陕西省西安市西安理工大学附属中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

2024-2025学年陕西省西安理工大学附中九年级（上）期中数学试卷及解析一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的）1．（3分）计算2cos30°的值为（）A． B． C．1 D．2．（3分）下列几何体中，俯视图是三角形的是（）A． B． C． D．3．（3分）如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，若OA：AD＝1：2，△ABC的周长为3，则△DEF的周长为（）A．6 B．9 C．12 D．274．（3分）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，且AB∥CD，则添加下列一个条件能判定四边形ABCD是菱形的是（）A．AC＝BD B．∠ADB＝∠CDB C．∠ABC＝∠DCB D．AD＝BC5．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣1＝0，对该方程的根的判断，正确的是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断6．（3分）如图，反比例函数的图象与经过原点的直线l相交于A、B两点，点A坐标为（﹣2，1），那么B点的坐标为（）A．（﹣2，1） B．（2，1） C．（1，﹣2） D．（2，﹣1）7．（3分）如图，矩形ABCD的边长AB＝3，AD＝6，点F在线段BC上，且BF：FC＝1：2，AF与DB交于点N，则AN＝（）A． B． C． D．8．（3分）已知x＝﹣1是关于x的方程2x2+ax﹣5＝0的一个根，且点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）都在反比例函数的图象上，则y1和y2满足（）A．y1＞y2＞0 B．y2＜y1＜0 C．y2＞y1＞0 D．y1＜y2＜0二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）9．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为．10．（3分）木箱里装有仅颜色不同的12个红球和若干个蓝球，随机从木箱里摸出一个球，记下颜色后再放回，经多次的重复实验，发现摸到红球的频率稳定在0.6附近，则估计木箱中蓝球有个．11．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若AD＝4，tan∠DAC＝，则BC的长为．12．（3分）如图，在△AOB中，AB⊥x轴于点B，∠AOB＝30°，OA＝4，反比例函数的图象经过点A，则k的值为．13．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点E，F分别为BC，CD边上的动点，连接AE，BF交于点G，连接DG，点M，N分别为CD，DG的中点，连接MN．若AE＝BF，则MN的最小值为．三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程）14．（5分）解方程：6x2﹣5x﹣1＝0．15．（5分）计算：cos245°﹣tan60°tan30°+|sin60°﹣1|．16．（5分）装卸工人往一辆大型运货车上装载货物，装完货物所需时间y（min）与装载速度x（t/min）之间的函数关系如图：（1）求y与x之间的函数关系式；（2）如果以1.5t/min的速度装货，需要多长时间才能装完货物？17．（5分）如图，在△ABC中，∠B＝2∠A，利用尺规作图法在边AC上求作一点D，使得△BDC∽△ABC．（不写作法，保留作图痕迹）18．（5分）如图，点E，G在△ABC的边AB，AC上，连接EG，点D为△ABC外一点，连接AD，CD，点F在AD上，连接GF，EG∥BC，GF∥DC，AE＝3，EB＝2，AF＝6，求AD的值．19．（5分）如图是同一副扑克牌中的两张牌“黑桃Q”和“黑桃K”，现在把这两张牌从中间剪断，分成如图的4张背面形状相同的半张牌，并背面向上混合在一起搅匀．小撤和小尼做游戏，小撤先从这4张半张牌中随机地抽取一张（不放回），小尼接着再随机地抽取一张．（1）小撒抽到半张“黑桃Q”的概率是；（2）游戏规定：所抽取的两张中，能拼成一张完整的扑克牌，那么小撒获胜；否则小尼获胜，你认为这个游戏公平吗？并请用列表法或画树状图法说明理由．20．（5分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，O是AB的中点，CO＝6.5，BC＝5．（1）求AC的长；（2）求cos∠OCA与tan∠B的值．21．（6分）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在CD、AD上，连接AE，BF相交于点G，AE⊥BF．（1）求证：∠AED＝∠FBC；（2）连接BE，BF，若AE＝4，求四边形ABEF的面积．22．（7分）“靠山吃山，靠水吃水”，金丝峡景区的人民依靠制作手工艺品也走出了一条致富路，其经营模式一般为生产组的产品由商店代理销售．已知某商店代理销售“竹编篮”平均每天可销售50套，每套盈利22元，在每套降价幅度不超过6元的情况下，每下降1元，则每天可多售4套．如果每天要盈利1160元，每套应降价多少元？23．（7分）阳光明媚的一天，小明与同学计划测量学校周围一栋古建筑AB的高度，由于古建筑底部不可到达，他们在古建筑AB的影子顶端C处，直立一个长为2米的标杆DC，经测量，同一时刻标杆的影子CE＝1米，接下来他们沿着BE方向从E点出发走了9米到达点F处（即EF＝9米），利用无人机测得GF＝12米，并用无人机在G处测得B点的俯角为37°，AB⊥BF，DC⊥BF，GF⊥BF，点B、C、E、F在一条直线上，求古建筑AB的高．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈24．（8分）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为AO上一点，BF⊥BD交DE的延长线于点F，且EF＝DE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）DF交线段AB于点G，若OD2＝OE•OA，求证：△AGE∽△DBF．25．（8分）如图，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点A（3，n）和点B；（1）求n和k的值；（2）以AO为边作菱形AOCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，线段CD交反比例函数第一象限的图象于点E，连接AE、OE，求△AOE的面积；（3）在（2）的条件下，点P是反比例函数图象上的点，若S△COP＝2S△AOE，求点P的坐标．26．（10分）【问题探究】（1）如图1，在▱ABCD中，连接AC，∠BAD＝∠ABC．①求证：▱ABCD是矩形；②若∠ACB＝30°，探究线段BC与线段AB之间的数量关系．【问题解决】（2）如图2所示，矩形ABCD是一块待开发的旅游景点规划地，CA，CE，CF是从入口C通往三个观光点A，E，F的路线，其中CE＝CF，且∠ECF＝∠ACB＝30°，因自然地理环境的限制，观光点A无法直接到达观光点E，F，为方便旅客顺利、便捷地从观光点A到达观光点E，F（观光点E，F分别在AB，AD上），现要在AE，AF上架一座桥梁，已知AC＝4km，桥梁AE的造价为200万元/km，桥梁AF的造价为100万元/km，求建好AE和AF两座桥梁所需要的总造价．

2024-2025学年陕西省西安理工大学附中九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的）1．（3分）计算2cos30°的值为（）A． B． C．1 D．【分析】直接把cos30°＝代入进行计算即可．【解答】解：原式＝2×＝．故选：D．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．2．（3分）下列几何体中，俯视图是三角形的是（）A． B． C． D．【分析】根据常见简单几何体的三视图，可得答案．【解答】解：A．球的俯视图是圆，故本选项不符合题意；B．该三棱柱的俯视图是三角形，故本选项符合题意；C．该圆锥的俯视图是带圆心的圆，故本选项不符合题意；D．该圆柱的俯视图是圆，故本选项不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了简单几何体的三视图，熟记简单几何体的三视图是解题关键．3．（3分）如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，若OA：AD＝1：2，△ABC的周长为3，则△DEF的周长为（）A．6 B．9 C．12 D．27【分析】利用位似的性质得△ABC∽△DEF，AC：DF＝OA：OD＝1：3，然后根据相似三角形的性质解决问题．【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．OA：AD＝1：2，∴△ABC∽△DEF，AC：DF＝OA：OD＝1：3，∴△ABC的周长：△DEF的周长＝1：3，∴△DEF的周长为3×3＝9．故选：B．【点评】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．位似图形必须是相似形，对应点的连线都经过同一点；对应边平行或共线．4．（3分）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，且AB∥CD，则添加下列一个条件能判定四边形ABCD是菱形的是（）A．AC＝BD B．∠ADB＝∠CDB C．∠ABC＝∠DCB D．AD＝BC【分析】根据菱形的判定方法分别对各个选项进行判定，即可得出结论．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠BAO＝∠DCO，∠ABO＝∠CDO，∵OA＝OC，∴△AOB≌△COD（AAS），∴AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，A、当AC＝BD时，四边形ABCD是矩形；故选项A不符合题意；B、∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，∵∠ADB＝∠CDB，∴∠ADB＝∠ABD，∴AD＝AB，∴四边形ABCD为菱形，故选项B符合题意；C、∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∵∠ABC＝∠DCB∴∠ABC＝∠DCB＝90°，∴四边形ABCD是矩形；故选项C不符合题意；D、当AD＝BC时，不能判定四边形ABCD为菱形；故选项D不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．5．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣1＝0，对该方程的根的判断，正确的是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断【分析】根据Δ＝b2﹣4ac与0的关系直接求解即可得到答案．【解答】解：由题意可得：Δ＝22﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，故选：A．【点评】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．6．（3分）如图，反比例函数的图象与经过原点的直线l相交于A、B两点，点A坐标为（﹣2，1），那么B点的坐标为（）A．（﹣2，1） B．（2，1） C．（1，﹣2） D．（2，﹣1）【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．【解答】解：∵点A（﹣2，1）与B关于原点对称，∴B点的坐标为（2，﹣1）．故选：D．【点评】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，要求同学们要熟练掌握．7．（3分）如图，矩形ABCD的边长AB＝3，AD＝6，点F在线段BC上，且BF：FC＝1：2，AF与DB交于点N，则AN＝（）A． B． C． D．【分析】根据勾股定理求出AF，结合矩形性质得到BF∥AD，BC＝AD，△BFN∽△DAN即可解答．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴BF∥AD，BC＝AD，∠ABC＝90°，∵BF：FC＝1：2，AD＝6，∴BF＝×6＝2，∵BF∥AD，∴△BFN∽△DAN，∴＝＝，∴AN＝AF，∵∠ABC＝90°，AB＝3，AF＝2，∴AF＝＝，∴AN＝．故选：B．【点评】本题考查矩形性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．8．（3分）已知x＝﹣1是关于x的方程2x2+ax﹣5＝0的一个根，且点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）都在反比例函数的图象上，则y1和y2满足（）A．y1＞y2＞0 B．y2＜y1＜0 C．y2＞y1＞0 D．y1＜y2＜0【分析】先利用方程的解求得a的值，即可判断反比例函数的图象所在的象限，然后利用反比例函数的性质解决问题即可．【解答】解：∵x＝﹣1是关于x的方程2x2+ax﹣5＝0的一个根，∴2×（﹣1）2﹣a﹣5＝0，∴a＝﹣3，∴a＜0，∴反比例函数的图象在二、四象限，在每个象限y随x的增大而增大，∵点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）都在反比例函数的图象上，∴点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）都在第二象限，∵x1＞x2，∴y1＞y2＞0，故选：A．【点评】本题考查一元二次方程的解，反比例函数的图象上的点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质．二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）9．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为5．【分析】根据配方法的步骤：①把常数项移到等号的右边；②等式两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数项，由此可得出a，b的值，即可得出答案．【解答】解：∵x2﹣2x﹣5＝0，∴x2﹣2x＝5，∴x2﹣2x+1＝5+1，∴（x﹣1）2＝6，∴a＝﹣1，b＝6，∴a+b＝5，故答案为：5．【点评】本题考查解一元二次方程﹣配方法，能够将一元二次方程正确配方是解答本题的关键．10．（3分）木箱里装有仅颜色不同的12个红球和若干个蓝球，随机从木箱里摸出一个球，记下颜色后再放回，经多次的重复实验，发现摸到红球的频率稳定在0.6附近，则估计木箱中蓝球有8个．【分析】设袋子中蓝球有x个，根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案．【解答】解：设袋子中蓝球有x个，根据题意得：＝0.6，解得：x＝8，经检验x＝8是原方程的解，估计袋子中蓝球有8个；故答案为：8．【点评】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据摸到红球的频率得到相应的等量关系．11．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若AD＝4，tan∠DAC＝，则BC的长为4．【分析】解直角三角形求得CD＝2，再利用三线合一即可求解．【解答】解：∵AD⊥BC，，∴，∵AD＝4，∴CD＝2，AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2CD＝4．故答案为：4．【点评】此题考查了解直角三角形、等腰三角形的性质，解直角三角形求出CD＝2是解题的关键．12．（3分）如图，在△AOB中，AB⊥x轴于点B，∠AOB＝30°，OA＝4，反比例函数的图象经过点A，则k的值为﹣4．【分析】先求出点A的坐标，再代入计算即可得．【解答】解：∵AB⊥x轴于点B，∠AOB＝30°，OA＝4，∴，，∴，将点代入反比例函数得：，故答案为：．【点评】本题考查了求反比例函数的解析式等知识，熟练掌握待定系数法是解题关键．13．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点E，F分别为BC，CD边上的动点，连接AE，BF交于点G，连接DG，点M，N分别为CD，DG的中点，连接MN．若AE＝BF，则MN的最小值为．【分析】首先证明Rt△ABE≌△Rt△BCF（HL），然后利用全等三角形性质得到∠AGB＝90°，从而确定G在G在以AB为直径的圆上，接着利用中位线的性质即可确定MN最小的求解方法．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，在Rt△ABE和△Rt△BCF中，，∴Rt△ABE≌△Rt△BCF（HL），∴∠BAE＝CBF，而∠CBF+∠ABG＝90°，∴∠BAG+∠ABG＝90°，∴∠AGB＝90°，∴G在以AB为直径的圆上，O为圆心，而点M，N分别为CD，DG的中点，∴MN＝CG，值．∴当MN最小，那么CG最小，若CG最小，则O、G、C三点共线，∵AB＝2，∴BO＝1，BC＝2，∴OC＝，最小CG＝OC﹣OG＝﹣1．∴MN的最小值．故答案为：．【点评】本题主要考查了正方形的性质，也利用了全等三角形的性质和三角形的中位线的性质，同时也利用了勾股定理解进行计算，综合性比较强．三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程）14．（5分）解方程：6x2﹣5x﹣1＝0．【分析】本题利用因式分解法即可求解．【解答】解：原方程左侧因式分解得：（6x+1）（x﹣1）＝0，6x+1＝0或x﹣1＝0，解得：．【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键．15．（5分）计算：cos245°﹣tan60°tan30°+|sin60°﹣1|．【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答．【解答】解：cos245°﹣tan60°tan30°+|sin60°﹣1|＝（）2﹣×+|﹣1|＝﹣1+1﹣＝．【点评】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．16．（5分）装卸工人往一辆大型运货车上装载货物，装完货物所需时间y（min）与装载速度x（t/min）之间的函数关系如图：（1）求y与x之间的函数关系式；（2）如果以1.5t/min的速度装货，需要多长时间才能装完货物？【分析】（1）求出货物质量，根据装完货物所需时间＝的关系列出函数关系式即可；（2）利用函数关系式，把x＝1.5代入，可求卸完货物时间．【解答】解：（1）设该运货车上装载货物的质量m＝xy，把（0.5，40）代入得货物的质量m＝0.5×40＝20，∴y与x之间的函数关系式；（2）当x＝1.5时，有，∴需要才能装完货物．【点评】本题考查了反比例函数的应用，确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式是解题的关键．17．（5分）如图，在△ABC中，∠B＝2∠A，利用尺规作图法在边AC上求作一点D，使得△BDC∽△ABC．（不写作法，保留作图痕迹）【分析】作∠ABC平分线，交AC于D即可．【解答】解：如图，作∠ABC平分线BD，点D即为所求．理由如下：由作图可知：BD是∠ABC平分线，∴∠ABC＝2∠CBD，∵∠ABC＝2∠A，∴，∵∠C＝∠C，∴△BDC∽△ABC．【点评】本题考查作图﹣相似变换，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．18．（5分）如图，点E，G在△ABC的边AB，AC上，连接EG，点D为△ABC外一点，连接AD，CD，点F在AD上，连接GF，EG∥BC，GF∥DC，AE＝3，EB＝2，AF＝6，求AD的值．【分析】由EG∥BC，GF∥DC得到，，再代入数据即可求出FD＝4，继而可求AD．【解答】解：∵EG∥BC，GF∥DC，∴，，∴，∴FD＝4，∵AF＝6，∴AD＝AF+FD＝10．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握知识点是解题的关键．19．（5分）如图是同一副扑克牌中的两张牌“黑桃Q”和“黑桃K”，现在把这两张牌从中间剪断，分成如图的4张背面形状相同的半张牌，并背面向上混合在一起搅匀．小撤和小尼做游戏，小撤先从这4张半张牌中随机地抽取一张（不放回），小尼接着再随机地抽取一张．（1）小撒抽到半张“黑桃Q”的概率是；（2）游戏规定：所抽取的两张中，能拼成一张完整的扑克牌，那么小撒获胜；否则小尼获胜，你认为这个游戏公平吗？并请用列表法或画树状图法说明理由．【分析】（1）直直接由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中能拼成一张完整的扑克牌的结果有4种，不能拼成一张完整的扑克牌的结果有8种，再由概率公式求出小撒获胜的概率≠小尼获胜的概率，即可得出结论．【解答】解：（1）∵小撤从这4张半张牌中随机地抽取一张，∴小撒抽到半张“黑桃Q”的概率是＝，故答案为：；（2）游戏不公平，理由如下：设4张半张牌分别用A、a，B、b表示，画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中能拼成一张完整的扑克牌的结果有4种，不能拼成一张完整的扑克牌的结果有8种，∴小撒获胜的概率＝＝，小尼获胜的概率＝＝，∵≠，∴游戏不公平．【点评】本题考查了游戏公平性以及树状图法求概率，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．20．（5分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，O是AB的中点，CO＝6.5，BC＝5．（1）求AC的长；（2）求cos∠OCA与tan∠B的值．【分析】（1）由直角三角形斜边中线的性质推出AB＝2CO＝13，由勾股定理即可求出AC＝＝12；（2）由直角三角形斜边中线的性质推出OA＝OC，得到∠OAC＝∠OCA，因此cos∠OCA＝cos∠A＝＝，由锐角的正切即可求出tanB＝＝．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，O是AB的中点，CO＝6.5，∴AB＝2CO＝13，∵BC＝5，∴AC＝＝12，（2）∵∠ACB＝90°，O是AB的中点，∴OC＝AB，∴OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴cos∠OCA＝cos∠A＝＝，tanB＝＝．【点评】本题考查解直角三角形，直角三角形斜边的中线，关键是由直角三角形斜边中线的性质得到AB＝2CO＝13，OA＝OC，推出cos∠OCA＝cos∠A．21．（6分）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在CD、AD上，连接AE，BF相交于点G，AE⊥BF．（1）求证：∠AED＝∠FBC；（2）连接BE，BF，若AE＝4，求四边形ABEF的面积．【分析】（1）根据同角的余角相等，得到∠AFB＝∠FBC，证明△BAF≌△ADE，得到∠AFB＝∠AED，即可得出结论；（2）分割法得到四边形ABEF的面积等于，进行计算即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADE＝90°，AB＝AD，∴∠ABF+∠AFB＝∠ABF+∠FBC＝90°，∴∠FBC＝∠AFB，∵AE⊥BF，∴∠ABF+∠BAG＝90°，∵∠DAE+∠BAG＝90°，∴∠DAE＝∠ABF，∵∠BAD＝∠D＝90°，AB＝AD，∴△BAF≌△ADE（ASA），∴∠AFB＝∠AED，∴∠AED＝∠FBC；（2）解：∵△BAF≌△ADE，∴BF＝AE＝4，∵AE⊥BF，∴四边形ABEF的面积＝．【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是证明△BAF≌△ADE．22．（7分）“靠山吃山，靠水吃水”，金丝峡景区的人民依靠制作手工艺品也走出了一条致富路，其经营模式一般为生产组的产品由商店代理销售．已知某商店代理销售“竹编篮”平均每天可销售50套，每套盈利22元，在每套降价幅度不超过6元的情况下，每下降1元，则每天可多售4套．如果每天要盈利1160元，每套应降价多少元？【分析】设每套“竹编篮”降价x元，则每套盈利（22﹣x）元，平均每天可售出（50+4x）套，根据每天要盈利1160元，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可．【解答】解：设每套“竹编篮”降价x元，则每套盈利（22﹣x）元，平均每天可售出（50+4x）套，由题意得：（22﹣x）（50+4x）＝1160，整理得：2x2﹣19x+30＝0，解得：x1＝2，x2＝7.5（不符合题意，舍去），答：每套应降价2元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．23．（7分）阳光明媚的一天，小明与同学计划测量学校周围一栋古建筑AB的高度，由于古建筑底部不可到达，他们在古建筑AB的影子顶端C处，直立一个长为2米的标杆DC，经测量，同一时刻标杆的影子CE＝1米，接下来他们沿着BE方向从E点出发走了9米到达点F处（即EF＝9米），利用无人机测得GF＝12米，并用无人机在G处测得B点的俯角为37°，AB⊥BF，DC⊥BF，GF⊥BF，点B、C、E、F在一条直线上，求古建筑AB的高．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈【分析】在Rt△BGF中利用三角函数关系求出BF，从而得到BC的长，再利用太阳光是平行光线，证明△ABC∽△DCE，利用对应边的比例关系即可求出答案．【解答】解：由题意，知∠BGF＝90°﹣37°＝53°，在Rt△BGF中，GF＝12米，∠BGF＝53°，∵tan∠BGF＝，∴BF＝GFtan∠BGF＝12tan53°＝12×＝16（米），∴BC＝BF﹣CE﹣EF＝16﹣1﹣9＝6（米），∵太阳光线是平行光线，∴AC∥DE，∴∠ACB＝∠DEC，∵∠ABC＝∠DCE＝90°，∴△ABC∽△DCE，∴，即，解得AB＝12米．答：古建筑AB的高为12米．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，相似三角形的应用，平行投影，灵活运用解直角三角形和相似三角形的性质是解题的关键．24．（8分）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为AO上一点，BF⊥BD交DE的延长线于点F，且EF＝DE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）DF交线段AB于点G，若OD2＝OE•OA，求证：△AGE∽△DBF．【分析】（1）证明OE是△BDF的中位线，推出AC⊥BD，即可证明平行四边形ABCD是菱形；（2）先证明△AOD∽△DOE，得到∠OAD＝∠ODE，再证明△AGE∽△DBF．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是BD的中点，∵EF＝DE，即E是DF的中点，∴OE是△BDF的中位线，∴OE∥BF，∵BF⊥BD，∴OE⊥BD，即AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形；（2）∵OD2＝OE•OA，∴，又∵∠AOD＝∠DOE，∴△AOD∽△DOE，∴∠OAD＝∠ODE，∵四边形ABCD是菱形，∴∠OAD＝∠OAB，∴∠GAE＝∠ODE∵∠AEG＝∠DEO，∴∠AGE＝∠DOE，∵OE∥BF，∴∠DBF＝∠DOE，∴∠AGE＝∠DBF，∴△AGE∽△DBF．【点评】本题主要考查了菱形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理，平行四边形的性质，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键．25．（8分）如图，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点A（3，n）和点B；（1）求n和k的值；（2）以AO为边作菱形AOCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，线段CD交反比例函数第一象限的图象于点E，连接AE、OE，求△AOE的面积；（3）在（2）的条件下，点P是反比例函数图象上的点，若S△COP＝2S△AOE，求点P的坐标．【分析】（1）将点A（3，n）代入求出n的值，再将A（3，4）代入求出k的值；（2）先根据A（3，4）求出OA，根据菱形的性质求出OC＝OA＝5，再根据S菱形AOCD＝OC•|yA|，即可求解；（3）设点