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文档简介
无穷区间上的反常积分无穷区间上的反常积分
引例由定积分的几何意义，可以得到该曲边梯形的面积为:求曲线
与直线
所围成的曲边梯形的面积。当
时，
的极限为
，即：
这个极限表示的是曲线
，
轴及直线
右边所构成的“开口曲边梯形的面积”。
一般地，对于积分区间是无限区间的积分，我们给出如下定义：定义5.2
这时也称反常积分
存在或收敛；否则就说该反常积分不存在或发散。设函数
在
上连续，任取
，如果极限
存在，就称此极限值为函数
在
上的反常积分，记作
，
即：无穷区间上的反常积分
类似地定义：函数
在
上的反常积分为：函数
在
上的反常积分为：其中
为任意常数，当
与
均收敛时，反常积分
才是收敛的，否则该反常积分是发散的。无穷区间上的反常积分
例1求
。解：
计算反常积分时，为了书写简便，常常省去极限记号，而形式地把“
”当成一个“数”，直接利用牛顿——莱布尼兹公式的公式进行计算。习题讲解
其中
为函数
的原函数，记号
，
应理解为极限运算，即：
，
。
习题讲解
讨论
的敛散性。例2解：
，因为
不存在，所以
发散。例3讨论
的敛散性。当
时，
所以反常积分
，
当
时发散，当
时收敛。解：当
时，
，积分分散；习题讲解
案例5.4【润滑油供应问题】
某公司生产了一批超音速运输机之后停产了，但该公司承诺将为客户终身供应一种适于该机型的特殊润滑油，一年后该批飞机的用油率（单位：升/年）由下式给出：
，其中
表示飞机服役的年数
；该公司要一次性生产该批飞机所需润滑油并在需要时分发出去，请问需要生产此润滑油多少升？习题讲解
即600升润滑油将保证终身供应。
解：因为
是一年后该批飞机的用油率，所以在第一年到第
年间的任意一个时间段
中，该批飞机所需要的润滑油的数量等于
，因此从第一年到第
年间所需要的润滑油的数量等于
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