第01讲 基本立体图形、简单几何体的表面积及体积（学生版）-2025版高中数学一轮复习考点帮

Page第01讲基本立体图形、简单几何体的表面积及体积（7类核心考点精讲精练）1.5年真题考点分布5年考情考题示例考点分析关联考点2024年新I卷，第5题,5分圆柱表面积的有关计算圆锥表面积的有关计算锥体体积的有关计算无2024年新Ⅱ卷，第7题,5分锥体体积的有关计算台体体积的有关计算求线面角2023年新I卷，第12题,5分正棱锥及圆柱体的相关计算球体相关计算2023年新I卷，第14题,5分台体体积的有关计算无2023年新Ⅱ卷，第9题,5分圆锥表面积的有关计算锥体体积的有关计算二面角的概念及辨析二面角大小求线段长度或距离2023年新Ⅱ卷，第14题,5分正棱台及其有关计算锥体体积的有关计算台体体积的有关计算无2022年新I卷，第4题,5分台体体积的有关计算无2022年新I卷，第8题,5分锥体体积的有关计算球的体积的有关计算多面体与球体内切外接问题由导数求函数的最值(不含参)2022年新Ⅱ卷，第11题,5分锥体体积的有关计算证明线面垂直2021年新I卷，第3题,5分圆锥中截面的有关计算无2021年新Ⅱ卷，第5题,5分棱台的结构特征和分类台体体积的有关计算无2020年新Ⅱ卷，第13题,5分锥体体积的有关计算无2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较低，分值为5-6分【备考策略】1.了解柱、锥、台体及简单组合体的结构特征及其相关性质2.会运用柱体、锥体、台体等组合体的表面积和体积的计算公式求解相关问题【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般给定柱、锥、台体及简单组合体，求对应的表面积与体积，需强化复习.知识讲解1．空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相平行且全等多边形互相平行侧棱平行且相等相交于一点但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形(2)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线平行、相等且垂直于底面相交于一点延长线交于一点轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圆侧面展开图矩形扇形扇环2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrlS圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π(r1＋r2)l3.空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝S底·h锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝eq\f(1,3)S底·h台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3考点一、空间几何体的结构特征1．以下结论中错误的是（

）A．经过不共面的四点的球有且仅有一个 B．平行六面体的每个面都是平行四边形C．正棱柱的每条侧棱均与上下底面垂直 D．棱台的每条侧棱均与上下底面不垂直2．下列命题：①有两个面平行，其他各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱；②有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱；③过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不可能是矩形；④所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱．其中正确命题的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．33．（多选）如图，我们常见的足球是由若干个正五边形和正六边形皮革缝合而成.如果我们把足球抽象成一个多面体，它有60个顶点，每个顶点发出的棱有3条，设其顶点数V，面数F与棱数E，满足（Euler'sformula），据此判断，关于这个多面体的说法正确的是（

）A．共有20个六边形B．共有10个五边形C．共有90条棱D．共有32个面1．下列命题是真命题的是（

）A．两个四棱锥可以拼成一个四棱柱 B．正三棱锥的底面和侧面都是等边三角形C．经过不共线的三个点的球有且只有一个 D．直棱柱的侧面是矩形2．下面关于空间几何体叙述正确的有（

）A．圆柱的所有母线长都相等 B．底面是正方形的棱锥是正四棱锥C．一个棱台最少有5个面 D．用一平面去截圆台，截面一定是圆面3．给出下列命题：①长方体是四棱柱；②直四棱柱是长方体；③底面是正多边形的棱锥一定是正棱锥；④延长一个棱台的各条侧棱，它们相交于一点．则正确的是（

）A．① B．② C．③ D．④考点二、柱体的表面积与体积1．（2024·上海·三模）已知圆柱的底面半径为3cm，侧面积为24πcm3，则此圆柱的体积为cm2．（全国·高考真题）在长方体ABCD−A1B1C1D1中，A．8 B． C．82 D．83．（江苏·高考真题）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且＝94，则V1V21．2．4．（2024·天津·高考真题）一个五面体．已知，且两两之间距离为1．并已知．则该五面体的体积为（

）A．36 B． C．32 D．1．1．（上海·高考真题）若正三棱柱的所有棱长均为，且其体积为，则.2．（2024·山东·二模）已知圆柱的底面半径为4，侧面面积为16π，则该圆柱的母线长等于3．（全国·高考真题）正三棱柱侧面的一条对角线长为2，且与底面成45∘角，则此三棱柱的体积为（

A．62 B．6 C． D．64．（全国·高考真题）已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线A． B． C． D．考点三、锥体的表面积与体积1．（2021·全国·高考真题）已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为则该圆锥的侧面积为.2．（2023·全国·高考真题）在三棱锥P−ABC中，是边长为2的等边三角形，，则该棱锥的体积为（

）A．1 B． C．2 D．33．（2023·全国·高考真题）已知四棱锥P−ABCD的底面是边长为4的正方形，，则△PBC的面积为（

）A．22 B．32 C．424．（2023·天津·高考真题）在三棱锥P−ABC中，点M,N分别在棱PC,PB上，且，，则三棱锥和三棱锥P−ABC的体积之比为（

）A．19 B．29 C．131．（2024·全国·高考真题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为3，则圆锥的体积为（

）A． B． C． D．2．（2023·全国·高考真题）已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，∠AOB=120°，若△PAB的面积等于934，则该圆锥的体积为（

A．π B．6π C．3π D．3．（2022·全国·高考真题）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（

）A．5 B．22 C． D．4．（2022·全国·高考真题）（多选）如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，F−ABC，的体积分别为，则（

）A． B．C． D．考点四、台体的表面积与体积1．（2021·全国·高考真题）正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（

）A． B． C． D．2．（2023·全国·高考真题）在正四棱台ABCD−A1B1C3．（2022·全国·高考真题）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（

）A． B． C． D．4．（2024·全国·高考真题）已知圆台甲、乙的上底面半径均为,下底面半径均为r2，圆台的母线长分别为,，则圆台甲与乙的体积之比为．1．（2024·全国·模拟预测）已知一个高为6的圆锥被平行于底面的平面截去一个高为3的圆锥，所得圆台的上、下底面圆周均在球的球面上，球的体积为，且球心在该圆台内，则该圆台的表面积为（

）A． B．C． D．3．2．（2024·陕西安康·模拟预测）在正四棱台ABCD−A1B1C1DA． B． C． D．3．（2024·天津河西·三模）如图，在三棱柱中，E，F分别为AB，AC的中点，平面将三棱柱分成体积为V1，V2两部分，则（

）A．1∶1 B．4∶3 C．6∶5 D．7∶54．（2024·新疆喀什·二模）（多选）如图圆台O1O2，在轴截面中，，下面说法正确的是（

A．线段AC=2B．该圆台的表面积为11C．该圆台的体积为7D．沿着该圆台的表面，从点到中点的最短距离为5考点五、组合体的表面积与体积1．（2024·辽宁大连·一模）陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址．如图所示的是一个陀螺立体结构图．已知，底面圆的直径AB=12cm，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，则这个陀螺的表面积(单位：)是（

）

A． B． C． D．2．（2024·湖北武汉·二模）陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，它可以近似地视为由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体，如图1是一种木陀螺，其直观图如图2所示，，分别为圆柱上、下底面圆的圆心，为圆锥的顶点，若圆锥的底面圆周长为，高为，圆柱的母线长为4，则该几何体的体积是（

）

A． B．32π C． D．3．（2022·天津·高考真题）如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（

）A．23 B．24 C．26 D．271．（2022·河南郑州·三模）鲁班锁起源于中国古代建筑的榨卯结构．这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装，如图（1），这是一种常见的鲁班锁玩具，图（2）是该鲁班锁玩具的直观图．已知该鲁班锁玩具每条棱的长均为1，则该鲁班锁玩具的表面积为（

） B． C． D．2．（2024·福建福州·模拟预测）如图，六面体的一个面是边长为2的正方形，，CC1，DD1均垂直于平面，且，，则该六面体的体积等于，表面积等于．考点六、数学文化之表面积与体积1．（全国·高考真题）(2015新课标全国I理科)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有

A．14斛 B．22斛C．36斛 D．66斛2．（2024·浙江·模拟预测）清代的苏州府被称为天下粮仓，大批量的粮食要从苏州府运送到全国各地．为了核准粮食的数量，苏州府制作了“小嘴大肚”的官斛用以计算粮食的多少，五斗为一斛，而一只官斛的容量恰好为一斛，其形状近似于正四棱台，上口为正方形，内边长为25cm，下底也为正方形，内边长为50cm，斛内高36cm，那么一斗米的体积大约为立方厘米?（

）A．10500 B．12500 C．31500 D．525003．（2024·福建宁德·模拟预测）《缀术》中提出的“缘幂势既同，则积不容异”被称为祖暅原理，其意思是：如果两个等高的几何体在同高处被截得的两截面面积均相等，那么这两个几何体的体积相等.该原理常应用于计算某些几何体的体积.如图，某个西晋越窑卧足杯的上下底为互相平行的圆面，侧面为球面的一部分，上底直径为，下底直径为6cm，上下底面间的距离为3cm，则该卧足杯侧面所在的球面的半径是cm；卧足杯的容积是cm3（杯的厚度忽略不计）1．（2024·山东菏泽·模拟预测）菏泽市博物馆里，有一条深埋600多年的元代沉船，对于研究元代的发展提供了不可多得的实物资料.沉船出土了丰富的元代瓷器，其中的白地褐彩龙风纹罐（如图）的高约为36cm，把该瓷器看作两个相同的圆台拼接而成（如图），圆台的上底直径约为，下底直径约为40cm，忽略其壁厚，则该瓷器的容积约为（

A． B． C． D．2．（2024·四川·三模）龙洗，古代中国盥洗用具，状貌像鼎，用青铜铸造，因盆内有龙纹而称之为龙洗，中国传说中也称作聚宝盆．其盆体可以近似看作一个圆台，现有一龙洗盆高，盆口直径24cm，盆底直径．现往盆内注水，当水深为4cm时，则盆内水的体积为（

）（圆台的体积公式：，其中分别表示圆台上下底面的面积）A． B． C． D．3．（2024高三·河南·专题练习）我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）（）A．6寸 B．4寸 C．3寸 D．2寸考点七、表面积与体积中的最值及范围问题1．（2022·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2024·全国·模拟预测）“幂势既同，则积不容异”，这是“祖暅原理”，可以描述为，夹在两个平行平面之间的两个几何体，总被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．已知圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，在圆锥内部放置一个平行六面体，则该平行六面体的体积的最大值为（

）A． B．34 C． D．3．（2024·河南·模拟预测）如图，已知直三棱柱的体积为4，AC⊥BC，，D为的中点，E为线段AC上的动点（含端点），则平面BDE截直三棱柱所得的截面面积的取值范围为（

）

A． B． C． D．1．（2024·福建泉州·模拟预测）在圆台O1O2中，圆O1的半径是2，母线，圆O2是的外接圆，，，则三棱锥体积最大值为．2．（浙江·高考真题）如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是.1．（2024·重庆·三模）若圆锥的母线长为2，且母线与底面所成角为，则该圆锥的侧面积为（）A． B． C． D．2．（2024·河南·三模）已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积为（

）A． B． C．10π D．12π3．（2024·山东·模拟预测）已知正方体的棱长为为棱的中点，则四面体的体积为（

）A．2 B．423 C． D．4．（2024·全国·模拟预测）某小区花园内现有一个圆台型的石碑底座，经测量发现该石碑底座上底面圆的半径为1，且上底面圆直径的一端点的投影为下底面圆半径的中点，高为3，则这个圆台的体积为（

）A． B．5π C．7π D．5．（2024·全国·模拟预测）如图，水面高度均为2的圆锥、圆柱容器的底面半径相等，高均为4（不考虑容器厚度及圆锥容器开口）．现将圆锥容器内的水全部倒入圆柱容器内，则倒入前后圆柱容器内水的体积之比为（

）A． B． C． D．6．（2024·陕西安康·模拟预测）已知正三棱台的上底面积为，下底面积为，高为2，则该三棱台的表面积为（

）A． B． C． D．187．（2024·天津北辰·三模）中国载人航天技术发展日新月异.目前，世界上只有3个国家能够独立开展载人航天活动.从神话“嫦娥奔月”到古代“万户飞天”，从诗词“九天揽月”到壁画“仕女飞天”……千百年来，中国人以不同的方式表达着对未知领域的探索与创新.如图，可视为类似火箭整流罩的一个容器，其内部可以看成由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体.圆柱和圆锥的底面半径均为2，圆柱的高为6，圆锥的高为4.若将其内部注入液体，已知液面高度为7，则该容器中液体的体积为（

）A．325π12 B．76π3 C．8．（2024·河南信阳·三模）如图，是圆锥底面中心到母线的垂线，绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角余弦值为（

）A．132 B．142 C．9．（23-24高一下·吉林·期中）在四面体ABCD中，平面平面BCD，，且，则四面体ABCD的体积为（

）A．2 B．6 C． D．10．（2024·江西·二模）如图，在直三棱柱中，，∠BAC=π2，点，分别为棱，上的动点（不包括端点），若，则三棱锥的体积的最大值为（

）A． B． C． D．1．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在矩形中，为边上的点，且，将沿所在直线翻折到的位置，使，则四棱锥的体积为（

）A． B．C． D．2．（2024·天津·二模）在如图所示的几何体中，底面是边长为4的正方形，，，，均与底面垂直，且，点E、F分别为线段、的中点，记该几何体的体积为，平面将该几何体分为两部分，则体积较小的一部分的体积为（

）A． B． C． D．3．（2024·北京西城·二模）楔体形构件在建筑工程上有广泛的应用．如图，某楔体形构件可视为一个五面体，其中面为正方形．若，，且与面的距离为，则该楔体形构件的体积为（

）

A． B． C． D．4．（2024·四川成都·模拟预测）我们把所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，在这两个平行平面内的面叫做拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高，过高的中点且平行于底面的平面截拟柱体所得的截面称为中截面.已知拟柱体的体积公式为，其中分别是上､下底面的面积，是中截面的面积，为拟柱体的高.一堆形为拟柱体的建筑材料，其两底面是矩形且对应边平行（如图），下底面长20米，宽10米，堆高1米，上底的长､宽比下底的长､宽各少2米.现在要彻底运走这堆建筑材料，若用最大装载量为5吨的卡车装运，则至少需要运（

）（注：1立方米该建筑材料约重1.5吨）A．51车 B．52车 C．54车 D．56车5．（2024·河北保定·三模）如图，在长方体中，，，是上一点，且，则四棱锥的体积为（

）A． B． C． D．6．（2024·江西·模拟预测）如图，将边长为1的正以边为轴逆时针翻转弧度得到，其中，构成一个三棱锥．若该三棱锥的外接球半径不超过，则的取值范围为（

）

A． B． C． D．二、填空题7．（2024·新疆·二模）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“羡除”的几何体，该几何体的一种结构是三个面均为梯形，其他两面为三角形的五面体．如图所示，四边形，ABFE，均为等腰梯形，，，，，到平面的距离为5，与间的距离为10，则这个羡除的体积V=．8．（2024·青海海西·模拟预测）如图，在几何体中，，梯形和梯形为等腰梯形，，若几何体的体积为，则．

9．（2024·重庆·三模）已知棱长为1的正方体内有一个动点M，满足，且，则四棱锥体积的最小值为.10．（2024·山东菏泽·二模）已知在棱长为2的正方体中，挖去一个以上下底面各边中点为顶点的四棱柱，再挖去一个以左右两侧面各边中点为顶点的四棱柱，则原正方体剩下部分的体积为．1．（2024·北京·高考真题）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为，且斛量器的高为，则斗量器的高为，升量器的高为．2．（2023·全国·高考真题）（多选）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（

）A．直径为的球体B．所有棱长均为的四面体C