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文档简介

无穷区间上的反常积分无穷区间上的反常积分

引例由定积分的几何意义，可以得到该曲边梯形的面积为:求曲线

与直线

所围成的曲边梯形的面积。当

时，

的极限为

，即：

这个极限表示的是曲线

，

轴及直线

右边所构成的“开口曲边梯形的面积”。

一般地，对于积分区间是无限区间的积分，我们给出如下定义：定义5.2

这时也称反常积分

存在或收敛；否则就说该反常积分不存在或发散。设函数

在

上连续，任取

，如果极限

存在，就称此极限值为函数

在

上的反常积分，记作

，

即：无穷区间上的反常积分

类似地定义：函数

在

上的反常积分为：函数

在

上的反常积分为：其中

为任意常数，当

与

均收敛时，反常积分

才是收敛的，否则该反常积分是发散的。无穷区间上的反常积分

例1求

。解：

计算反常积分时，为了书写简便，常常省去极限记号，而形式地把“

”当成一个“数”，直接利用牛顿——莱布尼兹公式的公式进行计算。习题讲解

其中

为函数

的原函数，记号

，

应理解为极限运算，即：

，

。

习题讲解

讨论

的敛散性。例2解：

，因为

不存在，所以

发散。例3讨论

的敛散性。当

时，

所以反常积分

，

当

时发散，当

时收敛。解：当

时，

，积分分散；习题讲解

案例5.4【润滑油供应问题】

某公司生产了一批超音速运输机之后停产了，但该公司承诺将为客户终身供应一种适于该机型的特殊润滑油，一年后该批飞机的用油率（单位：升/年）由下式给出：

，其中

表示飞机服役的年数

；该公司要一次性生产该批飞机所需润滑油并在需要时分发出去，请问需要生产此润滑油多少升？习题讲解

即600升润滑油将保证终身供应。

解：因为

是一年后该批飞机的用油率，所以在第一年到第

年间的任意一个时间段

中，该批飞机所需要的润滑油的数量等于

，因此从第一年到第

年间所需要的润滑油的数量等于

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