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文档简介
用定积分求平面图形的面积用定积分求平面图形的面积
引例
由曲线
及直线(且)，与
轴所围成的曲边梯形的面积
是函数
在区间
上的定积分，其中被积表达式
就是直角坐标下的面积元素，它表示高为
，底为
的一个矩形面积。用定积分求平面图形的面积
根据定积分的微元法，我们不难得到以下平面区域面积的定积分表示。(1)曲线
，直线(且)，与
轴所围成的平面区域的面积：
若
，则其面积为
；
若
，则其面积为
；
若
在区间
上既有取正的部分，也有取负的部分，则其面积为：用定积分求平面图形的面积
根据定积分的微元法，我们不难得到以下平面区域面积的定积分表示。(2)曲线
与
，假设()及直线
(且)所围成图形，如图所示，则其面积为(3)曲线
，
，直线()，围成图形，如图所示，则其面积为:习题讲解
例1：计算由两条抛物线
与
所围成的图形的面积。
解：
两条曲线的交点为
，选
为积分变量，则积分区间为
，面积微元为
，则所求面积为：习题讲解
例2：计算抛物线
与直线
所围成图形的面积。
解：求抛物线与直线的交点，即解方程组
，交点
如果选择
为积分变量，
，在区间
上任取一个子区间
，则在区间
上的面积微元是
，于是：
如果选择
为积分变量，那么它的表达式就比上式复杂，所以在这里不再求解。习题讲解
例3：求椭圆
所围成区域的面积。
解：因为图形关于
轴、
轴对称，所以椭圆面积是它在第一象限部分的面积的四倍，即
把
，
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