第16讲 圆锥曲线中的切线方程与切点弦方程（高阶拓展、竞赛适用）（学生版）-2025版高中数学一轮复习考点帮

Page圆锥曲线中的切线方程与切点弦方程（高阶拓展、竞赛适用）（4类核心考点精讲精练）1.5年真题考点分布5年考情考题示例考点分析关联考点2024年新Ⅱ卷，第10题,6分过抛物线上的点与圆相切切线长根据抛物线方程求焦点直线与抛物线交点相关问题2020年新Ⅱ卷，第21题,12分求椭圆的切线方程根据椭圆过的点求标准方程椭圆中三角形(四边形)的面积求椭圆中的最值问题2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的选考内容，设题不定，难度中等或偏难，分值为5-17分【备考策略】1.理解、掌握圆锥曲线切线的定义2.理解、掌握圆锥曲线的切线问题及其相关计算【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会结合公式运算，需强化训练复习知识讲解1过圆x2+y2x

2.设Px0,y0x

3.设Px0,yx

4.设Px0,yy设Px0,xx0+yy0=r2

6.设Px0,y0为椭圆x2axx0a2−yyy考点一、椭圆中的切线方程和切点弦方程1．（2022高三·全国·专题练习）椭圆上点P(1,1)处的切线方程是．2．（22-23高三下·河南·阶段练习）已知椭圆，离心率为，过的直线分别与相切于，两点，则直线方程为（

）A．或 B．C． D．或3．（22-23高二上·江西吉安·期末）已知过圆锥曲线上一点的切线方程为.过椭圆上的点作椭圆的切线，则过点且与直线垂直的直线方程为（

）A． B．C． D．1．（2022·全国·高三专题练习）求过椭圆上一点的切线方程．2．（22-23高三全国·课后作业）曲线上点到直线距离的最小值为．3．（2022·全国·高三专题练习）已知直线经过椭圆的一个顶点E和一个焦点F．(1)求椭圆的标准方程；(2)求过与椭圆相切的直线方程．4．（24-25高三上·湖南·开学考试）已知椭圆过点和.(1)求的离心率；(2)若直线与有且仅有一个交点，求的一般式方程.5．（23-24高二下·河南开封·期末）已知椭圆C的两个焦点坐标分别是，，且经过点．(1)求C的标准方程；(2)已知直线l与平行，且与C有且只有一个公共点，求l的方程．考点二、双曲线中的切线方程和切点弦方程1．（2024高三·全国·专题练习）求双曲线在点处的切线方程．2．（2023高二·全国·专题练习）过点作双曲线：的两条切线，切点分别为，求直线的方程．3．（2022高三·全国·专题练习）已知双曲线的一条切线的斜率为2，求这条切线方程．1．（2024高三·全国·专题练习）（1）求双曲线在点处的切线方程；（2）已知是双曲线外一点，过P引双曲线的两条切线，A，B为切点，求直线AB的方程．2．（2020高三·江苏·专题练习）在双曲线上求一点，使到直线的距离最短．考点三、抛物线中的切线方程和切点弦方程1．（2022高三·全国·专题练习）抛物线过点的切线方程为（）A． B． C． D．2．（2022高三·全国·专题练习）过点作抛物线：的两条切线，切点分别为A，B，求直线的方程．3．（2024·全国·模拟预测）已知抛物线，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，则.4．（2024高三·全国·专题练习）已知M是直线上的动点，过点M作抛物线的两条切线，切点分别为A，B（与坐标原点O不重合），当时，直线AB的方程为．1．（2023高三·全国·专题练习）过抛物线上一点的抛物线的切线方程为.2．（21-22高二下·河南新乡·期末）过点作抛物线的切线，则切点的横坐标为．3．（2023·山东·模拟预测）已知抛物线：，过直线：上的动点可作的两条切线，记切点为，则直线（

）A．斜率为2 B．斜率为 C．恒过点 D．恒过点4．（24-25高三上·贵州遵义·阶段练习）已知抛物线的焦点为，且F与圆上点的距离的最小值为2．(1)求；(2)已知点，，是抛物线的两条切线，，是切点，求．考点四、切线方程及切点弦方程的应用1．（2021·天津·高考真题）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，离心率为，且．（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆有唯一的公共点，与轴的正半轴交于点，过与垂直的直线交轴于点．若，求直线的方程．2．（2021·全国·高考真题）已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为．（1）求；（2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值．1．（2024·四川德阳·三模）已知为抛物线：的焦点，过点且倾斜角为的直线与抛物线相交于不同的两点，若抛物线在两点处的切线相交于点，则.2．（2024·河南洛阳·模拟预测）（多选）过点向抛物线作两条切线，切点分别为为抛物线的焦点，则（

）A． B．C． D．3．（2024高三·全国·专题练习）在直角坐标系中，曲线C：与直线交与M,N两点，(1)当时，分别求C在点M和N处的切线方程；(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有？说明理由.4．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆的离心率为，椭圆上的点与两个焦点构成的三角形的最大面积为1．(1)求椭圆的方程；(2)若点为直线上的任意一点，过点作椭圆的两条切线（切点分别为），试证明动直线恒过一定点，并求出该定点的坐标．5．（2024·全国·模拟预测）设抛物线，直线与交于，两点，且．(1)求抛物线的方程；(2)已知点为上一点，过点作抛物线的两条切线，，设切点分别为，，试求直线，斜率之积的最小值．6．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆的长轴为双曲线的实轴，且经过点．(1)求椭圆的标准方程．(2)已知椭圆在其上一点处的切线方程为．过椭圆的左焦点作直线与椭圆相交于两点，过点分别作椭圆的切线，两切线交于点．求证：．1．（2022高三·全国·专题练习）求过椭圆上一点的切线方程．2．（2022高三·全国·专题练习）设双曲线：上点．求双曲线在点处的切线的方程．3．（2021高三·全国·专题练习）求与双曲线有共同的渐近线，且与直线相切的标准双曲线方程.4．（22-23高三上·广东佛山·阶段练习）已知圆的方程为，抛物线的方程为，则两曲线的公共切线的其中一条方程为．5．（2023·全国·模拟预测）已知拋物线的一条切线方程为，则的准线方程为．6．（24-25高三上·浙江·开学考试）已知抛物线与斜率为的直线恰有一个公共点，则点的纵坐标为（

）A． B． C． D．7．（2024高三·全国·专题练习）已知是双曲线外一点，过P引双曲线的两条切线，为切点，求直线的方程．8．（2020·陕西西安·一模）在平面直角坐标系中，动点在椭圆上运动，则点到直线的距离的最大值为．9．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知抛物线，为直线上一点，过作抛物线的两条切线，切点分别为，则的值为（

）A．0 B．1 C．-2 D．-110．（2023高三·全国·专题练习）已知点P（x，y）是椭圆上任意一点，则点P到直线l：的最大距离为.1．（2022高三·全国·专题练习）已知椭圆与双曲线有公共焦点，点在双曲线上，则该双曲线在点处的切线的斜率为．2．（2024·广东茂名·模拟预测）已知抛物线：，定点，为直线上一点，过作抛物线的两条切线，，，是切点，则面积的最小值为.3．（2024高三·全国·专题练习）（多选）已知O为坐标原点，抛物线y2=2pxp>0上有异于原点的，两点，F为抛物线的焦点，以A，B为切点的抛物线的切线分别记为PA，PB，则（

A．若，则A，F，B三点共线 B．若，则A，F，B三点共线C．若，则A，F，B三点共线 D．若，则A，F，B三点共线4．（24-25高三上·河北邢台·开学考试）已知是抛物线上任一点，为的中点，记动点的轨迹为.(1)求的方程；(2)过点作曲线的两条切线，切点分别为，求点到直线的距离的最小值.5．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为，离心率为，抛物线的焦点为．(1)记椭圆与抛物线在第一象限的交点为，若，求抛物线的方程；(2)过点的直线与抛物线相切于第一象限，切点为，证明：直线经过点，且为线段的中点．6．（23-24高三下·山东济宁·开学考试）已知双曲线的左右焦点分别为，渐近线方程为，且经过点．(1)求双曲线的方程；(2)过点作双曲线的切线与轴交于点，试判断与的大小关系，并给予证明．7．（2024·陕西安康·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，过与轴垂直的直线交于两点，且，离心率为.(1)求的方程；(2)已知圆上点处的切线方程是，利用类比思想可知双曲线上点处的切线方程为.过点分别作双曲线的左､右两支的切线，切点分别为，连接，并过线段的中点分别再作双曲线左､右两支的切线，切点分别为，证明：点在同一条直线上.8．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知椭圆与双曲线的焦点与的焦点间的距离为.(1)求与的方程；(2)过坐标轴上的点可以作两条与的公切线.（i）求点的坐标.（ii）当点在轴上时，是否存在过点的直线，使与均有两个交点？若存在，请求出的方程；若不存在，请说明理由.9．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知曲线上的动点满足，且.(1)求的方程；(2)已知直线与交于两点，过分别作的切线，若两切线交于点，且点在直线上，证明：经过定点.10．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为、，为坐标原点，在椭圆上仅存在个点，使得为直角三角形，且面积的最大值为.(1)求椭圆的标准方程；(2)已知点是椭圆上一动点，且点在轴的左侧，过点作的两条切线，切点分别为、.求的取值范围.1．（福建·高考真题）如图，直线与抛物线相切于点.

（1）求实数的值；（2）求以点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程.2．（安徽·高考真题）设是抛物线的焦点．（Ⅰ）过点作抛物线的切线，求切线方程；（Ⅱ）设为抛物线上异于原点的两点，且满足，延长分别交抛物线于点，求四边形面积的最小值．3．（陕西·高考真题）已知抛物线，直线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点.（Ⅰ）证明：抛物线在点处的切线与平行；（Ⅱ）是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由.4．（广东·高考真题）已知椭圆的一个焦点为，离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程.5．（广东·高考真题）已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为．设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点．(1)求抛物线的方程；(2)当点为直线上的定点时，求直线的方程；(3)当点在直线上移动时，求的最小值．6．（福建·高考真题）如图，等边三角形OAB的边长为，且其三个顶点均在抛物线E：x2=2py（p＞0）上．（1）

求抛物线E的方程；（2）

设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=-1相交于点Q．证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点7．（湖南·高