（详解详析）2023年河南郑州一检·数学

数学试卷第页（共页）2023年河南郑州一检·数学详解详析一、选择题1.D2.C3.D4.D5.B6.D7.D8.B9.D【解析】如图，过点B1作B1D⊥y轴于点D，则∠ODB1＝∠AOD＝90°.∵四边形OABC是矩形，A(

−6，0)，C(0，2

3)，∴∠OAB＝90°，OA＝6，AB＝OC＝2

3，∴tan∠AOB＝

ABOA＝

236＝

33，∴∠AOB＝30°.连接OB1，由旋转的性质得OB1＝OB＝

ABsin30°=2AB=43,∠A1OB1＝∠AOB＝30°，∴∠DOB1＝∠DOA

−∠AOB

−∠A1OB1＝90°

−30°

−30°＝30°，在Rt△DOB1中，DB1＝

12OB1＝2

3，OD＝OB1

∙cos30°

=43×10.D【解析】由题意可知，货车从西昌到雅安的速度为240÷4＝60(km/h)，故选项B不符合题意；轿车从西昌到雅安的速度为(240

−75)÷(3

−1.5)＝110(km/h)，故选项C不符合题意；轿车从西昌到雅安所用时间为240÷110＝2

211(h)，两车出发的间隔时间为3

−2

211＝

911(h).设货车出发a小时后与轿车相遇，根据题意得60a＝110(a

−

911)，解得a＝1.8，∴货车出发1.8小时后与轿车相遇，故选项A不符合题意；轿车到雅安20分钟后，货车离雅安还有60×

60－2060＝二、填空题11.－312.＜13.114.π【解析】如图，连接OD，OE，OE与DC交于点F，∵⊙O与AB，BC相切，∴OD⊥AB，OE⊥BC，又∵OE＝OD，∠ABC＝90°，∴四边形ODBE为正方形，∴∠DOE＝90°，OD＝BE.∵AB＝BC且∠B＝90°，∴∠ACB＝45°，∴OE＝EC，∴OD＝OE＝EC＝2，又∵∠DFO＝∠CFE，∠DOF＝∠CEF，∴△DOF≌△CEF(AAS)，∴OF＝EF，S△DOF＝S△CEF，∴S阴影＝S扇形DOE＝

90×π15.3或23【解析】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，∴∠BAC＝30°，∴AB＝2BC＝2×2＝4，∴AC＝AB2－BC2＝42－22＝23.当∠APQ＝90°时，如图①，∵∠APC＝∠ACB＝90°，∠CAP＝∠BAC，∴△CAP∽△BAC，∴

ACAP＝

ABAC，即

23AP＝

423，∴AP＝3；当∠AQP＝90°时，如图②，∵PD⊥AC，PE⊥BC，∠ACB＝90°，∴四边形DPEC是矩形，∴CQ＝PQ，∵∠AQP＝90°，∴AQ垂直平分CP，∴AP＝AC＝2答案图①

答案图②三、解答题16.解：(1)原式

＝5＋1

−2×1

＝6

−2

＝4；(2)原式＝

a（a＋

＝

a（a＋

＝

1a17.解：(1)78.75；(2)B，该学生A课程的成绩低于A课程60名学生成绩的中位数，而该学生B课程的成绩高于B课程60名学生成绩的中位数；(3)估计A课程成绩超过75.8分的人数为300×

10+18+86018.解：如图，连接AB，由题可知AC⊥AP，点A、B、C在同一直线上，设AP＝x米，在Rt△APB中，∠APB＝35°，∴AB＝AP·tan35°≈0.7x（米），∵BC＝32米，∴AC＝AB＋BC＝(0.7x＋32)米，在Rt△APC中，∠APC＝42°，∴tan42°＝

ACAP＝

解得x＝160，经检验，x＝160是原分式方程的解，∴AB＝0.7x＝0.7×160＝112（米），答：这座山AB的高度约为112米．19.解：(1)∵反比例函数y＝kx(k≠0)的图象与正比例函数y＝－32x的图象相交于点A(a，∴－32a＝3，k＝3a解得a＝−2，k＝

−6，∴A(

−2，3)，又∵反比例函数的函数图象是中心对称图形，∴点A与点B关于原点O对称，∴B(2，−3)；(2)

−2<x<0或x>2；【解法提示】由图象知，不等式kx＞−32x的解集对应反比例函数图象在正比例函数图象上方的区域，即−2＜x＜0或x(3)如图，过点A作AE⊥BC于点E，∵A(−2，3)，B(2，−3)，∴AE＝3−(−3)＝6，BE＝2−(−2)＝4，在Rt△AEB中，由勾股定理得AB＝AE2＋BE2＝∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝213，∴S菱形ABCD＝BC·AE＝213×6＝1213.20.解：(1)根据题意，得

600a－140＝解得a＝260，经检验，a＝260是原分式方程的解，∴表中a的值为260；(2)设购进餐桌x张，则购进餐椅(5x＋20)张，根据题意得x＋5x＋20≤200，解得x≤30.设销售利润为y元，根据题意得y＝[940

−260

−4×(260

−140)]×

12x＋(380

−260)×

12x＋[160

−(260

−140)]×(5x＋20

−4×

12x)＝280x∵280＞0，则y随x的增大而增大，∴当x＝30时，y取最大值，最大值为280×30＋800＝9200，此时5x＋20＝5×30＋20＝170(张)．∴当购进餐桌30张、餐椅170张时，才能获得最大利润，最大利润是9200元．21.解：(1)当x＝0时，y＝−16×(0

−5)2＋6＝11∴点A的坐标为(0，116)，即OA＝11∴雕塑高116m.(2)当y＝0时，−16(x

−5)2＋6＝0解得x1＝−1(舍去)，x2＝11，∴点D的坐标为(11，0)，∴OD＝11

m.

∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，∴OC＝OD＝11

m，∴CD＝OC＋OD＝22

（m）；

(3)当x＝10时，y＝−16(10

−5)2＋6＝11∴点(10，116)在抛物线y＝−16(x

−5)2＋又∵116≈1.83＞1.8∴顶部F不会碰到水柱．22.解：(1)根据题意作图如图①；答案图①(2)如图②，设∠ADB＝α，⊙A的半径为r，∵BD与⊙A相切于点E，CF与⊙A相切于点G，∴AE⊥BD，AG⊥CG，即∠AEF＝∠AGF＝90°，∵CF⊥BD，∴∠EFG＝90°，∴四边形AEFG是矩形，又∵AE＝AG＝r，∴四边形AEFG是正方形，∴EF＝AE＝r.在Rt△AEB和Rt△DAB中，∠BAE＋∠ABD＝90°，∠ADB＋∠ABD＝90°，∴∠BAE＝∠ADB＝α，在Rt△ABE中，tan∠BAE＝

BE∴BE＝AE·tan∠BAE＝r·tanα.∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠ABE＝∠CDF，又∵∠AEB＝∠CFD＝90°，∴△ABE≌△CDF(AAS)，∴DF＝BE＝r·tanα，∴DE＝DF＋EF＝r·tanα＋r，在Rt△ADE中，tan∠ADE＝

AEDE，即DE·tanα∴(r·tanα＋r)·tanα＝r，即tan2α＋tanα－1＝0，∵tanα＞0，∴tanα＝

5－12，即tan∠ADB的值为答案图②23.解：(1)45°，

12【解法提示】如图①，∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD＝AB＝AD，∠B＝∠D＝∠BCD＝∠A＝90°，由折叠的性质可知，∠CGE＝∠D＝90°，CG＝CD，EG＝ED，∠ECG＝∠ECD，∴CB＝CG，∵∠B＝∠CGH＝90°，CH＝CH，∴Rt△CHB≌Rt△CHG(HL)，∴HB＝HG，∠HCG＝∠HCB，∴∠ECH＝∠ECG＋∠HCG＝

12(∠DCG＋∠BCG)＝45°.∵正方形纸片ABCD的边长为4，∴AE＝DE＝EG＝2.设BH＝GH=x，则EH＝EG＋GH＝2＋x，AH＝4

−x，在Rt△AEH中，根据勾股定理得AE2＋AH2＝EH2，∴22＋(4

−x)2＝(2＋x)2，解得x＝

43，∴BH＝

43，AH＝4－

43＝

83，∴

答案图①(2)

AMBM＝

如图②，连接EM.由折叠的性质知，ED＝EG，AE＝ED，∴EA＝EG，∵EM＝EM，∠A＝∠EGM＝90°，∴Rt△EMA≌Rt△EM