第07讲 圆锥曲线中的离心率问题（高阶拓展、竞赛适用）（学生版）-2025版高中数学一轮复习考点帮

Page第07讲圆锥曲线中的离心率问题（高阶拓展、竞赛适用）（7类核心考点精讲精练）1.5年真题考点分布5年考情考题示例考点分析关联考点2024年新I卷，第12题,5分求双曲线的离心率无2024年新I卷，第16题,15分求椭圆的离心率根据椭圆过的点求标准方程椭圆中三角形(四边形)的面积根据韦达走理求参数2023年新I卷，第5题,5分求椭圆的离心率或离心率的取值范围由椭圆的离心率求参数的取值范围无2023年新I卷，第16题,5分利用定义解决双曲线中集点三角形问题求双曲线的离心率或离心率的取值范围无2022年全国甲卷（文科），第11题,5分根据离心率求椭圆的标准方程根据a、b、c求椭圆标准方程2022年全国甲卷（理科），第10题,5分求椭圆的离心率或离心率的取值范围已知两点求斜率2022年全国乙卷（理科），第11题,5分求双曲线的离心率或离心率的取值范围用和、差角的正弦公式化简、求值正弦定理解三角形2022年新I卷，第16题,5分根据离心率求楠圆的标准方程椭圆中焦点三角形的周长问题2021年全国乙卷（理科），第11题,5分求椭圆的离心率或离心率的取值范围根据二次函数的最值或值域求参数2021年全国甲卷（理科），第5题,5分求双曲线的离心率或离心率的取值范围无2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等或偏难，分值为5分【备考策略】1.理解离心率的定义及对曲线的影响2.能用定义法求离心率3.能用文中其他方法快速求解离心率4.能求解离心率的相关最值问题【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般以椭圆或双曲线为载体在小题中考查，有时也会在大题中命题，需重点强化练习知识讲解椭圆离心率求解的5种常用方法公式1:公式2:变形证明:公式3:已知棚圆方程为,两焦点分别为,设焦点三角形,,则椭圆的离心率证明:,由正弦定理得:由等比定理得:,即.公式4:以椭圆两焦点及椭圆上任一点(除长轴两端点外)为顶点,则证明:由正弦定理有.公式5:点是椭圆的焦点,过的弦与椭圆焦点所在轴的夹角为为直线的斜率,且.,则当曲线焦点在轴上时,注:或者而不是或双曲线离心率求解的5种常用方法公式1:公式证明:公式3:已知双曲线方程为两焦点分别为,设焦点三角形,则证明:,由正弦定理得:由等比定理得:即。公式4:以双曲线的两个焦点及双曲线上任意一点除实轴上两个端点外)为顶点的,则离心率证明:由正弦定理,有即又公式5:点是双曲线焦点,过弦与双曲线焦点所在轴夹角为为直线斜率,,则,当曲线焦点在轴上时,注:或者而不是或考点一、椭圆、双曲线中的定义法或公式法求离心率1．（2024·全国·高考真题）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（

）A．4 B．3 C．2 D．2．（2023·全国·高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（

）A． B． C． D．3．（全国·高考真题）双曲线C:的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为A．2sin40° B．2cos40° C． D．4．（2024·新Ⅰ卷·高考真题）已知和为椭圆上两点.(1)求C的离心率;5．（2024·北京·高考真题）已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为．(1)求椭圆的方程及离心率；1．（2024·辽宁·模拟预测）已知焦点在轴上的椭圆的短轴长为2，则其离心率为（

）A． B． C． D．2．（2024·安徽·模拟预测）双曲线的一条渐近线过点，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．3．（2024·河南周口·模拟预测）已知双曲线的焦距与其虚轴长之比为3：2，则的离心率为（

）A． B． C． D．4．（2024·四川乐山·三模）设双曲线，椭圆的离心率分别为，若，则（

）A． B． C． D．5．（2024·山东·二模）如图所示，已知双曲线的焦点分别是是等边三角形，若的中点在双曲线上，则双曲线的离心率等于．6．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆的离心率为，焦点为,，一个短轴顶点为，则（

）A．40° B．50° C．80° D．100°考点二、利用“公式3”求焦点三角形中椭圆、双曲线的离心率已知是椭圆的两个焦点,是上的一点,若,且,则的离心率为)A.B.C.D.2．（全国·高考真题）设椭圆C：的左、右焦点分别为、，P是C上的点，⊥，∠=，则C的离心率为A． B． C． D．5．（全国·高考真题）设是等腰三角形，，则以，为焦点，且过点的双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．1．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，其右顶点为A，若椭圆上一点P，使得，，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．2．（2023·北京·校考模拟预测）已知，分别是双曲线C：（，）的两个焦点，P为双曲线C上一点，且，那么双曲线C的离心率为（

）A． B． C．2 D．4．（2024·山东菏泽·高三统考）设，是椭圆的两个焦点.若在上存在一点，使，且，则的离心率为.考点三、利用“公式5”求椭圆、双曲线离心率1．（全国·高考真题）已知双曲线的右焦点为F且斜率为的直线交C于A、B两点，若，则C的离心率为A． B． C． D．2．（全国·高考真题）已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则A．1 B． C． D．23．（2023·全国·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为．1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为（

）.A． B． C． D．2．（2022·浙江·高考真题）已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是．3．（2022·全国·高三专题练习）已知F为椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交椭圆C于点D，且，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．考点四、斜率乘积求离心率1．（2024·四川达州·二模）双曲线的左、右顶点分别为为上一点，若直线与直线斜率之积为2，则的离心率为（

）A． B． C．2 D．32．（2024·陕西铜川·三模）已知原点为，椭圆与直线交于两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．1．（2024·广东茂名·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于另一点，若直线与的斜率之积为，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．2．（2024·湖北·模拟预测）椭圆的右顶点为，直线与椭圆交于A，B两点，直线PA，PB的斜率乘积为，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．考点五、余弦定理求离心率1．（2021·全国·高考真题）已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（

）A． B． C． D．2．（2024·湖南衡阳·模拟预测）设，是椭圆（）的左、右焦点，过的直线与交于，两点，若，，则的离心率为（

）A． B． C． D．3．（2024·广西桂林·模拟预测）已知是双曲线的左、右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为，且，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．4．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与椭圆的一个交点为，若，则椭圆的离心率为（

）A． B．或 C．或 D．或1．（2024·湖南长沙·二模）已知，分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆的上顶点，过作的垂线，并与椭圆交于点，且满足，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．2．（2024·浙江温州·三模）已知是椭圆的左右焦点，上两点满足：，，则椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．3．（2024·江西鹰潭·三模）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为，倾斜角为且过原点的直线交椭圆于两点.若，设椭圆的离心率为A． B．C． D．4．（2024·浙江·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线l与椭圆相交于A、B两点，与y轴相交于点C．连接，．若O为坐标原点，，，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．考点六、构造齐次方程求离心率1．（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为，以为圆心的圆交轴正半轴于点，交轴于两点，线段与交于点.若的面积为（为椭圆的半焦距），则的离心率为（

）A． B． C． D．2．（2024·湖北武汉·模拟预测）设椭圆的左右焦点为，右顶点为，已知点在椭圆上，若，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．1．（2024·海南·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知椭圆：，点，，若以为直径的圆过椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．2．（2023·山东·烟台二中校联考模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线过点且与椭圆的长轴垂直，直线过椭圆的上顶点与右顶点且与交于点，若（为坐标原点），且，则椭圆的离心率为（

）．A． B． C． D．4．（2023·云南·校联考模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，（如图），过的直线交于，两点，且轴，，则的离心率为（

）

A． B． C． D．考点七、离心率的范围及最值问题1．（2021·全国·高考真题）设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（北京·高考真题）椭圆的焦点为，两条准线与x轴的交点分别为M，N．若，则该椭圆离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（湖南·高考真题）设分别是椭圆的左、右焦点，若在其右准线上存在P，使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．4．（2024·辽宁·模拟预测）已知椭圆与双曲线有共同的焦点是椭圆与双曲线的一个公共点，且，其离心率分别为，则的最小值为（

）A．3 B．4 C．6 D．125．（2024·辽宁·模拟预测）已知是椭圆上的动点，若动点到定点的距离的最小值为1，则椭圆的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．1．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知是椭圆的左、右焦点，若上存在不同的两点，使得，则的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．2．（2024·河南濮阳·模拟预测）点是椭圆上的点，以为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点，圆与轴相交于两点，若是锐角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（

）A． B．C． D．3．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆与双曲线有共同的焦点，点为两曲线的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，那么最小为（

）A． B． C． D．4．（2024·四川德阳·模拟预测）已知双曲线l的焦距为2c，右顶点为A，过A作x轴的垂线与E的渐近线交于M、N两点，若则E的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．[3，2]1．（2024·全国·模拟预测）设椭圆的离心率是椭圆的离心率的倍，则的长轴长为（

）A．1 B． C．2 D．2．（2024·河南商丘·模拟预测）若动直线始终与椭圆（且）有公共点，则的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（2024·江苏南京·二模）设分别为椭圆的左，右焦点，为椭圆上一点，直线与以为圆心、为半径的圆切于点为坐标原点，且，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．4．（2024·全国·模拟预测）设椭圆和双曲线的离心率分别为，若，则的取值范围是（

）A． B．C． D．5．（2024·全国·模拟预测）已知是双曲线的左、右顶点，点在上，为等腰三角形，且顶角为，则的离心率为（

）A． B．2 C． D．6．（2024·四川成都·模拟预测）双曲线的一条渐近线为，则其离心率为（

）．A． B． C． D．7．（2024·全国·模拟预测）椭圆的左顶点为，点均在上，且点关于点轴对称，若直线均存在斜率，且斜率之积为，记的离心率为，则（

）.A． B． C． D．二、多选题8．（2024·甘肃酒泉·三模）已知椭圆上存在点，使得，其中分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为（

）A． B． C． D．9．（2024·河南新乡·模拟预测）已知，则双曲线与有相同的（

）A．焦点 B．焦距 C．离心率 D．渐近线三、填空题10．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则C的离心率为.一、单选题1．（2024·黑龙江大庆·三模）已知椭圆的左､右焦点分别为，若经过的弦满足，则椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．2．（2024·江苏苏州·三模）已知分别为双曲线的左、右焦点，过作的渐近线的平行线，与渐近线在第一象限交于点，此时，则的离心率为（

）A． B．2 C． D．33．（2024·福建泉州·模拟预测）椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上第一象限内的一点，且与轴相交于点，离心率，若，则（

）A． B． C． D．4．（2024·山东菏泽·二模）已知分别为椭圆和双曲线的离心率，双曲线渐近线的斜率不超过，则的最大值是（

）A．2 B．3 C．4 D．55．（2024·陕西安康·模拟预测）已知双曲线:的左焦点为，过的直线交圆于，两点，交的右支于点，若，则的离心率为（

）A． B． C． D．6．（2024·天津·二模）设双曲线：的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线与双曲线C交于A，B两点，，，则C的离心率为（

）A． B． C． D．27．（2024·湖南·三模）已知是椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，过作直线与C交于A，B两点，若，且的面积为，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．二、填空题8．（2024·陕西西安·三模）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线的左支于A，B两点，，，则双曲线的离心率为．9．（2024高三下·全国·专题练习）已知P、Q为椭圆上关于原点对称的两点，点P在第一象限，、是椭圆C的左、右焦点，，若，则椭圆C的离心率的取值范围为.10．（2024·江苏盐城·模拟预测）已知双曲线的左顶点是，右焦点是，点是双曲线右支上异于顶点的动点，的平分线与直线交于点，过作轴，垂足是，若恒成立，则双曲线的离心率为．1．（2024·广东江苏·高考真题）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为．2．（2023·天津·高考真题）已知椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知．(1)求椭圆的方程和离心率；(2)点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程．3．（2022·天津·高考真题）椭圆的右焦点为F，右顶点A和上顶点为B满足．(1)求椭圆的离心率；(2)直线l与椭圆有唯一公共