（详解详析）2024年河南某郑州外国语一模·数学

数学试卷第页（共页）2024年河南某郑州外国语一模·数学详解详析一、选择题1.B【解析】6是无限不循环小数，是无理数.2.B3.C【解析】99.44亿＝9944000000＝9.944×109．4.A【解析】如图，∵AB∥CD，∠4＝90°，∴∠2＝∠3，∠1+∠3＝90°，∵∠1＝28°，∴∠2＝∠3＝90°﹣28°＝62°．5.C【解析】原式=2x−2x−2−2x6.A【解析】如图，连接OC，OD，∵∠CBD＝35°，∴∠COD＝2∠CBD＝70°，∵

BC⏜＝DC⏜，∴∠BOC＝∠COD＝70°，∴∠AOD＝180°﹣∠BOC﹣∠COD＝40°，∴∠ABD

7.D【解析】由题意得，b2﹣4ac＝25﹣28＝﹣3＜0，∴方程没有实数根．8.B【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD=12BD，BD⊥AC，∴BD＝2OB＝12，∵S菱形ABCD=12AC•BD＝54，∴AC＝9，∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∴OE=9.C【解析】由函数图象可知，a＜0，b＞0，c＞0，∴abc＜0，故①错误；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴−b2a=1，即2a+b＝0，故②正确；∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（4，0），且对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣2，0），将此点坐标代入函数表达式得，4a﹣2b+c＝0，故③正确；∵方程ax2+bx+c＝2的实数根，可看成函数y＝ax2+bx+c的图象和直线y＝2交点的横坐标，显然函数y＝ax2+bx+c的图象与直线y＝2有两个不同的交点，∴方程ax2+bx+c＝2有两个不相等的实数根，故④正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，且开口向下，∴当x＝1时，函数有最大值a+b+c，则对于抛物线上的任意一点A（m，n），其函数值不大于a+b+c，即am2+bm+c≤a+b+c．故⑤正确；综上所述，正确的10.B【解析】如图，BP，BP′是∠ABC的三等分线，根据函数图象可知，AB＝BC＝2，∵∠ABC＝108°，∴∠A＝∠C＝∠ABP′＝∠CBP＝∠PBP′＝36°，∴∠APB＝∠ABP＝72°，∴AB＝AP＝2，同理CP′＝BC＝2，∵∠PBC＝∠A，∠C＝∠C，∴△PBC∽△BAC，∴BCAC=PCBC，∴

22+PC=PC2，∴PC=5−1或−5−1（负值舍去），∴AB+BC+PC=5+3，AB+BC+CP二、填空题11.3（a+b）【解析】∵轮船在静水中的速度是akm/h，水流速度是bkm/h，∴轮船顺水航行的速度是（a+b）km/h，∴轮船顺水航行3h共航行了3（a+b）km．12.1【解析】∵x与y互为相反数，∴x+y＝0，∴

x+y=0①2x−y=3②，①+②得3x＝3，解得x＝1，∴y＝﹣13.4【解析】由题意画树状图如下，由图可知，共有9种等可能的结果，其中两次摸到不同数字的结果有4种，∴两次摸到不同数字的概率为4914.17【解析】如图，连接AN，根据网格，可得AB=12+42=17，

AC=12+42=17，

BC=32+52=34，∴BC2＝AC2+AB2，AB＝AC，∴△ABC是等腰直角三角形，且∠BAC＝90°，∵边BC与MN⏜所在的圆相切于点N，15.83或【解析】∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，∴AB＝2BC＝4，∠B＝60°，当△APD与△ABC相似时，∵点D始终在边AC上，根据折叠可知，PB＝PD，设AP＝x，则PB＝PD＝4﹣x，∴当△APD∽△ABC时，∠ADP＝∠ACB＝90°，∴AP＝2DP，即x＝2（4﹣x），解得x

=83，∴AP

=83；当△APD∽△ACB时，∠APD＝∠ACB＝90°，∴DP＝AP•tan30°

=33AP，即4﹣x

=33x，解得x

=6−23，∴AP

=三、解答题16.解：（1）(=1=1=2（2）（2x+1）（2x﹣1）﹣4x（x﹣1）＝4x2﹣1﹣4x2+4x＝4x﹣1．17.解：（1）5；91；100；【解法提示】∵20-3-4-8=5，∴a＝5；将这组数据按照从小到大的顺序重新排列为81，82，83，86，87，88，89，90，90，90，92，93，96，96，98，99，100，100，100，100，其中位于中间的两个数分别是90，92，∴b

=90+922=91，∵在这组数据中，100出现（2）估计成绩不低于90分的人数是2700×1320答：估计成绩不低于90分的人数是1755人；（3）中位数：在统计的问卷的成绩中，最中间的两个分数的平均数是91分；众数：在统计的问卷的成绩中，得100分的人数最多（答案不唯一，合理即可）．18.解：（1）∵点A（﹣1，﹣3）在反比例函数y=kx∴k＝3，∴反比例函数表达式为y=3∵B（3，n）点在y=3x的∴当x=3时，n＝1，∴B（3，1），∵点A（﹣1，﹣3），B（3，1）在一次函数y＝ax+b的图象上，∴

−a解得

a=∴一次函数表达式为y＝x﹣2；（2）如图，作出垂线如图所示；点E位于点D右方时，由图可知m＞1或﹣3＜m＜0．19.（1）证明：如图，连接OD，∵BC与⊙O相切于点D，∴OD⊥BC，∵BD＝CD，OD＝OD，∴OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵OD⊥BC，OA⊥AC，∴∠ODC＝∠OAC＝90°，在Rt△AOC与Rt△DOC中，OA∴Rt△AOC≌Rt△DOC（HL），∴∠ACO＝∠DCO，∴∠B＝∠ACO；（2）∵由（1）知，∠B＝∠ACO=∠OCB，∠BAC=90°，∴∠B+∠ACO+∠OCB=90°，∴∠B＝30°，∴

AC=12BC＝CD＝BD＝∴OA

=33AC

∴AE＝2OA＝2

3，∴CE

=AE220.解：（1）在Rt△EFH中，cos∠FHE

=H∴∠FHE＝45°，∴篮板底部支架HE与支架AF所成的夹角∠FHE的度数为45°；（2）如图，延长FE交CB的延长线于点M，过点A作AG⊥FM于点G，过点H作HN⊥AG于点N，则四边形ABMG和四边形HNGE是矩形，∴GM＝AB，HN＝EG，在Rt△ABC中，∵tan∠ACB

=ABBC，∴AB＝tan60°•BC＝3×1.3=∴GM＝AB＝133在Rt△ANH中，∵sin∠FAN=HNAH，∠FAN＝∠∴HN＝sin45°•AH=2∴EM＝EG+GM

=12答：篮板底部点E到地面的距离大约是2.75m．21.解：（1）设A，B两种商品每件的进价分别是x元，y元，根据题意得，

30x解得

x=∴A，B两种商品每件的进价分别是30元，50元；（2）设A商品a件，B商品(1000−a)件，利润为m元，根据题意得，

a≥解得800≤a≤1000，m＝(45−30)a+(75−50)(1000−a)＝25000−10a，∵k＝−10＜0，∴m随a的增大而减小，∴a＝800时，m的最大值为17000元，∴购进A商品800件，B商品200件，最大利润为17000元．22.解：（1）将点（0，4）和（4，8）代入抛物线C2：y=−18x2+bx得

4=解得

b=∴抛物线C2的函数表达式为y=−18x2+（2）设运动员运动的水平距离为m米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，依题意得，−18m2

+32m+4

−（−112m2整理得，（m﹣12）（m+4）＝0，解得m1＝12，m2＝−4（舍去），故运动员运动的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米；（3）∵C1：y=−112x2+76x+1=−112（x当x＝7时，运动员到达坡顶，即−18×72+7b+4＞3解得b＞3523.解：（1）菱形；四条边相等的四边形是菱形；【解法提示】由作法可知，AC＝AD＝BD＝BC，∴四边形ADBC是菱形．（2）选小明的思路证明如下：由作图可知，AC＝BC＝AD＝BD＝DE，∴四边形ADBC是菱形，∴AC∥BE，AD∥BC，∴∠ACH＝∠DEH，∠CAH＝∠EDH，∴△AHC≌△DHE（ASA）．∴AH∵AD∥BC，∴△AHF∽△BCF，∴AF∴BF=2AF，∴AB＝AF+BF＝AF+2AF＝3AF，∴AF选小亮的思路证明如下：由作图可知，AC＝BC＝AD＝BD＝DE，∴四边形ADBC是菱形，BE＝BD+DE＝2AC，∴AC∥BE．∴△ACF∽△BEF，∴

AF∴BF=2AF，∴AB＝AF+BF＝AF+2AF＝3AF，即AF=13（3）当点H′在线段DF上时，如答案图①，连接CD交AB于点O，作H′G⊥CD于点G，则∠CGH'＝∠DGH'＝90°，∵四边形ADBC是菱形，AC∴AD=AC=∴CF＝DF，∵∠CAD＝60°，∴△ACD等边三角形，∴∠B∴CD由（2）中小明的证明思路，可知AH∴CH垂直平分AD，∴AF＝DF，∠AHC＝∠DHC＝90°，∴∠FDA＝∠FAD＝30°，∵∠CDH'＝∠ADC﹣∠FDA＝60°﹣30°＝30°，在Rt△CDH中，CH＝CD·sin∠ADC＝43×3∴CH'＝CH＝6，在Rt△DH′G中，∠CDH'＝30°，∴GH′

=12DH′，DG＝DH′·cos∠∴CG在Rt△CGH′中，GH′2+CG2