2024-2025学年新教材高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数4.3指数函数与对数函数的关系学案含解析新人教B版必修第二册

PAGE6-4.3指数函数与对数函数的关系素养目标·定方向课程标准学法解读1．理解反函数的概念，了解存在反函数的条件，会求简洁函数的反函数．2．理解互为反函数图像间的关系．3．知道指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a＞0且a≠1)．1．通过学习反函数的概念，提升数学抽象素养．2．通过求反函数，提升数学运算素养．3．通过互为反函数图像间关系的应用，提升直观想象素养．必备学问·探新知学问点反函数的概念(1)一般地，假如在函数y＝f(x)中，给定值域中__随意一个y__的值，只有__唯一__的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为y＝f(x)的反函数．此时，称y＝f(x)存在反函数，可以记作x＝f－1(y)．(2)一般地，对于函数y＝f(x)的反函数x＝f－1(y)，习惯上反函数的自变量仍用x表示，因变量仍用y表示，则函数y＝f(x)的反函数记作y＝f－1(x)．思索：函数f(x)＝x2有反函数吗？为什么？提示：没有．若令y＝f(x)＝1，则x＝±1，即x值不唯一，不符合反函数的定义．学问点求反函数的两种方法(1)可以通过对调y＝f(x)中的x与y，然后从x＝f(y)中求出y得到反函数y＝f－1(x)．(2)从y＝f(x)反解得到x＝f－1(y)，然后把x＝f－1(y)中的x，y对调得到y＝f－1(x)．学问点互为反函数的图像与性质(1)图像y＝f(x)与y＝f－1(x)的图像关于直线__y＝x__对称．(2)性质①y＝f(x)的定义域与y＝f－1(x)的__值域__相同，y＝f(x)的值域与y＝f－1(x)的__定义域__相同．②假如y＝f(x)是单调函数，那么它的反函数y＝f－1(x)肯定存在．此时，假如y＝f(x)是增函数，则y＝f－1(x)也是__增函数__；假如y＝f(x)是__减函数__，则y＝f－1(x)也是减函数．关键实力·攻重难题型探究题型推断函数是否有反函数┃┃典例剖析__■典例1(1)下列函数中，存在反函数的是(D)A．xx＞0x＝0x＜0f(x)10－1B．xx是有理数x是无理数g(x)10C．x12345h(x)－12042D．x12345l(x)－2－1034(2)推断下列函数是否有反函数．①f(x)＝eq\f(x＋1,x－1)；②g(x)＝x2－2x．[分析]依据反函数的定义进行推断．[解析](1)因为f(x)＝1时，x为随意的正实数，即对应的x不唯一，因此f(x)的反函数不存在；因为g(x)＝1时，x为随意的有理数，即对应的x不唯一，因此g(x)的反函数不存在；因为h(x)＝2时，x＝2或x＝5，即对应的x不唯一，因此h(x)的反函数不存在；因为l(x)的值域{－2，－1,0,3,4}中随意一个值，都只有唯一的x与之对应，因此l(x)的反函数存在．(2)①令y＝f(x)，因为y＝eq\f(x＋1,x－1)＝1＋eq\f(2,x－1)，是由反比例函数y＝eq\f(2,x)向右平移一个单位，向上平移一个单位得到，在(－∞，1)，(1，＋∞)上都是减函数，因此随意给定值域中的一个值，只有唯一的x与之对应，所以f(x)存在反函数．②令g(x)＝3，即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3，即对应的x不唯一，因此g(x)的反函数不存在．规律方法：判定函数存在反函数的方法(1)逐一考查值域中函数值对应的自变量的取值，假如都是唯一的，则函数的反函数存在．(2)确定函数在定义域上的单调性，假如函数是单调函数，则函数的反函数存在．(3)利用原函数的解析式，解出自变量x，假如x是唯一的，则函数的反函数存在．┃┃对点训练__■1．推断下列函数是否存在反函数．(1)y＝eq\f(1,x＋1)－2；(2)y＝－2x2＋4x，x∈(1，＋∞)．[解析](1)y＝eq\f(1,x＋1)－2是由函数y＝eq\f(1,x)向左平移1个单位，向下平移2个单位得到，在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上是减函数，因此随意给定值域中的一个值，只有唯一的x值与之对应，所以函数存在反函数．(2)y＝－2x2＋4x＝－2(x－1)2＋2，对称轴为x＝1，在(1，＋∞)上是减函数，因此随意给定值域中的一个值，只有唯一的x值与之对应，所以函数存在反函数．题型求反函数┃┃典例剖析__■典例2求下列函数的反函数．(1)y＝2x＋1(x∈R)；(2)y＝1＋ln(x－1)(x＞1)；(3)y＝eq\f(x＋2,x＋1)(x∈R且x≠－1)．[分析]依据求反函数的步骤求反函数．[解析](1)函数y＝2x＋1，当x∈R时，y＞0．方法一：∵x＋1＝log2y，∴x＝－1＋log2y，x，y互换得反函数为y＝－1＋log2x(x＞0)．方法二：对y＝2x＋1中的x，y互换得x＝2y＋1，∴y＋1＝log2x，即反函数为y＝－1＋log2x(x＞0)．(2)由y＝1＋ln(x－1)，得x＝ey－1＋1，又由x＞1，知y∈R，∴反函数为y＝ex－1＋1(x∈R)．(3)y＝eq\f(x＋2,x＋1)＝1＋eq\f(1,x＋1)(x∈R且x≠－1)，∴y∈R且y≠1．对y＝eq\f(x＋2,x＋1)，x，y互换得x＝eq\f(y＋2,y＋1)，∴反函数为y＝eq\f(2－x,x－1)(x∈R且x≠1)．规律方法：1.求反函数时，要先确定原函数的值域．2．两种方法：x，y先互换，再求y与先求x，再x，y互换．3．最终要注明反函数的定义域．┃┃对点训练__■2．求下列函数的反函数．(1)y＝eq\r(2x－x2)(1≤x≤2)；(2)y＝x2－1(x≤0)；(3)y＝log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x)))(x＞0)．[解析](1)∵1≤x≤2，∴0≤2x－x2≤1，∴y∈[0,1]．∵y＝eq\r(2x－x2)，∴y2＝2x－x2，－(x－1)2＝y2－1，(x－1)2＝1－y2，∵x∈[1,2]，∴x－1＝eq\r(1－y2)，∴反函数为y＝1＋eq\r(1－x2)(0≤x≤1)．(2)∵y＝x2－1(x≤0)，∴y≥－1．∴x＝－eq\r(y＋1)，x，y互换得反函数为y＝－eq\r(x＋1)(x≥－1)．(3)∵x＞0，∴1＋eq\f(1,x)＞1，y＝log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x)))＞0，∴1＋eq\f(1,x)＝2y，即x＝eq\f(1,2y－1)，x，y互换得反函数为y＝eq\f(1,2x－1)(x＞0)．题型互为反函数的图像间的关系┃┃典例剖析__■典例3已知函数y＝ax＋b(a＞0，a≠1)的图像过点(1,4)，其反函数的图像过点(2,0)，求a、b的值．[解析]∵函数y＝ax＋b(a＞0，a≠1)的反函数的图像过点(2,0)，∴函数y＝ax＋b的图像过点(0,2)，∴2＝a0＋b，∴b＝1．∴y＝ax＋1．又∵函数y＝ax＋1(a＞0，a≠1)的图像过点(1,4)，∴4＝a＋1，∴a＝3．∴a＝3，b＝1．规律方法：1.定义域、值域关系的应用原函数的定义域是反函数的值域，值域是反函数的定义域，在求值的过程中，可以利用这一关系，转化已知函数的求值，不必求出反函数或原函数．2．图像的应用原函数的图像与反函数的图像关于直线y＝x对称，点P(x，y)关于y＝x的对称点是P1(y，x)，利用这一关系可以将已知一条曲线上的点转化到另一条曲线上，干脆求点或求值．┃┃对点训练__■3．(1)设函数f(x)＝2lg(2x－1)，则f－1(0)的值为(B)A．0 B．1C．10 D．不存在(2)设函数f(x)＝loga(x＋b)(a＞0，a≠1)的图像过点(2,1)，其反函数的图像过点(2,8)，则a＋b等于(C)A．6 B．5C．4 D．3[解析](1)令f(x)＝0得：2lg(2x－1)＝0⇒x＝1，所以f－1(0)＝1．(2)函数f(x)＝loga(x＋b)(a＞0，a≠1)的图像过点(2,1)，其反函数的图像过点(2,8)．则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(loga2＋b＝1，,loga8＋b＝2，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＋b＝a，,8＋b＝a2，))a＝3或a＝－2(舍)，b＝1，所以a＋