（讲评用卷）2024年河南某省实验中学三模·数学

数学试卷第页（共页）2024年河南某省实验中学三模·数学全卷总分:120分考试时间:100分钟一、选择题1.给出四个实数8，2，0，﹣1，其中无理数是（）A．8

B．2C．0 D．﹣11.A【解析】A.8=22，是无理数，故本选项符合题意；B.2是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；C.0是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；D.﹣1是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意2.据《大河报》报道，郑州2024年五一假期接待游客量接近1077.6万人次．“1077.6万”这个数字用科学记数法表示为（）A．10.776×107 B．1.0776×105C．1.0776×107 D．1.0776×1062.C【解析】1077.6万＝10776000＝1.0776×107．3.如图，是由6个同样大小的正方体摆成的几何体，将正方体①移走后，所得几何体（）A．主视图改变，左视图改变 B．俯视图不变，左视图不变C．俯视图改变，左视图改变 D．主视图改变，左视图不变3.D【解析】将正方体①移走前的主视图正方形的个数为1，2，1；正方体①移走后的主视图正方形的个数为1，2；主视图发生改变；将正方体①移走前的左视图正方形的个数为2，1，1；正方体①移走后的左视图正方形的个数为2，1，1；左视图没有发生改变；将正方体①移走前的俯视图正方形的个数为1，3，1；正方体①移走后的俯视图正方形的个数，1，3；俯视图发生改变．4.如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交ll，l2，l3于点D，E，F，AC与DF相交于点H，且AH＝4，HB＝2，BC＝10，则

DEA．35

B．C．25

D．4.A【解析】∵AH＝4，HB＝2，∴AB＝AH+BH＝6，∵l1∥l2∥l3，∴DE5.如图，在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为⊙O切线，连接OC，若∠BCD＝60°，则∠AOC的度数为（）A．40° B．50° C．60° D．100°5.C【解析】∵CD为⊙O切线，∴∠OCD＝90°，∵∠BCD＝60°，∴∠OCB＝30°，∵OC＝OB，∴∠B＝30°，∴∠AOC＝60°．6.关于x的一元二次方程x2+m＝6x有两个不相等的实数根，则m的值可能是（）A．8 B．9 C．10 D．116.A【解析】方程化为x2﹣6x+m＝0，根据题意得b2−4ac＝(﹣6)2﹣7.2023年杭州亚运会吉祥物为“江南忆”组合，它们分别命名为“琮琮”、“宸宸”和“莲莲”．现有三张正面印有吉祥物的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同，其中两张正面印有“琮琮”图案，一张正面印有“宸宸”图案，将三张卡片正面向下洗匀，从中随机一次性抽取两张卡片，则抽出的两张都是“琮琮”卡片的概率是（）A．110

B．1C．13

D．7.C【解析】由题意列表如下，根据列表可知共有6种等可能得情况，其中符合题意的情况有2种，∴抽出的两张都是“琮琮”卡片的概率是26

第一张

第二张琮琮琮琮宸宸琮琮—（琮琮，琮琮）（宸宸，琮琮）琮琮（琮琮，琮琮）—（宸宸，琮琮）宸宸（琮琮，宸宸）（琮琮，宸宸）—8.若抛物线y＝ax2﹣4x+c的开口方向向下，交y轴于正半轴，则抛物线的顶点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8.B【解析】∵二次函数y＝ax2﹣4x+c的图象开口向下，交y轴于正半轴，∴a＜0，c＞0，∴顶点在x轴的上方，∵−b2a=−−429.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，作BD的垂直平分线分别与AD、BC交于点E、F．连接BE，DF，若EF＝AE+FC，则边BC的长为（）A．23

B．33

C．63

D．99.B【解析】∵四边形ABCD为矩形，∴OB＝OD，∠A＝∠ABC＝90°，AD∥BC，∴∠FBO＝∠EDO，∵∠BOF＝∠DOE，∴△BOF≌△DOE（ASA），∴BF＝DE，∵EF垂直平分BD，∴BE＝DE，BF＝DF，∴BE＝DE＝BF＝DF，∴四边形BFDE为菱形，AE＝CF，∴EO＝FO，∠FBO＝∠OBE，∵EF＝AE+FC，∴AE＝EO＝OF＝CF，∵BE=BE，∠A=∠BOE=90，∴△ABE≅△OBE，∴∠ABE＝∠OBE＝∠OBF＝30°，∵AB＝3，∴AE

=3，BE

=23，∴CF＝AE

=3，BF＝BE

=23，∴BC＝10.如图，有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆，垂直于x轴的直线l：x＝t（0≤t≤a）从原点O向右平行移动，l在移动过程中扫过平面图形的面积为y（图中阴影部分），若y关于t函数的图象大致如图，那么平面图形的形状不可能是（）10.C【解析】由函数图象可知，阴影部分的面积随t的增大而增大，图象都是曲线，故选项A、B、D符合函数的图象，而C中刚开始的图象符合，当t到梯形上底边时图象符合一次函数的图象.二、填空题11.将代数式a+（b﹣c）去括号，得

．11.a+b﹣c12.不等式组

2+x＞12.5【解析】2+x＞0①2x−6≤0②，由①得：x＞﹣2，由②得：x≤3，∴﹣2＜x≤3，∴不等式组的整数解为﹣1，013.郑州市某中学体育场看台的侧面如图阴影部分所示，看台有四级高度相等的小台阶．已知看台高为1.6米，现要做一个不锈钢的扶手AB及两根与FG垂直且长为1米的不锈钢架杆AD和BC（杆子的底端分别为D，C），且∠DAB＝66.5°．则所用不锈钢材料的总长度（即AD+AB+BC）为

米．（结果精确到0.1米，参考数据sin66.5°≈0.92，cos66.5°≈0.40，tan66.5°≈2.30）13.5.0【解析】由图可知，台阶有4节，DH占了3节，∴DH=34×1.6=1.2米，如图，过点B作BG⊥AH，垂足为G，可得四边形BCHG是矩形，∴GH＝BC＝1米，∴AG＝AH﹣GH＝AD+DH﹣GH＝1+1.2﹣1＝1.2米，在Rt△AGB中，cos∠GAB=AGAB14.如图，四边形ABCD是平行四边形，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AD＝OA＝1，则图中阴影部分的面积为

．14.3【解析】如图，设CD与⊙O的交点为点E，连接DO，EO，BE，过点D作DF⊥AB于点F，∵AD＝OA＝1，∴AD＝AO＝DO，∴△AOD是等边三角形，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠CDO＝∠ADC-∠ADO＝120°-60°＝60°，∴△ODE是等边三角形，同理可得△OBE，△BCE是等边三角形且4个等边三角形全等，∴S阴影部分＝S△BCE，∵DF=AD⋅sin60°=32，DE＝EC＝115.如图，点M是等边三角形ABC边BC的中点，点P是三角形内一点，连接AP，PM，将线段AP以A为中心逆时针旋转60°得到线段AQ，连接MQ．若AB＝4，MP＝1，则MQ的最小值为

．15.2【解析】如图，连接AM，将AM绕点A逆时针旋转60度得到AE，连接ME，QE，∵点M是BC的中点，∴BM=12BC=12AB=2，AM⊥BC，∴

AM=AB2−BM2=23，由旋转的性质可得AM＝AE，AP＝AQ，∠PAQ＝∠MAE＝60°，∴△AME是等边三角形，∴ME=AM=23，∵∠PAQ﹣∠MAQ＝∠MAE﹣∠MAQ，∴∠PAM＝∠QAE，∴△PAM≌△QAE（三、解答题16.（1）计算：−8（2）化简：x2−16.解：（1）原式＝﹣2+9+1＝8；（2）原式

=(=(＝x+2．17.某中学九年级学生共进行了五次体育模拟测试，已知甲、乙两位同学五次模拟测试成绩的总分相同，小明根据甲同学的五次测试成绩绘制了尚不完整的统计表，并给出了乙同学五次测试成绩的方差的计算过程．甲同学五次体育模拟测试成绩统计表次数第一次第二次第三次第四次第五次成绩（分）353937a40小明将乙同学五次模拟测试成绩直接代入方差公式，计算过程如下：S乙2

=15[（36﹣38）2+（38﹣38）2+（37﹣38）2+（39﹣38）2+（40﹣38）2]＝2（分根据上述信息，完成下列问题：（1）a的值是

；（2）根据甲、乙两位同学这五次模拟测试成绩，你认为谁的体育成绩更好？并说明理由；（3）如果甲再测试1次，第六次模拟测试成绩为38分，与前5次相比，甲6次模拟测试成绩的方差

．（填“变大”“变小”或“不变”）17.解：(1)39；【解法提示】由题意得35+39+37+a+40＝36+38+37+39+40，解得a＝39.(2)乙的体育成绩更好，理由如下，∵

x甲=x乙

=15（35+39+37+39+40S甲而

x甲=x乙，S乙2＜S甲2，两人的平均成绩相同，但乙的方差较小，说明乙的成绩更稳定，所以乙的体育成绩更好（3）变小.【解法提示】因为第六次模拟测试成绩为38分，前5次测试成绩的平均数为38分，所以甲6次模拟测试成绩的方差变小．18.如图，在5×5的正方形网格图形中，小正方形的边长都为1，线段ED与AD的端点都在网格小正方形的顶点（称为格点）上．请在网格图形中画图：（1）以线段AD为边画正方形ABCD，再以线段DE为斜边画等腰直角三角形DEF，其中顶点F在正方形ABCD外；（2）在（1）中所画图形基础上，以点B为其中一个顶点画一个新正方形，使新正方形的面积为正方形ABCD和△DEF面积之和，其它顶点也在格点上．18.解：（1）如图，正方形ABCD，△DEF即为所求;（2）如图，正方形BKFG即为所求．19.郑州市雾霾天气趋于严重，丹尼斯商场根据民众健康需要，代理销售每台进价分别为600元、560元的A、B两种型号的空气净化器，如表是近两周的销售情况：销售时段销售数量销售收入A种型号B种型号第一周4台5台7100元第二周6台10台12600元（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本）（1）求A，B两种型号的空气净化器的销售单价；（2）若商场准备用不多于17200元的金额再采购这两种型号的空气净化器共30台，超市销售完这30台空气净化器能否实现利润为6200元的目标，若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．19.解：（1）设A型号空气净化器单价为x元/台，B型号空气净化器单价为y元/台，由题意得

4x解得

x=答：A型号空气净化器单价为800元/台，B型号空气净化器单价为780元/台；（2）能，设采购A型号空气净化器a台，采购B型号空气净化器（30﹣a）台，则600a+560（30﹣a）≤17200，解得a≤10，（800﹣600）a+（780﹣560）（30﹣a）≥6200，解得a≤20，答：最多能采购A型号空气净化器10台，即可实现目标．20.在一次数学探究活动中，王老师设计了一份活动单：已知线段BC＝2，使用作图工具作∠BAC＝30°，尝试操作后思考：（1）这样的点A唯一吗？（2）点A的位置有什么特征？你有什么感悟？“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点B、C除外），…小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图①）．（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．①该弧所在圆的半径长为

；②△ABC面积的最大值为

；（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图①所示的弓形内部，我们记为A′，请你利用图①证明∠BA′C＞30°；（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图②，已知矩形ABCD的边长AB＝2，BC＝3，点P在直线CD的左侧，且

tan∠DPC=43．若S20.（1）①2；②

3+【解法提示】如答案图①，设O为圆心，连接BO，CO，∵∠BAC＝30°，∴∠BOC＝60°，又∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴OB＝OC＝BC＝2，即半径为2；∵△ABC以BC为底边，BC＝2，∴当点A到BC的距离最大时，△ABC的面积最大，如图，过点O作BC的垂线，垂足为E，延长EO，交于⊙O点D，连接BD，CD，则当点A在D处时，S△ABC取最大值，∴BE＝CE＝1，DO＝BO＝2，∴OE=BO2−BE2=3，∴D答案图①（2）如答案图②，延长BA′，交圆于点D，连接CD，∵点D在圆上，∴∠BDC＝∠BAC＝30°，∵∠BA′C＝∠BDC+∠A′CD，∴∠BA′C＞∠BDC，∴∠BA′C＞30°；答案图②（3）

72【解法提示】解法一：∵AD＝BC＝3，CD＝AB＝2，∴CDAD=23，∵S△PCD=23S△PAD，∴△PAD中AD边上的高等于△PCD中CD边上的高，即点P到AD的距离和点P到CD的距离相等，∴点P在∠ADC的平分线上.在BC上截取CG=32，以DG为直径作圆，则tan∠DPC＝

43，∵tan∠DPC＝

43，∴点P的运动轨迹是以CD为弦的优弧上（不含C、D两点），如答案图③，作∠ADC平分线DE交BC于点E，交圆弧于点P，连接CP，过点C作CF⊥PD，垂足为F，∵PD平分∠ADC，∴∠ADP＝∠CDP＝45°，∴△CDF为等腰直角三角形，又∵CD＝2，∴CF=DF=22=2，∵tan∠DPC=CFPF=43，∴PF=324，∴

PD=DF+PF=2+324=724；解法二：如答案图④，作∠ADC平分线DE交BC与点E，交圆弧于点P，连接CP，过点C作CF⊥PD，垂足为F，设点P的运动轨迹交BC于点G，连接PG，∵△CDF为等腰直角三角形，又CD＝2，∴∠CDF＝∠CED＝45°，∴CD＝21.（1）先求解下列两题：①如图①，点B，D在射线AM上，点C，E在射线AN上，且AB＝BC＝CD＝DE，已知∠EDM＝84°，求∠A的度数；②如图②，在直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，AC∥x轴，点B，C的横坐标都是3，且BC＝2，点D在AC上，且横坐标为1，若反比例函数y=kx(x＞0)的图象经过点（2）解题后，根据以上两小题的共同点，请简单地写出一条你的收获．21.解：（1）①∵AB＝BC＝CD＝ED，∴∠A＝∠BCA，∠CBD＝∠BDC，∠ECD＝∠CED，而∠A+∠BCA＝∠CBD，∠A+∠CDB＝∠ECD，∠A+∠CED＝∠EDM，设∠A＝∠BCA＝x，则∠CBD＝∠BDC＝2x，∠ECD＝∠CED＝3x，则可得x+3x＝84°，解得x＝21°，即∠A＝21°；②点B在反比例函数图象上，设点B(∵BC＝2，∴C(∵AC∥x轴，点D在AC上，且横坐标为1，∴D(∵点D也在反比例函数图象上，∴k3解得k＝3；（2）用已知的量通过关系去表达未知的量，使用转换的思维和方法．（答案不唯一）22.（1）初步探究如图①，在矩形ABCD中，点E是AB边上的一个动点，连接DE，将△ADE沿DE翻折，使点A落在BC上A′处，若AB＝5，BC＝10，求AEEB（2）类比探究如图②，在矩形ABCD中，点E是AB边上的一个动点，将△ADE沿DE翻折，使点A落在矩形ABCD外部一点A′处，A′E和A′D与BC分别交于点M、N，若AB＝5，BC＝10，CN=203，求（3）延伸探究如图③，在矩形ABCD中，点E是AB边上的一个动点，将△ADE沿DE翻折，使点A落在平面上一点A′处，A′到BC边的距离等于1，若AB＝5，BC＝10，请直接写出AEEB22.解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝5，∠A＝∠B＝∠C＝90°，AD＝BC＝10，由翻折性质得，AE＝A′E，AD＝A′D＝10，∠A＝∠EA′D＝90°，在Rt△A′CD中，A′C=A′D2∴∠DA′C＝30°，A′B＝BC

−A′C＝10−5∴∠BA′E＝60°，∠BEA′＝30°∴

A′E=2∴AE（2）如答案图①，过点A′作BC的平行线交直线CD于点G，交直线AB于点K，∵四边形ABCD是矩形，∴四边形BKGC是矩形，∴CD＝AB＝5，AD＝BC＝KG＝10，∠A＝∠B＝∠C＝90°，由翻折性质得：∠A＝∠EA′D＝90°，AE＝A′E，AD＝A′D＝10，在Rt△NCD中，ND∵∠NDC＝∠A′DG，∠NCD＝∠A′GD＝90°，∴△NDC∽△A′DG，∴NDA′D∴A′G＝8，∴DG＝6，A′K＝KG﹣A′G＝2，∵∠EKA′＝∠EA′D＝90°，∴∠DA′G+∠EA′K＝90°，∠KEA′+∠EA′K＝90°，∴∠DA′G＝∠KEA′，∴△EA′K∽△A′DG，∴A′EDA∴A′∴BE∴AE

答案图①（3）21−15【解法提示】由题意得，分两种情况讨论：①当A′在四边形ABCD内部时，如答案图②，过点A′作BC的平行线分别交直线AB，DC于点H，G，∵四边形ABCD是矩形，∴四边形HBCG是矩形，∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，AD＝BC＝HG＝10，CD＝AB＝5，由翻折性质得：AE＝A′E，∠A＝∠EA′D＝90°，AD＝A′D＝10，又∵A′到BC边的距离等于1，∴DG＝5﹣1＝4，∴A′G=102−42=221，∴HA′=10−221，∵∠HEA′+∠HA′E＝∠DA′G+∠HA′E，∴∠DA′G＝∠HEA′，∴△EHA′∽△A′GD，∴EHA′G=A′HDG，即EH221=10−2214，∴EH=521−21，∴EB=521−21+1=521−20，∴AE=5−(521−20)=25−521，∴

AEEB=25−521521−