（讲评用卷）2024年河南省信阳三模·数学

数学试卷第页（共页）2024年河南省信阳三模·数学全卷总分:120分考试时间:100分钟一、选择题1.2024的相反数是（）A．2024B．﹣2024C．|2024|D．11.B2.2024年1月，国家统计局公布了2023年的主要数据，其中人口的变化最引人瞩目.2023年全年出生人口数约为9020000，又创新低．其中数字9020000用科学记数法表示为（）A．902×104 B．90.2×105C．9.02×106 D．0.902×1072.C【解析】9020000＝9.02×106．3.“斗”是我国古代称量粮食的量器，它无盖，其示意图如图所示，下列图形是“斗”的俯视图的是（）A．B．C．D．3.C【解析】从上面看，看到的图形为一个正方形，在这个正方形里面还有一个小正方形，即看到的图形为.4.下列计算正确的是（）A．a3+3a3＝4a6 B．a•a2＝a3C．a6÷a2＝a3 D．（a3）2＝a54.B【解析】A.a3+3a3＝4a3，故此选项不符合题意；B.a•a2＝a3，故此选项符合题意；C.a6÷a2＝a4，故此选项不符合题意；D.（a3）2＝a6，故此选项不符合题意.5.二元一次方程组

x+A．

x=0y=2

C．

x=0y=−25.C【解析】x+y=−2①2x−y=2②，①+②得，3x＝0，解得x＝0，把x＝0代入①6.如图，E、F分别是矩形ABCD边AB，CD上的点，将矩形ABCD沿EF折叠，使A，D分别落在A′和D′处，若∠1＝50°，则∠2的度数是（）A．65° B．60° C．50° D．40°6.A【解析】由折叠的性质得，∠AEF＝∠A′EF，∵∠1＝50°，∴∠AEF＝∠A′EF

=180°−∠12=65°，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠7.“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小明购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给朋友小亮，小明将它们背面朝上放在案面上（邮票背面完全相同），让小亮从中随机抽取两张，则小亮抽到的两张邮票恰好是“秋分”和“大寒”的概率是（）A．

12

B．

1C．

18

D．

7.B【解析】把“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票分别记为A、B、C、D，画树状图如下，由树状图知，共有12种等可能的结果，其中小亮抽到的两张邮票恰好是“秋分”和“大寒”的结果有2种，∴小亮抽到的两张邮票恰好是“秋分”和“大寒”的概率是

2128.若关于x的一元二次方程2x2﹣4x+k＝0没有实数根，则k的取值范围为（）A．k＜2 B．k＞2C．k＞4 D．k≥28.B【解析】根据方程没有实数根，得到b2﹣4ac＝16﹣8k＜0，解得：k＞2．∴实数k的取值范围是：k＞2．9.如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B，PO的延长线交⊙O于点C，连接OA，OB，BC．若AO＝5，OP＝10，则∠C等于（）A．60° B．20° C．30° D．45°9.C【解析】由题意得，OB⊥PB，OA＝OB＝5，∴∠OBP＝90°，在Rt△OBP中，∵cos∠BOP

=OBOP=510=12，∴∠BOP＝60°10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8，动点P在△ABC内，且使得△ACP的面积为3，点Q为AB中点，则PB+PQ的最小值为（）A．65

B．73

C．109

D．58+10.C【解析】∵∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8，∴AC

=AB2−BC2=6，如图，过P作PD⊥AC，交AC于点D，∵△ACP的面积为3，S△ACP

=12×AC×PD，∴PD＝1，过点P作直线l∥AC，则l与AC的距离为1，点P在直线l上运动且在△ABC内，B到直线l的距离为7，作B关于直线l的对称点E，连接EQ，交直线l于点P′，∴EP′＝BP′，∴PB+PQ≥BP′+P′Q＝EP′+P′Q＝EQ，EQ即PB+PQ的最小值，过Q作QF⊥BC，交BC于点F，∵点Q为AB中点，∴BQ＝AQ＝CQ＝5，∴CF＝BF＝4，∵BQ＝5，∠QFB＝90°，∴QF

=BQ2−BF二、填空题（每小题3分，共15分）11.x−5中x的取值范围是11.x≥5【解析】由题意得：x﹣5≥0，解得x≥5．12.因式分解：x2﹣4＝

．12.(x+2)(x﹣2)13.如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转50°后得到△COD，若∠AOB＝15°，则∠AOD＝

度．13.35【解析】由题意得，∠BOD＝50°，∵∠AOB＝15°，∴∠AOD＝∠BOD﹣∠AOB＝50°﹣15°＝35°.14.如图，点A在双曲线

y=1x上，点B在双曲线y

=3x上，且AB∥x轴，C，D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，14.2【解析】如图，延长BA交y轴于E，∵AB∥x轴，∴AE垂直于y轴，∵点A在双曲线

y=1x上，∴四边形AEOD的面积为1，∵点B在双曲线y

=3x上，且AB∥x轴，∴四边形BEOC的面积为3，∴矩形ABCD的面积为315.如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝8．点Q为射线DC上的一个动点，将△ADQ沿AQ翻折，点D的对应点D'恰好落在直线BQ上，则DQ的长为

.15.4或16【解析】①当点Q在线段DC上时，如图①，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝10，BC＝AD＝8，AB∥CD，∠BCQ＝90°，∴∠AQD＝∠BAQ．由翻折得∠AQD＝∠AQD'，∴∠BAQ＝∠AQD′．∴BQ＝AB＝10，在Rt△BCQ中，CQ

=BQ2−BC2=102−82=6，∴DQ＝CD﹣CQ＝10﹣6＝4；②当点Q在DC的延长线上时，如图②，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠AQD＝∠BAQ，由翻折得∠AQD＝∠AQB，∴∠BAQ＝∠AQB，∴BQ＝AB＝10．在Rt△BCQ中，CQ

=BQ2−BC

三、解答题（本大题共8个小题，共75分）16.（1）计算：|

−4|

−(π

−3.14)0+(

13)﹣1（2）化简：(2x+y)2+(x+y)(x

−y)．16.解：（1）原式＝4

−1+3＝6；（2）原式＝4x2+4xy+y2+x2

−y2＝5x2+4xy．17.问题情境：某公司计划购入语音识别输入软件，提高办公效率．市面上有A，B两款语音识别输入软件，该公司准备择优购买．实践发现：测试员小林随机选取了20段短文，其中每段短文都有10个文字．他用标准普通话以相同的语速朗读每段短文来测试这两款软件，并将语音识别结果整理数据如下．A款软件每段短文中识别正确的字数记录为：5，5，6，6，6，6，6，6，6，7，9，9，9，9，9，10，10，10，10，10实践探究：A，B两款软件每段短文中识别正确的字数分析数据如表：软件平均数众数中位数识别正确9字及以上的段数所占百分比A款7.76850%B款7.7ab30%问题解决：（1）上述表格中：a＝

，b＝

；（2）若你是测试员小林，根据上述数据，你会向公司推荐哪款软件？请说明理由（写出一条理由即可）．（3）若会议记录员用A，B两款软件各识别了400段短文，每段短文有10个文字，请估计这两款软件一字不差地识别正确的短文共有多少段？17.解：（1）8，8；【解法提示】根据图形可知，B款软件每段短文中识别正确的字数最多的是8，故B款的众数为8，即a＝8；由折线图可得，将B款语音识别输入软件每次识别正确的字数从小到大排列，第10，11个数都是8，故中位数为8，即b＝8.（2）会向公司推荐A款软件；理由如下：A款语音识别输入软件中更准确，∵在9字及以上次数所占百分比中，A款是50%，大于B款30%，说明A款识别准确率更高，∴会向公司推荐A款软件；（答案不唯一，合理即可）(3

)A款语音识别完全正确的百分比是

520×100%＝B款语音识别完全正确的百分比是

220×100%＝估计这两款软件一字不差地识别正确的短文共有400×25%+400×10%＝140（段），答：估计这两款软件一字不差地识别正确的短文共有140段．18.如图，AC是矩形ABCD的对角线．（1）请用无刻度的直尺和圆规作点B关于AC的对称点E．（保留作图痕迹，不写作法）（2）连接AE，交DC于点F．求证：AF＝CF．18.（1）解：如图所示，点E即为所求．（作法不唯一）（2）证明：如图，记AC与BE交于点O，AE与CD交于点F，由对称的性质，可知AC垂直平分线段BE，∴AB＝AE，BO＝EO，∴∠EAC＝∠BAC．∵四边形ABCD为矩形，∴CD∥AB．∴∠DCA＝∠BAC．∴∠EAC＝∠DCA．∴AF＝CF．19.如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与BC边交于点E，D为优弧AB⏜上一点，DO⊥BE于点O，连接AD交BC于点F，AC＝（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BF＝8，

DF=210（3）若∠ADB＝60°，BD＝2，则阴影部分的面积为

．19.（1）证明：如图，连接OA，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AC＝CF，∴∠CAF＝∠CFA，∵OD⊥BE，∴∠DOF＝90°，∴∠OFD+∠ODA＝90°，∵∠CAF＝∠CFA，∠OFD＝∠CFA，∴∠CAF+∠OAD＝90°，即OA⊥AC，∵OA为⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线；（2）解：设⊙O的半径为r，∴BO＝DO＝r，∵BF＝8，∴OF＝8﹣r，∵∠DOF＝90°，∴在Rt△ODF中，由勾股定理得OF2+OD2＝DF2，∵

DF∴（8﹣r）2+r2＝（2

10）2，解得r＝6或r＝2（不符合题意舍），∴⊙O的半径为6；（3）解：∵BO＝DO，BD＝2，∠DOB＝90°，∴在Rt△BOD中，由勾股定理得BO2+OD2＝BD2，∴OB＝OD

=2即⊙O的半径为

2，∵∠ADB＝60°，∴∠AOB＝2∠ADB＝120°，∴∠AOC＝180°﹣∠AOB＝60°，由（1）知，OA⊥AC，∴∠OAC＝90°，在Rt△OAC中，tan∠AOC＝tan60°

=A∵OA

=2∴AC

=3OA

=∴S△OAC

=12OA•AC

=12×2×∴阴影部分的面积为S△OAC﹣S扇形AOE

=320.为培养学生的阅读能力，某校八年级购进《朝花夕拾》和《西游记》两种书籍，分别花费了14000元和7000元，已知《朝花夕拾》的订购单价是《西游记》订购单价的1.4倍，并且订购的《朝花夕拾》的数量比《西游记》的数量多300本．（1）求该校八年级订购的两种书籍的单价分别是多少元；（2）该校八年级计划再订购这两种书籍共100本作为备用，且两种书总花费不超过1200元，求最多购买《朝花夕拾》多少本．20.解：（1）设该校八年级订购的《西游记》的单价是x元，则《朝花夕拾》的单价是1.4x元，由题意得，

140001.4x解得x＝10，经检验，x＝10是所列方程的解，且符合题意，∴1.4×10＝14（元），答：该校八年级订购的《西游记》的单价是10元，《朝花夕拾》的单价是14元；（2）设购买《朝花夕拾》m本，则购买《西游记》（100﹣m）本，由题意得，14m+10（100﹣m）≤1200，解得m≤50，答：最多购买《朝花夕拾》50本．21.某数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题，实践报告如下：活动课题遮阳篷前挡板的设计问题背景我们所在的社区服务中心在窗外安装了遮阳篷，结果发现夏日正午时纳凉面积不够，现在为使房前的纳凉区域增加到2.76m宽，计划在遮阳篷前端加装一块前挡板（前挡板垂直于地面），如图①，现在要计算所需前挡板的宽度BC的长．测量数据抽象模型我们实地测量了相关数据，并画出了侧面示意图，如图②，遮阳篷AB长为4m，其与墙面的夹角∠BAD＝70°，其靠墙端离地高AD为3.5m．通过查阅资料，了解到本地夏日正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角∠CFE）最小为60°，若假设此时房前恰好有2.76m宽的阴影DF，如图③，求出BC的长即可．解决思路经过讨论，我们准备按照如下步骤解决问题：（1）运用所学的三角函数的相关知识，构造直角三角形，先求出遮阳篷前端B到墙面AD的距离；（2）继续构造直角三角形，求出∠CFE为60°时，BC的长度．运算过程…该报告运算过程还没有完成，请按照解决思路，帮助兴趣小组完成该部分．（结果精确到0.01m，参考数据：sin70°≈0.940，cos70°≈0.342，tan70°≈2.747，

3≈1.73221.解：如图，过点B作BG⊥AD，垂足为G，延长BC交DE于点H，由题意得，BG＝DH，BH＝DG，BH⊥DE，在Rt△ABG中，∵AB＝4m，∠BAG＝70°，∴AG＝AB•cos70°≈4×0.342＝1.368（m），BG＝AB•sin70°≈4×0.94＝3.76（m），∴DH＝BG＝3.76m，∵AD＝3.5m，∴DG＝BH＝AD﹣AG＝3.5﹣1.368＝2.132（m），∵DF＝2.76m，∴FH＝DH﹣DF＝3.76﹣2.76＝1（m），在Rt△CFH中，∠CFH＝60°，∴CH＝FH•tan60°

=3（m∴BC＝BH﹣CH＝2.132﹣1.732＝0.40（m），∴BC的长度约为0.40m．22.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2tx+t2﹣t．（1）求抛物线的顶点坐标（用含t的代数式表示）；（2）点P（x1，y1），Q（x2，y2）在抛物线上，其中t﹣1≤x1≤t+2，x2＝1﹣t．①若y1的最小值是﹣2，求y1的最大值；②若对于x1，x2，都有y1＜y2，直接写出t的取值范围．22.解：（1）∵y＝x2﹣2tx+t2﹣t＝（x﹣t）2﹣t，∴抛物线的顶点坐标为（t，﹣t）；（2）①∵y＝x2﹣2tx+t2﹣t＝（x﹣t）2﹣t，∴抛物线的对称轴为直线x＝t，∵1＞0，∴抛物线开口向上，∵t﹣1≤x1≤t+2，∴当x1＝t时，y1的最小值为﹣t，∵y1的最小值是﹣2，∴t＝2，∵|t﹣1﹣t|＝1，|t+2﹣t|＝2，∴当x1＝t+2时，y1最大＝（t+2﹣t）2﹣t＝4﹣t＝4﹣2＝2，即y1的最大值为2；②∵点P（x1，y1），Q（x2，y2）在抛物线y＝（x﹣t）2﹣t上，∴y1＝（x1﹣t）2﹣t，y2＝（x2﹣t）2﹣t，∵对于x1，x2都有y1＜y2，∴y2﹣y1＝（x2﹣t）2﹣t﹣（x1﹣t）2+t＝（x2﹣t）2﹣（x1﹣t）2＝（x2﹣x1）（x2+x1﹣2t）＞0，∴

x2当

x2−由①知，x2＞x1，∵t﹣1≤x1≤t+2，x2＝1﹣t，∴1﹣t＞t+2，∴t

＜−由②知，x2+x1＞2t，∵t﹣1≤x1≤t+2，x2＝1﹣t，∴0≤x2+x1≤3，∴2t＜0，∴t＜0，即t

＜−当

x2−由③得，x2＜x1，∵t﹣1≤x1≤t+2，x2＝1﹣t，∴1﹣t＜t﹣1，∴t＞1，由④知，x2+x1＜2t，∵t﹣1≤x1≤t+2，x2＝1﹣t，∴0≤x2+x1≤3，∴2t＞3，∴t

＞3即t

＞3综上所述，满足条件的t的取值范围为t

＜−12或t23.背景：在数