（讲评用卷）2024年河南某郑州外国语四模·数学

数学试卷第页（共页）2024年河南某郑州外国语四模·数学全卷总分:120分考试时间:100分钟一、选择题1.下列各数中，最小的数是（）A．-5 B．3

C．0 D．-π1.A【解析】∵5＞π，∴-5＜-π，∴-5＜-π＜0

＜3，∴最小的数是-52.“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》，这首咏物诗启示我们身处逆境也要努力绽放自己，要和苔花一样尽自己所能实现人生价值．苔花也被称为“坚韧之花”．袁枚所写的“苔花”很可能是苔类孢子体的苞荫，某孢子体的苞荫直径约为0.0000084m，将数据0.0000084用科学记数法表示为（）A．8.4×106 B．8.4×10-6C．84×10-7 D．8.4×10-52.B【解析】0.0000084用科学记数法表示为8.4×10-6．3.围棋在古代被列为“琴棋书画”四艺之一，蕴含着中华文化的丰富内涵，如图所示是一个无盖的围棋罐，其主视图为（）A．B．C．D．3.B【解析】这个立体图形的主视图为.4.下列问题适合全面调查的是（）A．调查市场上某品牌灯泡的使用寿命B．了解全省九年级学生的视力情况C．神舟十七号飞船发射前对飞船仪器设备的检查D．了解黄河的水质情况4.C【解析】A.调查市场上某品牌灯泡的使用寿命，适合抽样调查，故A不符合题意；B.了解全省九年级学生的视力情况，适合抽样调查，故B不符合题意；C.神舟十七号飞船发射前对飞船仪器设备的检查，适合全面调查，故C符合题意；D.了解黄河的水质情况，适合抽样调查，故D不符合题意.5.下列计算正确的是（）A．a2+a2＝2a4 B．a2•a3＝a5C．（a+1）2＝a2+1 D．a6÷a2＝a35.B【解析】a2+a2＝2a2，则A不符合题意；a2•a3＝a5，则B符合题意；（a+1）2＝a2+2a+1，则C不符合题意；a6÷a2＝a4，则D不符合题意．6.在平面直角坐标系中，把点（2，3）向上平移1个单位，再向左平移2个单位，得到的点的坐标是（）A．（3，1） B．（0，4） C．（4，4） D．（1，1）6.B【解析】点（2，3）向上平移1个单位，再向左平移2个单位，所得到的点的横坐标是2-2＝0，纵坐标是3+1＝4，∴所得点的坐标是（0，4）．7.若关于x的方程mx2-2x+1＝0有实数根，则下列m的值中，不符合要求的是（）A．2 B．1 C．0 D．-17.A【解析】当方程mx2-2x+1＝0有实数根时，

b2−4ac＝（-2）2-4m≥0，

4-4m≥0,m≤18.鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是AB的黄金分割点（AP＞BP），若线段AB的长为4cm，则AP的长为（）cm.A．25−2

B．C．6−25

D8.A【解析】∵P是AB的黄金分割点（AP＞BP），AB＝4cm，∴

AP9.如图①，汉代的《淮南万毕术》中记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法．为了探清一口深井的底部情况，如图②，在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线AB与地面CD所成夹角∠ABC＝50°时，已知∠ABE＝∠FBM，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜EF与地面的夹角∠EBC＝（）A．60° B．70° C．80° D．85°9.B【解析】∵BM⊥CD，∴∠CBM＝90°，∵∠ABC＝50°，∴∠ABE+∠FBM＝180°-90°-50°＝40°，∵∠ABE＝∠FBM，∴∠ABE＝∠FBM＝20°，∴∠EBC＝20°+50°＝70°．10.如图①，点A、B是⊙O上两定点，圆上一动点P从圆上一定点B出发，沿逆时针方向匀速运动到点A，运动时间是x（s），线段AP的长度是y（cm）．图②是y随x变化的关系图象，则图中m的值是（）A．92

B．4C．5 D．1410.D【解析】从图②看，当x＝2时，y＝AP＝6，即此时A、O、P三点共线，则圆的半径为12AP＝3，∴OA=OB=3，当x＝0时，∵OB2+OA2＝AP2，∴△OAB是等腰直角三角形，且OA⊥OB，如图，点P走过的角度为90°，则点P走过的弧长为14×2π×r

=3π2，∴点P的运动速度是3π2÷2=3π4（cm/s），当x＝m时，AP＝OA＝OP，即△OAP是等边三角形，∴∠AOP＝60°，∴∠BOP＝360°-90°-60°＝210°，此时点P走过的弧长为二、填空题11.写出一个比7大的整数

．11.3（答案不唯一）【解析】∵4＜7＜9，∴2＜7＜3，∴比7大的整数可以是12.若正多边形的一个内角等于120°，则这个正多边形的边数是

．12.6【解析】解法一：设所求正n边形边数为n，则120°n＝（n-2）•180°，解得n＝6；解法二：设所求正n边形边数为n，∵正n边形的每个内角都等于120°，∴正n边形的每个外角都等于180°-120°＝60°，∵多边形的外角和为360°，即60°·n＝360°，∴n＝6．13.某校举办文艺汇演，在主持人选拔环节中，有一名男同学和两名女同学表现优异．若从以上三名同学中随机抽取两名同学担任主持人，则刚好抽中一名男同学和一名女同学的概率是

．13.2【解析】列表如下：男女女男（男，女）（男，女）女（女，男）（女，女）女（女，男）（女，女）共有6种等可能的结果，其中刚好抽中一名男同学和一名女同学的结果有4种，∴刚好抽中一名男同学和一名女同学的概率为

4614.将透明的三角形纸板按如图所示的方式放置在量角器上，使点B、C落在量角器所在的半圆上，且点B、C的读数分别为30°，170°，若该量角器所在半圆的直径为8cm，则弧BC的长为

cm．14.28【解析】如图，连接OB，OC．由题意，∠BOC＝170°-30°＝140°，∵该量角器所在半圆的直径为8cm，∴OB＝OC＝4cm，∴弧BC的长为

140π×15.在矩形ABCD中，∠ABD＝30°，AD＝6，E为线段CD的中点，动点F从点C出发，沿C→B→A的方向在CB和BA上运动，将矩形沿EF折叠，点C的对应点为C'，当点C'恰好落在矩形的对角线上时（不与矩形顶点重合），点F运动的距离为

．15.3或6【解析】分两种情况：①当点C′落在对角线BD上时，如图①所示，连接CC′，∵将矩形沿EF折叠，点C的对应点为点C′，且点C'恰好落在矩形的对角线上，∴CC′⊥EF，∵点E为线段CD的中点，∴CE＝ED＝EC′，∴∠EDC′=∠EC′D=30°∴∠C′EC=60°，∴∠ECC′=60°，∴∠CC′D＝90°，即CC′⊥BD，∴EF∥BD，∴点F是BC的中点，在矩形ABCD中，AD＝6，∴BC＝AD＝6，∴CF＝3，∴点F运动的距离为3；②当点C′落在对角线AC上时，如图②所示，作FH⊥CD于H，则CC′⊥EF，四边形CBFH为矩形，在矩形ABCD中，BC＝AD＝6，∠BAC＝∠ABD＝30°，∠ABC＝∠BCD＝90°，∴AB

=3AD＝6

3，AB∥CD，∵EF⊥AC，∴∠AFE＝60°，∴∠FEH＝60°，∵四边形CBFH为矩形，∴HF＝BC＝6，∴EH

=HFtan60°=63=2

3，∵EC

=12CD＝3

3，∴BF＝CH＝CE-EH＝3

3−2

3=3，∴点F运动的距离为

答案图①

答案图②三、解答题16.（1）计算：2×sin30°−20240+|

−5|；（2）化简：

(x16.解：（1）原式＝2

×1＝1−1+5＝5；（2）原式

==(＝x（x

−1）＝x2

−x．17.某校为了了解九年级600名同学对共青团知识的掌握情况，对他们进行了共青团知识测试．现随机抽取甲、乙两班各15名同学的测试成绩（满分100分）进行整理分析，记分数为x，过程如下：【收集数据】甲班15名学生测试成绩分别为：78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，92，99，95，100乙班15名学生测试成绩中90≤x＜95的成绩如下：91，92，94，90，93【整理数据】班级75≤x＜8080≤x＜8585≤x＜9090≤x＜9595≤x≤100甲11346乙12354【分析数据】班级平均数众数中位数方差甲92a9341.1乙9087b50.2【应用数据】（1）根据以上信息，可以求出：a＝

分，b＝

分；（2）若规定测试成绩90分及以上为优秀，请估计参加本次测试的600名学生中成绩为优秀的有多少人；（3）根据以上数据，你认为哪个班本次测试的整体成绩较好？请说明理由（理由不少于两条）．17.解：（1）100，91；【解法提示】在78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，92，99，95，100这组数据中，100出现的次数最多，∴a＝100；乙班15名学生测试成绩中，中位数是第8个数，即为出现在90≤x＜95这一组中的91，∴b＝91．（2）根据题意得：600×4+答：估计参加本次测试的600名学生中成绩为优秀的有380人；（3）甲班本次测试的整体成绩较好．理由如下：∵甲班学生测试成绩的平均数92高于乙班学生测试成绩的平均数90，且甲班方差47.3＜乙班方差50.2，∴甲班本次测试的整体成绩较好（说法不唯一，合理即可）．18.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+n与反比例函数

y=kx的图象在第一象限内交于A（a，4）和B（4，2）两点，直线AB与x轴相交于点C，连（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）当x＞0时，请结合函数图象，直接写出关于x的不等式mx（3）请用无刻度的直尺和圆规过点B作BD∥x轴，交OA于点D（保留作图痕迹，不写作法），若点P是直线BD上的一点，且BP＝AB，请直接写出点P的坐标．18.解：（1）将点A，B的坐标代入反比例函数表达式得k＝2×4＝4a，则k＝8，a＝2，即反比例函数的表达式为y

=8则点A（2，4），将点A，B的坐标代入一次函数表达式得

4=解得

m=即一次函数的表达式为y＝-x+6；（2）观察函数图象知，不等式mx+n≥kx的解集（3）如图，BD即为所求，设点P（b，2），∵BP＝AB，则（b-4）2＝（4-2）2+（2-4）2，解得b＝4±22，即点P（4+22，2）或（4-22，2）．19.阅读以下材料，并完成相应的任务：定义：顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角叫做弦切角．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．下面是该定理的部分证明过程：已知：如图，AB与⊙O相切于点A，点C、D在⊙O上，连接AC、CD、AD．求证：∠CAB＝∠D．证明：连接AO并延长，交⊙O于点E，连接CE．∵AB与⊙O相切于点A，∴∠EAB＝90°，（依据1）∴∠EAC+∠CAB＝90°．∵AE是⊙O的直径，∴∠ECA＝90°，（依据2）∴∠E+∠EAC＝90°．任务：（1）上述证明过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？依据1：

；依据2：

；（2）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；（3）已知图中⊙O的半径2，弦切角∠CAB＝30°，直接写出AC的长．19.解：（1）圆的切线垂直于过切点的半径；直径所对的圆周角是直角；【解法提示】∵AB与⊙O相切于点A，∴∠EAB＝90°（圆的切线垂直于过切点的半径），∴∠EAC+∠CAB＝90°，∵AE是⊙O的直径，∴∠ECA＝90°.（直径所对的圆周角是直角）（2）证明：连接AO并延长，交⊙O于点E，连接CE．∵AB与⊙O相切于点A，∴∠EAB＝90°（圆的切线垂直于过切点的半径），∴∠EAC+∠CAB＝90°，∵AE是⊙O的直径，∴∠ECA＝90°，（直径所对的圆周角是直角）∴∠E+∠EAC=90°，∴∠E＝∠CAB，∵

AC⏜=

∴∠E＝∠D，∴∠CAB＝∠D；（3）解：2.【解法提示】∵∠CAB＝30°，由（2）可知，∠CAB＝∠D＝30°，∴∠E＝∠D＝30°，∵AE为⊙O直径，∴∠ACE＝90°，在Rt△AEC中，AE＝2AO＝4，∴

AC20.圭表（如图①）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图②是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表AC垂直圭BC，已知该市冬至正午太阳高度角（即∠ABC）为37°，夏至正午太阳高度角（即∠ADC）为84°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为4米．（1）求∠BAD的度数；（2）求表AC的长（最后结果精确到0.1m）．（参考数据：sin37°≈35，cos

37°

≈45，tan

37°

≈320.解：（1）∵∠ADC＝84°，∠ABC＝37°，∴∠BAD＝∠ADC-∠ABC＝47°，答：∠BAD的度数是47°；（2）在Rt△ABC中，tan∠ABC=

tan37∴

BC在Rt△ADC中，

DC∵BD＝4，∴

BC∴

43∴AC≈3.3

m，∴表AC的长是3.3m．21.某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一种型号的电脑报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠．各商场的优惠条件如下表所示：商场优惠条件甲商场第一台按原价收费，其余的每台优惠25%乙商场每台优惠20%（1）设学校购买x台电脑，选择甲商场时，所需费用为y1元，选择乙商场时，所需费用为y2元，请分别求出y1，y2与x之间的关系式；（2）什么情况下，两家商场的收费相同？什么情况下，到甲商场购买更优惠？什么情况下，到乙商场购买更优惠？（3）现在因为急需电脑，计划从甲乙两商场一共买入10台，已知甲商场的运费为每台50元，乙商场的运费为每台60元，设总运费为w元，从甲商场购买a台电脑，在甲商场的库存只有4台的情况下，怎样购买，总运费最少？最少运费是多少？21.解：（1）y1＝6000+(1-25%)×6000(x-1)=4500x+1500；y2＝(1-20%)×6000x=4800x；（2）设学校购买x台电脑，若两家商场收费相同，则4500x+1500=4800x，解得x＝5，即当购买5台电脑时，两家商场的收费相同；若到甲商场购买更优惠，则4500x+1500＜4800x，解得x＞5，即当购买电脑台数大于5时，到甲商场购买更优惠；若到乙商场购买更优惠，则4500x+1500＞4800x，解得x＜5，即当购买电脑台数小于5时，到乙商场购买更优惠；（3）根据题意，得w＝50a+(10-a)60＝600-10a，∵-10＜0，当a取最大时，费用最小，∵甲商场只有4台，∴a取4时，总费用最少，此时w＝600-40＝560，即从甲商场买4台，从乙商场买6台时，总运费最少，最少运费是560元．22.【生活情境】为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长AD＝4m，宽AB＝1m的矩形水池ABCD进行加长改造（如图①，改造后的水池ABNM仍为矩形，以下简称水池1），同时，再建造一个周长为12m的矩形水池EFGH（如图②，以下简称水池2）．【建立模型】如果设水池1的边AD加长长度DM为x（m）（x＞0），加长后水池1的总面积为1(m2)，则y1关于x的函数表达式为y1＝x+4（x＞0）；设水池2的边EF的长为x（m）（0＜x＜6），面积为

2(m2)，则y2关于x的函数表达式为

y【问题解决】（1）求y2关于x的函数表达式；（2）在1＜x＜4范围内，求两个水池面积差的最大值和此时x的值；（3）假设水池ABCD的边AD的长度为b（m），其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积

3(m2)关于x（m）（x＞0）的函数表达式为y3＝x+b（x＞0）．若水池3与水池2的面积相等时，x（m）有唯一值，求22.解：（1）由图象得，y1＝x+4（x＞0）经过点C，E，∵点C的横坐标为1，点E的横坐标为4，∴当x＝1时，y1＝5，当x＝4时，y1＝8，∴C（1，5），E（4，8），∵

y2=ax2+bx(0＜x＜6将点C、E的坐标代入，得

5=解得

a=∴y2关于x的函数表达式为y2＝

−x2+6x（0＜x＜6）；（2）如图，在抛物线上的CE段上任取一点F，过点F作FG∥y轴交线段CE于点G，则线段FG表示两个水池面积差，设F(m，

−m2+6m)，则G(m，m+4)，1＜m＜4，∴FG＝(

−m2+6m)

−(m+4)＝

−m2+5m

−4＝

−(m

−52)2

∵

−1＜0，∴当m

=52时，FG有最大值，最大值为

∴在1＜x＜4范围内，两个水池面积差的最大值为

94，此时x的值为

5（3）∵水池3与水池2的面积相等，∴y3＝y2，即x+b＝−x2+6x，∴x2

−5x+b＝0，∵若水池3与水池2的面积相等时，x（m）有唯一值，∴b2

−4ac＝(-5)2-4×1×b＝0，解得b

=25∴若水池3与水池2的面积相等时，x（m）有唯一值，b的值为

25423.（1）【观察发现】如图①，在5×6的正方形网格中，点A、B、C、D为格点，AB交CD于点M．为了求∠AMC的度数，我们可以向右平移线段AB，使得点B与点D