是是解题的关键．12.如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点恰好落在边上．若，则______．【答案】5【解析】【分析】根据旋转的性质的，结合已知条件可得是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解．【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到，∴，∵，∴是等边三角形，∴，故答案为：5．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角的性质与判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．13.关于的一元二次方程：的一个解是0，则a的值为_________．【答案】【解析】【分析】把代入原方程，即可求解．【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是0，∴且，解得：．故答案为：．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键．14.将抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是_________．【答案】【解析】【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移规律即可算出正确结果．【详解】向左平移3个单位，则解析式中的x加3向上平移2个单位，则解析式中的末尾加2平移之后的解析式为故答案为：【点睛】本题考查了二次函数的平移，熟记平移规律是解决本题的关键．15.已知m为方程的根，那么的值为______．【答案】【解析】【分析】先根据一元二次方程解的定义得到，再用m表示得到，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：∵m为方程的一个根，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，掌握整体代入的方法是解题关键．16.平面直角坐标系中，，，为轴上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，当点在轴上运动，取最小值时，点的坐标为___________．【答案】【解析】【分析】分三种情况：当点在轴正半轴时；当点在原点时；当点在轴负半轴时，利用三角形全等的判定与性质、旋转的性质、两点间的距离公式，分别进行求解即可得到答案．【详解】解：当点在轴正半轴时，如图，作轴于，设，则，，，，，，将绕点顺时针旋转得到，，，，，，，，在和，，，，，，，，，，当点在原点时，如图所示，，，，，，将绕点顺时针旋转得到，，；当点在轴负半轴时，如图，作轴于，设，则，，，，，，，将绕点顺时针旋转得到，，，，，,，在和，，，，，，点在第四象限，，，，，综上所述：当时，取到最小值，为，此时，故答案为：．【点睛】本题考查坐标与图形的变化—旋转，全等三角形的判定和性质，两点间的距离等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质，采用分类讨论的思想解题．三、解答题（本大题有9小题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．）17.解一元二次方程：．【答案】【解析】【分析】利用公式法解一元二次方程即可．【详解】解：∵，，，∵，∴，即，．【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用配方法和公式法解一元二次方程的方法是解题的关键．18.关于的一元二次方程有两个不等的实数根．（1）求的取值范围；（2）当取最小整数时，求的值．【答案】（1）且（2），【解析】【分析】（1）由得到关于的不等式，解之得到的范围，根据一元二次方程的定义求得答案；（2）由（1）知，还原方程，利用因式分解法求解可得．【小问1详解】解：由题意得：，解得：且；【小问2详解】由（1）知，最小整数为，此时方程为：，解得：，．【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义及根的判别式，解题的关键是熟练掌握方程的根的情况与判别式的值之间的关系．19.如图，中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点（1）求证：；(2)若，，求的度数.【答案】（1）证明见解析；（2）78°【解析】【分析】（1）因为，所以有，又因为，所以有，得到；（2）利用等腰三角形ABE内角和定理，求得∠BAE=50°，即∠FAG=50°，又因为第一问证的三角形全等，得到，从而算出∠FGC【详解】解：（1）证明：，，，，；（2），，，，，．【点睛】本题主要考查全等三角形证明与性质，等腰三角形性质，旋转性质等知识点，解题的关键是掌握全等三角形证明．20.如图，三个顶点的坐标分别为（1）请画出与关于原点O成中心对称的图形；（2）若以点A为旋转中心逆时针旋转后得到的图形为（B的对应点为，C的对应点为），在网格中画出旋转后的图形；（3）点P为x轴上一点，使的值最小，则点P的坐标为.【答案】（1）见解析（2）见解析（3）【解析】【分析】（1）根据中心对称的性质找出对应点即可求解；（2）根据旋转变换的性质找出对应点即可求解；（3）作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则点P即为所求，然后利用待定系数法求出直线的解析式即可求解.【小问1详解】如图，即为所作；【小问2详解】如图，即为所作；【小问3详解】作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则点P满足的值最小，∵，∴，设直线的解析式是，则，解得，∴直线的解析式是，当时，，解得，∴点P的坐标是.【点睛】本题考查了轴对称和旋转作图、待定系数法求一次函数的解析式，求两线段和的最小问题，熟练掌握上述知识、灵活应用数形结合思想是解题的关键.21.某社区在开展“美化社区，幸福家园”活动中，计划利用如图所示的直角墙角（阴影部分，两边足够长），用50米长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围，两边）．（1）若花园的面积为400米2，求的长；（2）若在直角墙角内点处有一棵桂花树，且与墙，的距离分别是10米，30米，要将这棵树围在矩形花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园的面积能否为625米2？若能，求出的值；若不能，请说明理由．【答案】（1）10米或40米（2）不能，见解析【解析】【分析】（1）设的长为米，则的长为米，由矩形的面积公式列出方程，解方程即可得到答案；（2）设的长为米，则的长为米，由矩形的面积公式列出方程，解方程即可得到答案．【小问1详解】解：设的长为米，则的长为米，由题意得：，解得：，即的长为10米或40米；【小问2详解】解：花园的面积不能为625米2，理由如下：设的长为米，则的长为米，由题意得：，解得：，当时，，即当米，米30米，∴花园的面积不能为625米2．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．22.如图，已知二次函数图象的顶点的坐标为，并经过点．（1）求该二次函数表达式；（2）直线与该二次函数的图象交于点（非原点）．求点的坐标和的面积．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）设抛物线的解析式为，由待定系数法就可以求出结论；（2）由抛物线的解析式与一次函数的解析式构成方程组，求出其解即可求出B的坐标，进而可以求出直线的解析式，就可以求出与x轴的交点坐标，就可以求出的面积．【小问1详解】解：由二次函数图象的顶点为可设该二次函数的表达式为，∵其图象过点，∴，解得，∴该二次函数的表达式为；【小问2详解】解：由题意得，解得：，，∵交点不是原点，∴点B的坐标为，设直线的解析式为，把，分别代入可得，解得：，所以直线的函数表达式为，令，得，设直线与x轴的交点为D，则，∴．【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合，涉及了待定系数法、三角形的面积，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．23.小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网与y轴的水平距离，，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系；若选择吊球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系．（1）求点P的坐标和a的值．（2）小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式．【答案】（1），，（2）选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近【解析】【分析】（1）在一次函数上，令，可求得，再代入即可求得的值；（2）由题意可知，令，分别求得，，即可求得落地点到点的距离，即可判断谁更近．【小问1详解】解：在一次函数，令时，，∴，将代入中，可得：，解得：；【小问2详解】∵，，∴，选择扣球，则令，即：，解得：，即：落地点距离点距离为，∴落地点到C点的距离为，选择吊球，则令，即：，解得：（负值舍去），即：落地点距离点距离为，∴落地点到C点距离为，∵，∴选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近．【点睛】本题考查二次函数与一次函数的应用，理解题意，求得函数解析式是解决问题的关键．24.据图回答下列各题．【问题：】如图1，在中，，点是边上一点（不与，重合），将线段绕点逆时针旋转得到，连接，则线段，之间满足的数量关系式为．【探索：】如图2，在与中，，，将绕点旋转，使点落在边上，请探索线段，，之间满足的数量关系，并证明你的结论．【应用：】如图3，在四边形中，，若，，求的长．【答案】【问题】结论：，证明见解析部分【探索】结论：，证明见解析部分【应用】6【解析】【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质解答；（2）连接，根据全等三角形的性