（详解详析）2024年河南郑州一检·数学

数学试卷第页（共页）2024年河南郑州一检·数学详解详析一、选择题（每小题3分，共30分）1.A【解析】由图可得，点A所表示的数为3，∴数轴上点A所表示的数的相反数为-3.2.C【解析】从上边看，可得如图：．3.A【解析】1300亿＝130000000000＝1.3×1011．4.D【解析】因为甲、乙两个学校的总人数没有告诉，所以通过扇形图不能判断甲、乙两个学校的人数一样多，故选项B错误；由于甲、乙两个学校的总人数不确定，通过扇形图不能判断甲校的男生人数比乙校的男生人数多，乙校的女生人数比甲校的女生人数多，故选项A、C均错误；由扇形图知，甲校男、女生各占总人数的50%，甲校的男女生人数一样多，故选项D正确．5.C【解析】∵a∥b，∴∠1＝∠DBC，∴∠1=∠DBC＝∠A+∠2＝28°+31°＝59°．6.B【解析】∵（2n+1）2﹣25＝（2n+1）2﹣52＝（2n+1﹣5）（2n+1+5）＝（2n﹣4）（2n+6）＝4（n﹣2）（n+3），∴对任意整数n，4都是4（n﹣2）（n+3）的一个因数，∴对任意整数n，（2n+1）2﹣25都能被4整除．7.C【解析】∵点A是⊙O中优弧BAD的中点，∴AB＝AD，∵∠ABD＝70°，∴∠ADB＝∠ABD=70°，∴∠A=180°-∠ABD-∠ADB＝180°﹣70°×2＝40°，∴∠C＝180°﹣∠A＝140°．8.B【解析】如图，过点A作AD⊥BC于点D，∵它是一个轴对称图形，∴AB＝AC，∵AD⊥BC，∴BD

=12BC＝3m，在Rt△ADB中，∵tan∠ABC

=ADBD，∴AD＝BD•tanα＝3tanα

m．∴房顶A离地面EF的高度＝AD9.D【解析】如解图，连接AG，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠B+∠C＝180°，∴∠B＝180°﹣120°＝60°，∵点E、F分别是AH、GH的中点，∴EF是△AGH的中位线，∴EF

=12AG，当AG最小时，EF有最小值，当AG⊥BC时，AG最小，则∠BAG＝30°，此时BG

=12AB＝1，AG

=3BG

=3，∴EF

=12AG

=解图10.A【解析】若选择y＝ax2+bx+c，由函数图象可知，此抛物线的开口向下，对称轴x

=−b2a＞0，∴a＜0，b＞0；若选择函数y

=ax+b，由函数图象可知，将反比例函数y

=ax（a＜0）的图象从第四象限向上平移b个单位即可得到函数y

=ax+b的二、填空题(每小题3分，共15分)11.2（答案不唯一）．【解析】∵

1＜2＜4，16＜20＜25，即

1＜212.20≤x≤25【解析】由题意得

20≤x≤2819≤x≤25，解得20≤x≤25，∴鱼缸里的温度x13.2【解析】记两支红笔为：红1，红2，两支黑笔为：黑1，黑2，画树状图如下：一共有12种等可能的情况，其中刚好是一红一黑的情况有8种，∴P（抽出的笔刚好是一红一黑）

=814.1【解析】如图，连接OC，∵CD与⊙O相切于点C，∴∠OCD＝∠OCE＝90°，∵∠ACD＝60°，∴∠ACO＝∠OCD﹣∠ACD＝30°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO＝30°，∴∠COB＝2∠A＝60°，∴∠E＝90°﹣∠COB＝30°，∴∠A＝∠E＝30°，∴AC＝CE

=3在Rt△COE中，CO＝CE•tan30°

=3×∴OE＝2CO＝2，∵OB＝OC＝1，∴BE＝OE﹣OB＝2﹣1＝1，∴BE的长度是1.15.12或

【解析】根据题意，将△ADE绕点D按顺时针方向旋转α（0°≤α≤90°）得到△GDF，即△GDF≌△ADE，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，∴AB＝5．∵点D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴AD

=12AB

=52，AE

=12AC＝2，DE

=12BC

=32，当GF∥AB时，如图①，∴∠ADG＝∠DGP，∠A＝∠GPA，∵△GDF≌△ADE，∴∠A＝∠DGP，∴△MDA和△MPG均为等腰三角形，且MD＝MA．MP＝MG，∴AP＝AM+MP＝MD+MG＝DG，由△GDF≌△ADE得到DG＝AD

=52，∴AP=

52.

则CP＝AC﹣AP＝4

−52=32；当GF∥BC时，如图②，∵DE∥BC，∴GF∥DE，∵∠C＝90°，∴∠EPF＝90°，∠AED=∠GFD=90°，∴EP∥DF，∴四边形DFPE是平行四边形，∵DE＝DF，∠DFP＝90°，∴▱DFPE是正方形，∴EP＝DF＝DE

=32，∵EC

=12AC＝

三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16.解：（1）原式

=15+

＝1

15（2）原式＝2x2﹣2x﹣（x2﹣2x+1）

＝2x2﹣2x﹣x2+2x﹣1

＝x2﹣1．17.解：（1）还需要了解方差，甲公司方差

=110[（7﹣7.8）2+（6﹣7.8）2+（7﹣7.8）2+（6﹣7.8）2+（9﹣7.8）2+（7﹣7.8）2+（9﹣7.8）2+（8﹣7.8）2+（10﹣7.8）2+（9﹣7.8）2]＝乙公司方差

=110[（6﹣7.7）2+（5﹣7.7）2+（8﹣7.7）2+（7﹣7.7）2+（8﹣7.7）2+（8﹣7.7）2+（8﹣7.7）2+（9﹣7.7）2+（8﹣7.7）2+（10﹣7.7）2]＝∵1.76＜1.81，∴甲公司配送饭菜的满意情况波动更小；（2）∵7.8＞7.7，∴用餐学生对甲公司的饭菜质量更加满意（言之有理即可）．18.解：（1）∵正比例函数y＝k1x的图象与反比例函数y=k2x的图象的一个交点是（∴3＝k1，3

=k∴k1＝3，k2＝3，∴正比例函数的表达式为y＝3x，反比例函数的表达式为y

=3∵正比例函数y＝k1x的图象与反比例函数

y=k2x的图象的一个交点是（∴这两个函数的图象的另一个交点坐标为（﹣1，﹣3）；（2）由图象可知，使反比例函数大于正比例函数的x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜1；（3）观察图象可知，y1、y2、y3、y4的大小关系为y3＜y4＜y2＜y1．19.已知：△ABC中，AB＝AC，BF、CE分别是∠ABC、∠ACB的角平分线．求证：BF＝CE，即等腰三角形的两底角的平分线相等．证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BF、CE分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，∴∠BCE＝∠CBF，∵∠ABC＝∠ACB，BC＝BC，∴△BCE≌△CBF（ASA），∴BF＝CE，即等腰三角形两底角的平分线相等．20.解：（1）设甲种树苗每棵的价格是x元，则乙种树苗每棵的价格是（x﹣10）元，根据题意得

400x解得x＝40，经检验，x＝40是原方程的解，也符合题意，∴x﹣10＝40﹣10＝30，∴甲种树苗每棵的价格是40元，乙种树苗每棵的价格是30元；（2）设购买m棵甲种树苗，根据题意得：40×0.9m+30（100﹣m）≤3200，解得m≤33

13∵m为整数，∴m最大取33，∴最多可购买33棵甲种树苗．21.解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∵将△ABC沿直线BC平移到△DCE的位置，∴△ABC≌△DCE，△DCE是等边三角形，∴DC＝CE＝DE，∠CDE＝∠DCE＝∠E＝60°，∴CB＝CD＝AC＝DE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACD＝180°﹣∠ACB﹣∠DCE＝60°，∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝120°，∴∠CBD＝∠CDB＝（180°﹣120°）÷2＝30°，∴∠BDE＝∠CDB+∠CDE＝90°，∴BD

=3DE∴BD

=3AC∴BD∶AC

=3∶1（2）BD⊥AC，理由如下：由（1）知∠CBD＝30°，∠ACB＝60°，∴∠BOC＝180°﹣∠CBD﹣∠ACB＝90°，∴BD⊥AC；（3）四边形ABCD一定是菱形，理由如下：如图，连接AD，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝60°，∵将△ABC沿直线BC平移到△DCE的位置，∴AB＝CD，∠DCE＝∠ABC＝60°，∴∠ACD＝180°﹣∠ACB﹣∠DCE＝60°，AC＝CD，∴△ACD是等边三角形，∴AD＝CD＝AC，∴AB＝BC＝AC＝AD＝CD，∴四边形ABCD是菱形．22.解：（1）以H为原点，HG所在直线为x轴，EH所在直线为y轴，建立平面直角坐标系如图：∵窑洞口的最高点P离地面EF的距离为4米，矩形的长EF为4米，宽GF为2米，∴P点的坐标为（2，2）；（2）根据题意，抛物线顶点为（2，2），且经过点（0，0），设抛物线的表达式为y＝a（x﹣2）2+2，将（0，0）代入得0＝4a+2，解得a

=−∴y

=−12（x﹣2）2+2

=−1∴抛物线的表达式为y

=−12x2（3）设D（m，

−12m2+2m），则AD

=−12m2+2m＝BC，由图可知，0∵AB＝2BC，∴AB＝2（

−12m2+2m）＝﹣m2+4∵m+（﹣m2+4m）＝﹣m2+5m，∴C（﹣m2+5m，

−12m2+2把C（﹣m2+5m，

−12m2+2m）代入y

=−12x2+2x得

−12m2+2m

=−12（﹣m2+5m∴m2﹣4m＝（﹣m2+5m）2﹣4（﹣m2+5m），∴m（m﹣4）＝m（m﹣5）（m﹣1）（m﹣4），∴m（m﹣4）[1﹣（m﹣5）（m﹣1）]＝0，∴m（m﹣4）（﹣m2+6m﹣4）＝0，∴m＝0或m﹣4＝0或﹣m2+6m﹣4＝0，解得m＝0（不符合题意，舍去）或m＝4（不符合题意，舍去）或m＝3

−5或m＝3

+5（不符合∴D（3

−5，﹣1

+∴BC＝AD＝﹣1

+5∴窗户的宽BC为（﹣1

+523.解：（1）①

14a2【解法提示】正方形的边长为

12a，则面积为

14a②

22【解法提示】根据周长比等于相似比，得到新正方形与原正方形周长的

2③

1【解法提示】由①②知，不存在一个新正方形，其周长和面积都为给定正方形周长和面积的

12④正三角形（答案不唯一）【解法提示】由①～③可以推想正三角形也适合上述结论，理由：按照思路一：正三角形的边长为a，则周长为3a，面积为

34a2，当新正三角形边长为

12a时，则周长为

12×3a，而面积为：

34（

12a）2，即新正方形周长是原来的

12，但是面积不是原来的

12，故答案为：（2）不存在.【解法提示】思路一：由x+y＝3和xy＝4得：x2﹣3