2024-2025学年新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2.3.1二次函数与一元二次方程不等式课时素养评价含解析新人教A版必修第一册

PAGE7-二次函数与一元二次方程、不等式(15分钟35分)1.不等式组QUOTE的解集是 ()A.{x|-1<x<1} B.{x|1<x≤3}C.{x|-1<x≤0} D.{x|x≥3或x<1}【解题指南】分别求解不等式，然后求其交集.【解析】选C.求解不等式：x2-1<0可得：-1<x<1；求解不等式：x2-3x≥0可得：x≥3或x≤0；据此可得不等式组QUOTE的解集是{x|-1<x≤0}.【补偿训练】不等式组QUOTE的解集为()A.{x|-2<x<-1} B.{x|-1<x<0}C.{x|0<x<1} D.{x|x>1}【解析】选C.由x(x+2)>0得x>0或x<-2；由|x|<1得-1<x<1，所以不等式组的解集为{x|0<x<1}.2.关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2-x1=15，则a= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.原不等式等价于(x+2a)(x-4a)<0，a>0，所以不等式的解集为：(-2a，4a)，所以x2-x1=4a-(-2a)=15，解得a=QUOTE.3.关于x的不等式ax-b>0的解集是(1，+∞)，则关于x的不等式(ax+b)(x-3)>0的解集是 ()A.(-∞，-1)∪(3，+∞) B.(-1，3)C.(1，3) D.(-∞，1)∪(3，+∞)【解析】选A.由题意，知a>0，且1是ax-b=0的根，所以a=b>0，所以(ax+b)(x-3)=a(x+1)(x-3)>0，所以x<-1或x>3，因此原不等式的解集为(-∞，-1)∪(3，+∞).4.关于x的不等式63x2-2mx-m2<0的解集为 ()A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTE∪QUOTED.以上答案都不对【解析】选D.原不等式可化为QUOTE·QUOTE<0，需对m分三种状况探讨，即不等式的解集与m有关.5.若二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象与x轴的两个交点为(-1，0)和(3，0)，则不等式ax2+bx+c<0的解集是_______.

【解析】依据二次函数的图象知所求不等式的解集为(-∞，-1)∪(3，+∞).答案：(-∞，-1)∪(3，+∞)6.若关于x的不等式ax2+3x-1>0的解集是xQUOTE<x<1，(1)求a的值.(2)求不等式ax2-3x+a2+1>0的解集.【解析】(1)依题意，可知方程ax2+3x-1=0的两个实数根为QUOTE和1，QUOTE+1=-QUOTE，QUOTE×1=-QUOTE，解得a=-2.(2)-2x2-3x+5>0，2x2+3x-5<0.因为2x2+3x-5=0有两根为x1=1，x2=-QUOTE，所以不等式的解集为QUOTE.(20分钟40分)一、单选题(每小题5分，共15分)1.若不等式f(x)=ax2-x-c>0的解集为(-2，1)，则函数y=f(x)的图象为()【解析】选B.因为不等式的解集为(-2，1)，所以a<0，解除C，D，又与坐标轴交点的横坐标为-2，1，故选B.【补偿训练】若不等式|2x-3|>4与关于x的不等式x2+px+q>0的解集相同，则x2-px+q<0的解集是 ()A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.QUOTE【解析】选D.由|2x-3|>4得2x-3>4或2x-3<-4，则x>QUOTE或x<-QUOTE.由题意可得QUOTE则QUOTE所以x2-px+q<0对应方程x2-px+q=0的两根分别为QUOTE，-QUOTE，则x2-px+q<0的解集是QUOTE.2.在R上定义运算☉：a☉b=ab+2a+b，则满意x☉(x-2)<0的实数x的取值范围为 ()A.(0，2) B.(-2，1)C.(-∞，-2)∪(1，+∞) D.(-1，2)【解题指南】先利用☉运算的法则变形，再解不等式.【解析】选B.由a☉b=ab+2a+b，得x☉(x-2)=x(x-2)+2x+x-2=x2+x-2<0，所以-2<x<1.3.设a<-1，则关于x的不等式a(x-a)QUOTE<0的解集为()A.QUOTE B.{x|x>a}C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.因为a<-1，所以a(x-a)·QUOTE<0⇔(x-a)·QUOTE>0.又a<-1，所以QUOTE>a，所以x>QUOTE或x<a.【补偿训练】不等式x2+ax+4<0的解集不是空集，则实数a的取值范围是 ()A.(-∞，-4)∪(4，+∞) B.(-4，4)C.(-∞，-4]∪[4，+∞) D.[-4，4]【解析】选A.不等式x2+ax+4<0的解集不是空集，即方程x2+ax+4=0有两个不等实数根，所以Δ=a2-4×1×4>0，解得a>4或a<-4.二、多选题(共5分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)4.下面所给关于x的不等式，其中肯定为一元二次不等式的是 ()A.3x+4<0 B.x2+mx-1>0C.ax2+4x-7>0 D.x2<0【解析】选BD.依据一元二次不等式的定义以及特征可判定A肯定不是，C不肯定是，B，D肯定是.三、填空题(每小题5分，共10分)5.已知不等式x2-2x-3<0的解集为A，不等式x2+x-6<0的解集是B，不等式x2+ax+b<0的解集是A∩B，那么a=_______，b=_______.

【解析】由题意，A={x|-1<x<3}，B={x|-3<x<2}，A∩B={x|-1<x<2}，则不等式x2+ax+b<0的解集为{x|-1<x<2}.由根与系数的关系可知，a=-1，b=-2.答案：-1-2【补偿训练】对于实数x，当且仅当n≤x<n+1(n∈N*)时，[x]=n，则关于x的不等式4[x]2-36[x]+45<0的解集为_______.

【解析】由4[x]2-36[x]+45<0，得QUOTE<[x]<QUOTE，又当且仅当n≤x<n+1(n∈N*)时，[x]=n，所以[x]=2，3，4，5，6，7，所以所求不等式的解集为[2，8).答案：[2，8)6.已知x=1是不等式k2x2-6kx+8≥0的解，则k的取值范围是_______.

【解题指南】把x=1代入到不等式中，得到关于k的不等式，解不等式即可.【解析】x=1是不等式k2x2-6kx+8≥0的解，把x=1代入不等式得k2-6k+8≥0，解得k≤2或k≥4.答案：k≤2或k≥4四、解答题7.(10分)已知不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b}.(1)求a，b的值.(2)解不等式ax2-(ac+b)x+bc<0.【解析】(1)因为不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b}，所以x1=1与x2=b是方程ax2-3x+2=0的两个实数根，b>1且a>0.由根与系数的关系，得QUOTE解得QUOTE(2)由(1)知不等式ax2-(ac+b)x+bc<0可化为x2-(2+c)x+2c<0，即(x-2)(x-c)<0.当c>2时，不等式(x-2)(x-c)<0的解集为{x|2<x<c}；当c<2时，不等式(x-2)(x-c)<0的解集为{x|c<x<2}；当c=2时，不等式(x-2)(x-c)<0的解集为⌀.【补偿训练】已知M是关于x的不等式2x2+(3a-7)x+3+a-2a2<0的解集，且M中的一个元素是0，求实数a的取值范围，并用a表示出该不等式的解集.【解析】原不等式可化为(2x-a-1)(x+2a-3)<0，由x=0适合不等式得(a+1)(2a-3)>0，所以a<-1或a>QUOTE.若a<-1，则-2a+3-QUOTE=QUOTE(-a+1)>5>0，所以3-2a>Q