（详解详析）2024年河南南阳一模·数学

数学试卷第页（共页）2024年河南南阳一模·数学详解详析一、选择题（每小题3分，共30分）1.B【解析】-5的绝对值是5.2.C【解析】A．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；C．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．3.B【解析】0.000036m＝3.6×10-5m，则n＝-5.4.D【解析】A．甲、乙两组数据的方差分别是0.09，0.1，甲组的方差更小，则甲组数据更稳定，故该选项不正确，不符合题意；B．某游戏的中奖率为15，做5次这样的游戏不一定会有1次中奖，故该选项不正确，不符合题意；C．检测神舟十六号载人飞船的零部件状况，适合采取全面调查，故该选项不正确，不符合题意；D．解2(x-1)＞3，解得x＞52，∴x＝4是不等式2(x﹣1)＞3的解，这是一个必然事件，故该选项正确，符合5.D【解析】A.23−3=3≠2，计算错误，不符合题意；B.（x+y）2＝x2+2xy+y2≠x2+y2，计算错误，不符合题意；C.x2•x3＝x5≠x6，计算错误，不符合题意；D.（x2y）3＝x6y6.A【解析】根据主视图和左视图可得，这个几何体有2层，3列，最底层最少有3小个正方体，第二层有1个正方体，所以搭成该几何体所用的小正方体的个数最少是3+1＝4．7.D【解析】如图，连接BD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∵∠BAD＝30°，∴∠ADB＝90°-30°＝60°，∴∠ACB＝∠ADB＝60°．8.A【解析】∵关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有实数根，∴

b2－4ac＝4﹣4m≥0，解得m≤1，∴m的值9.A【解析】由反比例函数y

=bx的图象在二、四象限可知b＜0，A.假设一次函数y＝cx-a图象正确，则c＞0，-a＞0，∴a＜0，b＜0，c＞0，∴二次函数图象开口向下，对称轴x=−b2a＜0，与y轴的交点在正半轴上，故选项A正确，符合题意；B.假设一次函数y＝cx-a图象正确，则c＜0，-a＞0，∴a＜0，b＜0，c＜0，∴二次函数图象开口向下，对称轴x=-b2a<0，与y轴的交点在负半轴上，而选项中二次函数图象与y轴交点在正半轴上，故选项B错误，不符合题意；C.假设一次函数y＝cx-a图象正确，则c＞0，﹣a＜0，∴a＞0，b＜0，c＞0，∴二次函数图象开口向上，对称轴x=-b2a>0，与y轴的交点在正半轴上，而选项中二次函数图象对称轴x=-b2a<0，与y轴的交点在负半轴上，故选项C错误，不符合题意；D.假设一次函数y＝cx-a图象正确，则c＜0，-a＜0，∴a＞0，b＜0，c＜0，∴二次函数图象开口向上，对称轴x=-b2a>0，与y轴交点在负半轴上，而选项中二次函数图象对10.C【解析】如图所示，过点B作BE⊥x轴于点E，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝4，∵∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝4，∠ADB＝60°，∵O是对角线BD的中点，∴BO=DO=12BD=2，∵BE⊥x轴，∴∠BEO＝90°，∵AD∥x轴，∴∠BOE＝∠ADB＝60°，∴∠EBO＝90°-∠BOE＝30°，∴

OE=12OB=1，∴BE=OB2−OE2=3，∴B(−1，−3)，∵将菱形ABCD绕点O旋转，每秒旋转45°，∴第二、填空题（每小题3分，共15分）11.1.4a【解析】依题意，得商品的售价＝a(1+40%)＝1.4a（元）．12.70【解析】∵AB∥CD，∠BCD＝60°，∴∠ABC＝∠BCD＝60°，∵∠BAC＝50°，∴∠ACB＝180°-∠BAC-∠ABC＝180°-50°-60°＝70°，∵AM∥BC，∴∠MAC＝∠ACB＝70°.13.1【解析】设《九章算术》、《孙子算经》、《海岛算经》三本书分别用A、B、C表示，画树状图如下：由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中两人恰好都抽到《九章算术》的结果数有1种，∴两人恰好都抽到《九章算术》的概率是

1914.π4+【解析】如图，连接OC，∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠OCD＝90°，∵∠D＝45°，∴∠COD＝45°，OC＝CD，∵AB＝2，∴OB＝OC＝CD＝1，∴OD=12+12=2，BC⏜的长为45π×1180=

π4，∴BD=OD−OB=15.2或8【解析】①当PQ的延长线过AB的中点M，如题干图，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠D＝90°，∴∠APD＝∠PAM，∵将△APD沿AP折叠得到△APQ，AD＝4，∴∠APD＝∠APM，∠AQP＝∠D＝90°，AQ＝AD＝4，DP＝QP，∴∠APM＝∠PAM，∠AQM＝90°，∴MP＝MA，∵AB＝10，M是AB的中点，∴MP＝MA＝5，在Rt△AMQ中，由勾股定理，得MQ=AM2−AQ2=52−42=3，∴DP＝QP＝MP-MQ＝5-3＝2；②当PQ过AB的中点M，如图，同①，可求得MQ＝3，PM＝AM＝5，∴DP＝QP＝MP+MQ三、解答题（共8个小题，满分75分）16.解：（1）原式=14-14（2）原式=a2−1

=a(a−

=aa17.解：（1）8，8.55，87.5%；【解法提示】第二次测试得8分的人数为：40×35%＝14（人），第二次测试得7分的人数为：40-2-14-13-8＝3（人），由表①知，第一次测试得8分的人数有12人，人数最多，故众数a＝8，第二次测试的平均数为

b=第二次测试的合格率

c=（2）1200×87.5%＝1050（人），答：估计专项安全教育活动后达到合格水平的学生人数为1050人；（3）∵8.55＞6.4，9＞7，87.5%＞35%，∴专项安全教育活动后，学生测试成绩的平均数、中位数以及合格率均比开展专项安全教育活动前高得多，∴专项安全教育活动的效果良好（答案不唯一，合理即可）．18.解：（1）由题意，将B点代入y=mx，得m＝-1×2∵A（2，a）在双曲线y=∴a＝﹣1．∴A（2，-1）；将A（2，-1）、B（-1，2）代入一次函数表达式得2k∴

k=∴直线y＝kx+b的表达式为y＝-x+1．（2）由（1）得一次函数表达式为y＝-x+1，令y＝0，得x＝1，∴C（1，0），如图，S△即△AOB的面积是32（3）依题意，结合图象，则mx≤kx+b＜019.（1）解：作图如答案图①所示．答案图①（2）延长BG交CD于点F，如答案图②，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABE＝∠BCF＝90°，AB＝BC，∴∠ABG+∠CBF＝90°，∵∠AGB＝90°，∴∠BAG+∠ABG＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，在△ABE和△BCF中，∠B∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE＝BF．答案图②（3）如答案图③，以AB中点为圆心O，AB为直径画圆，∵∠AGB＝90°，∴点G始终在⊙O上，∴如图③，当点G与点O和点C在同一直线上，并在OC之间时，CG的值最小，∵四边形ABCD是正方形，BC＝2，∴

OB∴

OC∵OG＝OB＝1，∴

CG∴CG长的最小值为

5−答案图③20.解：（1）0.2；【解法提示】A品牌每分钟收费4÷20＝0.2（元）．（2）当0＜x≤10时，y2＝3；当x＞10时，设y2＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）．将坐标（10，3）和（20，4）分别代入y2＝kx+b，

得10k解得k=∴y2＝0.1x+2；∴B品牌收费的函数关系式为y2=3(0＜x≤10)0.1x+2(x＞10)，即该品牌的收费方案为当骑行时间不超过10分钟时，收费3元；当骑行（3）小豫骑行共享电动车从家到工厂所用的时间为9÷18×60＝30（min），由图象可知，当x＝30时，y2＜y1，∴小豫选择B品牌的共享电动车更省钱．21.解：如图，过点F作FH⊥AB，交CD于点G，交AB于点H，则HF＝BE，FE＝HB＝CG＝1.5m，GF＝CE＝2m，DG＝DC﹣CG＝1.5m．∵CD⊥BE，AB⊥BE，∴∠DGF＝∠AHF＝90°，∵∠DFG＝∠AFH，∴△GDF∽△HAF，∴DG设AH＝3x，则AB＝3x+1.5，∴1.53∴HF＝4x，过点A作AM⊥PE，垂足为M，则四边形ABEM是矩形，∴AB＝ME，AM＝BE＝HF＝4x，∵无人机在点E的正上方点P处测得点A的俯角为34°，∴∠PAM＝34°，∴在Rt△APM中，PM＝AM•tan

34°≈4x×0.675＝2.7x，∵AB＝AH+HB＝PE﹣PM＝ME，∴3x+1.5＝118.5﹣2.7x，解得x＝20.53，∴3x＝61.58，∴AB＝3x+1.5≈63.1，∴纪念碑的通高AB约为63.1m．22.解：（1）①轨迹如图；②由表格可知抛物线顶点坐标为（6，2.8），设y与x的函数关系式为y＝a（x-6）2+2.8，将（0，2）代入关系式，得2＝a（0-6）2+2.8，解得a=经检验其它数据（x，y）也满足上述关系，∴y=③当x＝9时，y=∴这次发球能过网．（2）当OA＝2时，抛物线的表达式为

y=设击球高度OA＝h，则上下平移距离为（h-2）m，∴平移后的抛物线的表达式为

y=∵9≤x≤18，当x＝9时，y＞2.24，∴

−1∴h＞1.64，当x＝18时，y＝0，∴

−1∴h＝2.4．答：击球高度OA的取值范围是1.64m＜OA≤2.4m．23.解：（1）①PB=PQ；【解法提示】∵AP是△ABC的角平分线，∴∠BAP＝∠CAP，∵AP＝AP，AQ＝AB，∴△ABP≌△AQP（SAS），∴PB＝PQ；②PE=PF；【解法提示】在BC上取点D，使CD＝CF，连接PD、PC，如答案图①，∵△ABC的角平分线AE、BF相交于点P．∴CP平分∠ACB，∴∠FCP＝∠DCP，∵CP＝CP，∴△CFP≌△CDP（SAS），∴PD＝PF，∠CFP＝∠CDP，∵∠ACB＝60°，∴∠BAC+∠ABC＝120°，∴∠PAB+∠PBA＝60°，∴∠APB＝120°，∴∠FPE＝∠APB＝120°，∴∠FPE+∠FCE＝180°，∴∠CFP+∠CEP＝180°，∴∠CDP+∠CEP＝180°，∵∠CDP+∠PDE＝180°，∴∠CEP＝∠PDE，∴PD＝PE，∴PE＝PF；答案图①（2）PC＝PD，理由如下：在AB上取点E，使AE＝AD，连接PE，如答案图②，则AB＝AE+BE，∵AB＝AD+BC，∴BC＝BE，∵∠DAB的平分线与∠ABC的平分线恰好交于CD边上的点P，∴∠DAP＝∠EAP，∠CBP＝∠EBP，∵AP＝AP，∴△ADP≌△AEP（SAS），∴PD＝PE，∵BP＝BP，∴△BCP≌△BEP（SAS），∴PC＝PE，∴PC＝PD；答案图②（3）AD=6或AD=10；【解法提示】设AD＝AE＝x，则BC＝BE＝15﹣x，①当∠BPC＝45°时，∠BPE＝∠BPC＝45°，∴∠CPE＝90°，∴∠DPE＝90°，∴∠APE＝∠APD＝45°，过点E作EG⊥AP于点G，如答案图③，则∠PGE＝90°，∴∠PEG＝45°，∴PG＝EG，∵∠ADP＝∠AEP，∠BCP＝∠BEP，∠AEP+∠BEP＝180°，∴∠ADP+∠BCP＝180°，∴AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC＝180°，∴∠PAB+∠PBA＝90°，∴∠APB＝90°，∴tan∠PAB

=

BPAP=

∴AP＝2BP，∵AP2+BP2＝AB2，AB＝15，∴

BP=35∵EG∥BP，∴△AEG∽△ABP，∴

EG∴

EG=GP∴

AP∴

35∴x＝10，即AD＝10；②当∠C＝45°时，