（讲评用卷）2024年河南某郑州外国语一模·数学

数学试卷第页（共页）2024年河南某郑州外国语一模·数学全卷总分:120分考试时间:100分钟一、选择题1.在−13，6，1.23，0A．−13

B．C．1.23 D．01.B【解析】6是无限不循环小数，是无理数.2.如图所示的几何体是由6个大小相同的小正方体组成的，从左面观察该几何体，看到的形状图为（）2.B3.据利川市政府公布的工作报告显示，2022年利川全年接待游客1816万人次，实现旅游综合收入99.44亿元，连续三年上榜中国县城旅游发展潜力百强县市．下列用科学记数法表示“99.44亿”正确的是（）A．99.44×108 B．9.944×108C．9.944×109 D．9.944×109亿3.C【解析】99.44亿＝9944000000＝9.944×109．4.一根直尺和一个45°角的三角板按如图方式叠合在一起，若∠1＝28°，则∠2的度数是（）A．62° B．56° C．45° D．28°4.A【解析】如图，∵AB∥CD，∠4＝90°，∴∠2＝∠3，∠1+∠3＝90°，∵∠1＝28°，∴∠2＝∠3＝90°﹣28°＝62°．5.化简2x−2x−A．1B．2xC．2D．﹣25.C【解析】原式=2x−2x−2−2x6.如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，

BC⏜＝DC⏜．若∠CBD＝35°，A．20° B．35° C．40° D．70°6.A【解析】如图，连接OC，OD，∵∠CBD＝35°，∴∠COD＝2∠CBD＝70°，∵

BC⏜＝DC⏜，∴∠BOC＝∠COD＝70°，∴∠AOD＝180°﹣∠BOC﹣∠COD＝40°，∴∠ABD

7.下列关于方程x2﹣5x+7＝0的根结论正确的是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．有一个实数根 D．无实数根7.D【解析】由题意得，b2﹣4ac＝25﹣28＝﹣3＜0，∴方程没有实数根．8.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连接OE．若OB＝6，菱形ABCD的面积为54，则OE的长为（）A．4 B．4.5 C．5 D．5.58.B【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD=12BD，BD⊥AC，∴BD＝2OB＝12，∵S菱形ABCD=12AC•BD＝54，∴AC＝9，∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∴OE=9.抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为（4，0），抛物线的对称轴是直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③4a﹣2b+c＝0；④方程ax2+bx+c＝2有两个不相等的实数根；⑤若点A（m，n）在该抛物线上，则am2+bm+c≤a+b+c．其中正确结论的个数有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个9.C【解析】由函数图象可知，a＜0，b＞0，c＞0，∴abc＜0，故①错误；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴−b2a=1，即2a+b＝0，故②正确；∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（4，0），且对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣2，0），将此点坐标代入函数表达式得，4a﹣2b+c＝0，故③正确；∵方程ax2+bx+c＝2的实数根，可看成函数y＝ax2+bx+c的图象和直线y＝2交点的横坐标，显然函数y＝ax2+bx+c的图象与直线y＝2有两个不同的交点，∴方程ax2+bx+c＝2有两个不相等的实数根，故④正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，且开口向下，∴当x＝1时，函数有最大值a+b+c，则对于抛物线上的任意一点A（m，n），其函数值不大于a+b+c，即am2+bm+c≤a+b+c．故⑤正确；综上所述，正确的10.如图①，在△ABC中，∠B＝108°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C→A匀速运动一周．若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为t（s），AP的长度为v（cm），v与t的函数图象如图②所示．当BP恰好是∠ABC的一条三等分线时，t的值为（）

图①

图②A．5+2或5 B．5+3C．5+3或5 D．5+210.B【解析】如图，BP，BP′是∠ABC的三等分线，根据函数图象可知，AB＝BC＝2，∵∠ABC＝108°，∴∠A＝∠C＝∠ABP′＝∠CBP＝∠PBP′＝36°，∴∠APB＝∠ABP＝72°，∴AB＝AP＝2，同理CP′＝BC＝2，∵∠PBC＝∠A，∠C＝∠C，∴△PBC∽△BAC，∴BCAC=PCBC，∴

22+PC=PC2，∴PC=5−1或−5−1（负值舍去），∴AB+BC+PC=5+3，AB+BC+CP二、填空题11.某轮船顺水航行3h，已知轮船在静水中的速度是akm/h，水流速度是bkm/h，轮船共航行

km．11.3（a+b）【解析】∵轮船在静水中的速度是akm/h，水流速度是bkm/h，∴轮船顺水航行的速度是（a+b）km/h，∴轮船顺水航行3h共航行了3（a+b）km．12.已知x与y互为相反数，并且2x﹣y＝3，则xy的值为

．12.1【解析】∵x与y互为相反数，∴x+y＝0，∴

x+y=0①2x−y=3②，①+②得3x＝3，解得x＝1，∴y＝﹣13.在三张大小、质地均相同的卡片上各写一个数字，分别为1、6、6，现将三张卡片放入一只不透明的盒子中，搅匀后从中任意摸出一张，记下数字后放回，搅匀后再任意摸出一张，记下数字，则两次摸到不同数字的概率是

．13.4【解析】由题意画树状图如下，由图可知，共有9种等可能的结果，其中两次摸到不同数字的结果有4种，∴两次摸到不同数字的概率为4914.在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点为格点，已知Rt△ABC的三个顶点均在格点上，且∠BAC＝90°，点M为AC上一点，以点A为圆心，AM的长为半径作圆与边BC相切于点N，已知

MN⏜为该圆的一部分，则图中由线段CN，CM及MN⏜所围成的阴14.17【解析】如图，连接AN，根据网格，可得AB=12+42=17，

AC=12+42=17，

BC=32+52=34，∴BC2＝AC2+AB2，AB＝AC，∴△ABC是等腰直角三角形，且∠BAC＝90°，∵边BC与MN⏜所在的圆相切于点N，15.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，点P，Q分别为AB，BC上一个动点，将△PQB沿PQ折叠得到△PQD，点B的对应点是点D，若点D始终在边AC上，当△APD与△ABC相似时，AP的长为

．15.83或【解析】∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，∴AB＝2BC＝4，∠B＝60°，当△APD与△ABC相似时，∵点D始终在边AC上，根据折叠可知，PB＝PD，设AP＝x，则PB＝PD＝4﹣x，∴当△APD∽△ABC时，∠ADP＝∠ACB＝90°，∴AP＝2DP，即x＝2（4﹣x），解得x

=83，∴AP

=83；当△APD∽△ACB时，∠APD＝∠ACB＝90°，∴DP＝AP•tan30°

=33AP，即4﹣x

=33x，解得x

=6−23，∴AP

=三、解答题16.（1）计算：

(−（2）化简：（2x+1）（2x﹣1）﹣4x（x﹣1）．16.解：（1）(=1=1=2（2）（2x+1）（2x﹣1）﹣4x（x﹣1）＝4x2﹣1﹣4x2+4x＝4x﹣1．17.为积极创建“全市儿童青少年近视防控示范学校”，培养学生良好的用眼习惯，某校本学期开展了正确用眼知识竞赛，从中随机抽取20份学生答卷，并统计成绩（成绩得分用x表示，单位：分），收集数据如下：86

82

90

99

98

96

90

100

89

8387

88

81

90

93

100

96

100

92

100整理数据：80≤x＜8585≤x＜9090≤x＜9595≤x≤10034a8分析数据：平均数中位数众数92bc请根据以上信息，解答下列问题：（1）直接写出上述表格中a，b，c的值；（2）该校有2700名学生参加了知识竞赛，请估计成绩不低于90分的人数；（3）请从中位数、众数中选择一个量，结合本题解释它的意义．17.解：（1）5；91；100；【解法提示】∵20-3-4-8=5，∴a＝5；将这组数据按照从小到大的顺序重新排列为81，82，83，86，87，88，89，90，90，90，92，93，96，96，98，99，100，100，100，100，其中位于中间的两个数分别是90，92，∴b

=90+922=91，∵在这组数据中，100出现（2）估计成绩不低于90分的人数是2700×1320答：估计成绩不低于90分的人数是1755人；（3）中位数：在统计的问卷的成绩中，最中间的两个分数的平均数是91分；众数：在统计的问卷的成绩中，得100分的人数最多（答案不唯一，合理即可）．18.如图，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y=kx（k≠0）的图象交于A（﹣1，﹣3），B（3（1）求这两个函数的表达式；（2）点C（0，m）为y轴上一个动点，请你利用尺规作图，过图中所标的C点作垂直于y轴的直线，分别交反比例函数及一次函数的图象于D，E两点，当点E位于点D右方时，请直接写出m的取值范围．18.解：（1）∵点A（﹣1，﹣3）在反比例函数y=kx∴k＝3，∴反比例函数表达式为y=3∵B（3，n）点在y=3x的∴当x=3时，n＝1，∴B（3，1），∵点A（﹣1，﹣3），B（3，1）在一次函数y＝ax+b的图象上，∴

−a解得

a=∴一次函数表达式为y＝x﹣2；（2）如图，作出垂线如图所示；点E位于点D右方时，由图可知m＞1或﹣3＜m＜0．19.如图①，日晷仪也称日晷，是观测日影计时的仪器．它是根据日影的位置，指定当时的时辰或刻数，是我国古代较为普遍使用的计时仪器．小东为了探究日晷的奥秘，在不同时刻对日晷进行了观察．如图②，日晷的平面是以点O为圆心的圆，线段BC是日晷的底座，点D为日晷与底座的接触点（即BC与⊙O相切于点D）．点A在⊙O上，OA为某一时刻晷针的影长，AO的延长线与⊙O交于点E，与BC交于点B，连接AC，OC，CE，BD＝CD＝3dm，OA⊥AC．（1）求证：∠B＝∠ACO；（2）求CE的长．19.（1）证明：如图，连接OD，∵BC与⊙O相切于点D，∴OD⊥BC，∵BD＝CD，OD＝OD，∴OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵OD⊥BC，OA⊥AC，∴∠ODC＝∠OAC＝90°，在Rt△AOC与Rt△DOC中，OA∴Rt△AOC≌Rt△DOC（HL），∴∠ACO＝∠DCO，∴∠B＝∠ACO；（2）∵由（1）知，∠B＝∠ACO=∠OCB，∠BAC=90°，∴∠B+∠ACO+∠OCB=90°，∴∠B＝30°，∴

AC=12BC＝CD＝BD＝∴OA

=33AC

∴AE＝2OA＝2

3，∴CE

=AE220.如图①，②分别是某款篮球架的实物图与示意图，AB⊥BC于点B，底座BC＝1.3m，底座BC与支架AC所成的夹角∠ACB＝60°，点H在支架AF上，篮板底部支架EH∥BC，EF⊥EH于点E，已知AH=22m，HF=2m，HE（1）求篮板底部支架HE与支架AF所成的夹角∠FHE的度数；（2）求篮板底部点E到地面的距离.（结果精确到0.01m，参考数据：2≈1.41，3≈20.解：（1）在Rt△EFH中，cos∠FHE

=H∴∠FHE＝45°，∴篮板底部支架HE与支架AF所成的夹角∠FHE的度数为45°；（2）如图，延长FE交CB的延长线于点M，过点A作AG⊥FM于点G，过点H作HN⊥AG于点N，则四边形ABMG和四边形HNGE是矩形，∴GM＝AB，HN＝EG，在Rt△ABC中，∵tan∠ACB

=ABBC，∴AB＝tan60°•BC＝3×1.3=∴GM＝AB＝133在Rt△ANH中，∵sin∠FAN=HNAH，∠FAN＝∠∴HN＝sin45°•AH=2∴EM＝EG+GM

=12答：篮板底部点E到地面的距离大约是2.75m．21.某超市分两次购进A，B两种商品进行销售，两次购进同一种商品的进价相同，具体情况如表所示：购进数量（件）购进所需费用（元）种类AB第一次30402900第二次40302700（1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？（2）商场决定A商品以每件45元出售，B商品以每件75元出售．为满足市场需求，需购进A、B两种商品共1000件，且A商品的数量不少于B种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润．21.解：（1）设A，B两种商品每件的进价分别是x元，y元，根据题意得，

30x解得

x=∴A，B两种商品每件的进价分别是30元，50元；（2）设A商品a件，B商品(1000−a)件，利润为m元，根据题意得，

a≥解得800≤a≤1000，m＝(45−30)a+(75−50)(1000−a)＝25000−10a，∵k＝−10＜0，∴m随a的增大而减小，∴a＝800时，m的最大值为17000元，∴购进A商品800件，B商品200件，最大利润为17000元．22.2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C1：y

=−112x2

+76x+1近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方4米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2：y=−18x（1）当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线C2的函数表达式（不要求写出自变量x的取值范围）；（2）在（1）的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？（3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求b的取值范围．22.解：（1）将点（0，4）和（4，8）代入抛物线C2：y=−18x2+bx得

4=解得

b=∴抛物线C2的函数表达式为y=−18x2+（2）设运动员运动的水平距离为m米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，依题意得，−18m2

+32m+4

−（−112m2整理得，（m﹣12）（m+4）＝0，解得m1＝12，m2＝−4（舍去），故运动员运动的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米；（3）∵C1：y=−112x2+76x+1=−112（x当x＝7时，运动员到达坡顶，即−18×72+7b+4＞3解得b＞3523.下面是某数学兴趣小组用尺规作图“作一条线段的三等分点”的过程，请认真阅读并完成相应的任务．如图①，①分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径在AB两侧画弧，四段弧分别交于点C，点D②连接AC，BC，AD，作射线BD；③以D为圆心，BD的长为半径画弧，交射线BD于点E；④连接CE，分别交AB，AD于点F，H，点且点F即为AB的三等分点（即AF=13任务：（1）填空：四边形ADBC的形状是

，你的依据是

；（2）在证明点F为AB的三等分点时，同学们有不同的思路．小明：我是先证明△AHC≅△DHE，再通过证明△AHF∽△BCF得到结论的；小亮：我是通过证明一次三角形相似得到结论的；小颖：我是通过作辅助线．请你选择一种自己喜欢的思路给出证明；（3）如图②，若∠CAD＝60°，AC＝43，将CH绕着点C逆时针旋转，当点H的对应点H′落在直线FD上时，请直接写出DH′的长．23.解：（1）菱形；四条边相等的四边形是菱形；【解法提示】由作法可知，AC＝AD＝BD＝BC，∴四边形ADBC是菱形．（2）选小明的思路证明如下：由作图可知，AC＝BC＝AD＝BD＝DE，∴四边形ADBC是