92正弦定理与余弦定理的应用课件高一下学期数学人教B版

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数学

必修第四册第九章解三角形9.2正弦定理与余弦定理的应用课标定位素养阐释1.了解并掌握实际问题中的名称术语.2.会建立实际应用题的三角形模型,并能运用正弦定理、余弦定理解决问题.3.提升直观想象、逻辑推理和数学运算素养.自主预习新知导学实际应用问题中有关的名称、术语1.甲身高1.8m,他站在离旗杆底部20m的M处,此时他看旗杆的顶端A的仰角为60°,由此能否求得旗杆的高度?提示:能.如图,旗杆高OA=OB+AB=1.8+20×tan

60°=1.8+(m).2.在解决三角形应用题时,经常出现一些有关的名称与术语,如铅垂平面、仰角、俯角、方向角、方位角等.(1)铅垂平面是指与水平面

垂直

的平面.(2)仰角与俯角是指在同一铅垂平面内,视线与水平线的夹角,当视线在水平线之

上

时,称为仰角,当视线在水平线之

下

时,称为俯角(如图①所示).图①

(3)方位角:从某点的指

北

方向线起依

顺时针

方向到目标方向线间的水平角,如:图②表示的方位角是60°,或称北偏东60°.(4)方向角:从指定

方向线

到

目标方向线

间的水平角,如南偏西60°指以正南方向为始边,顺时针方向旋转60°.图②

3.在300m高的山顶上,测得山下有一塔的塔顶与塔底的俯角分别为30°,60°,则塔高为

m.

答案:200解析:如图,由题意知,在Rt△CDB中,CD=300

m,∠BCD=90°-60°=30°,【思考辨析】

判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“√”,错误的画“×”.(1)两个不可到达的点之间的距离无法求得.(

)(2)已知三角形的两角和一边,可以解三角形.(

)(3)视线与水平线的夹角就是仰角.(

)(4)从指北方向开始,逆时针转75°到目标位置,则方位角为75°.(

)×√××合作探究释疑解惑探究一测量距离问题分析:DE=AB-AD-BE,因此只要求出AB的长即可,而在△ACB中,已知AC,BC及其夹角,故可用余弦定理.【例1】

为了开凿隧道,要测量隧道始端D和末端E间的距离,为此在山的一侧选取适当点C,如图,测得CA=400m,CB=600m,∠ACB=60°,又测得A,B两点到隧道口的距离AD=80m,BE=40m(A,D,E,B在一条直线上),计算隧道DE的长.(精确到0.1m)解:在△ABC中,AC=400

m,BC=600

m,∠ACB=60°.由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos

60°,所以DE=AB-AD-BE≈409.2(m).即隧道DE长约为409.2

m.在本例中,若已知角B,角C,BC,AD,BE的值,能否求DE的长?延伸探究提示:能.∵A=π-B-C,所以DE=AB-AD-BE.反思感悟在解决实际问题时,先将实际问题转化为平面几何问题,再将已知条件转化为三角形中的边角问题,最后利用正弦定理或余弦定理解三角形.【变式训练1】

如图,在河岸边有一点A,河对岸有一点B,要测量A,B两点间的距离,测量者在与A同侧的河岸边选取点C,测得AC=120m,∠BAC=45°,∠BCA=75°,求A,B两点间的距离.探究二测量高度问题分析:欲求雕像的高度h,可在△BPO,△APO,△AOB中找出OP(h),OA,OB的关系,用正弦定理或余弦定理去解决.【例2】

如图所示,地面上有一雕像OP,为了测得它的高度h(单位:m),现在地面上取两个观测点A与B,AB=20m,在A处测得点P的仰角∠OAP=30°,在B处测得点P的仰角∠OBP=45°,又测得∠AOB=60°,求雕像的高度h(精确到1米).在Rt△OBP中,∠BOP=90°,∠OBP=45°,故OB=OP=h.在△ABO中,由余弦定理,得AB2=OA2+OB2-2OA·OB·cos∠AOB,反思感悟解决测量高度问题的一般步骤(1)画图:根据已知条件画出示意图.(2)分析三角形:分析与问题有关的三角形.(3)求解:运用正弦定理、余弦定理,有序地解相关的三角形,逐步求解.在解题中,要综合运用平面几何知识,注意方程思想的运用.【变式训练2】

某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位:m).如图所示,竖直放置的标杆BC的高度h=4m,仰角∠ABE=α,∠ADE=β.该小组已测得一组α,β的值,算出了tanα=1.24,tanβ=1.20,请据此算出H的值.探究三与角度有关的问题【例3】

如图,在海岸A处,发现北偏东45°方向,距A为

的B处有一艘巡逻船,在A处北偏西75°方向,距A为2nmile的C处的快艇计划以

的速度追赶巡逻船,此时巡逻船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向行驶,问快艇沿什么方向行驶才能最快追上巡逻船?并求出所需要的时间.分析:平面上的追及问题可转化为解三角形问题.设在D处追上巡逻船,根据题意,△ABC可解,因为要解的是△BCD,所以可求出关联边BC.∠BAC=45°+75°=120°.根据余弦定理,得所以∠ABC=45°.所以点B在点C的正东方向,∠CBD=90°+30°=120°.在△BCD中,根据正弦定理,得反思感悟1.测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上,画出表示实际问题的图形,并在图形中标出有关的角和距离,再用正弦定理或余弦定理解三角形,最后将解得的结果转化为实际问题的解.2.在解三角形问题中,求某些角的度数时,最好用余弦定理求角.因为余弦函数在区间(0,π)内是单调递减的,而正弦函数在区间(0,π)内不单调,一个正弦值可能对应两个角,但角在区间

上时,用正弦定理、余弦定理皆可.解:如图所示,设预报时台风中心为B,开始影响养殖基地时台风中心为C,养殖基地刚好不受影响时台风中心为D,则B,C,D在一条直线上,且AD=20,AC=20.在△ADC中,∵DC2=AD2+AC2,∴∠DAC=90°,∠ADC=45°.在△ABC中,由余弦定理得∴∠BAC=30°,又B位于A南偏东60°,60°+30°+90°=180°,∴D位于A的正北方向,又∠ADC=45°,【易错辨析】

因忽视题设条件或定理应用不当致误【典例】

已知A船在灯塔C北偏东80°方向,距离灯塔C2km处,B船在灯塔C北偏西40°方向,A,B两船的距离为3km,求B船到灯塔C的距离.错解:如图所示,由题意知AB=3km,AC=2km,∠ACB=120°.∵∠ACB=120°,∴∠ABC为锐角,以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:错解中未应用“大角对大边”原理,产生增根,致问题错误.正解:如图所示,由题意知AB=3km,AC=2km,∠ACB=120°.∵∠ACB=120°,∴∠ABC为锐角,1.在解决实际问题时,画出图形后应用正弦定理或余弦定理求解,得到的结果要检验其是否符合实际意义,这点容易被忽略而造成多解.2.注意“大边对大角”和“大角对大边”原理的应用.3.求角时,最佳选择是余弦定理;求边时,最佳选择是正弦定理.防范措施【变式训练】

已知海岛A四周8海里内有暗礁,有一货轮由西向东航行,望见岛A在北偏东75°,继续航行

海里后,见此岛在北偏东30°,若货轮不改变航向继续前进,有无触礁危险?随堂练习答案:D2.一船向正北匀速行驶,某时刻该船与其正西方两座相距10nmile的灯塔恰好在同一直线上,继续航行半小时后,看见其中一座灯塔在南偏西60°方向上,另一座灯塔在南偏西75°方向上,则该船的速度是(

)A.8nmile/h B.9nmile/hC.10nmile/h D.12nmile/h答案:C解析:如图所示,由题意知AB=10,∠BDC=60°,∠ADC=75°,DC⊥AC,∴∠DBC=30°,∠BDA=∠A=15°.∴BD=AB=10.3.(多选题)为了测量B,C之间的距离,在河岸A,C处测量,如图,测得下面四组数据,不合理的是(

)A.c与α B.c与b

C.b,c与β D.b,α与γ解析:因为测量者在A,C处测量,所以较合理的应该是b,α与γ,故选ABC.答案:ABC4.如图,测量河对岸塔高AB时,选择与塔底在同一水平面的两个测量点C与D,已知测得∠BCD=75°,∠BDC=45°,CD=60m.在点C处测得塔顶A的仰角为30°,则塔高为

.

5.一艘轮船从A处出发,以40nmile/h的速度沿东偏南50°方向直线航行,30min后到达B处.在C处有一座灯塔,