高等数学（第五版）课件 6.1.1定积分的概念_第1页
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文档简介

定积分及其应用定积分的概念定积分的概念

引例

曲边梯形的面积

所谓曲边梯形是指在直角坐标系中，由连续曲线

，直线(且)，以及

轴所围成的图形，如图所示．1.什么是曲边梯形的面积？定积分的概念

引例

曲边梯形的面积2.为什么研究曲边梯形的面积？

讨论曲边梯形的面积具有普遍的意义，如图所表示的平面图形的面积，就是曲边梯形

与曲边梯形

面积之差．

解决这个问题的困难之处在于曲边梯形的上部边界是一条曲线，在中学已经学习了一些规则的平面图形（如矩形、三角形、梯形等）面积的计算问题。

计算曲边梯形面积的步骤:

(1)若把曲边梯形分割成许多细小的曲边梯形；

(2)用我们易求的矩形面积近似代替小曲边梯形的面积；

(3)大曲边梯形面积的近似值就是所有小矩形的面积之和；定积分的概念

3.如何计算曲边梯形的面积？

计算曲边梯形面积的步骤:

(4)把曲边梯形无限分割，若分割的越细，小曲边梯形的宽度越小，小矩形和小曲边梯形的近似程度就越高，误差就越小。当所有小曲边梯形的宽度都趋于零时，则所有小矩形面积之和的极限值就是这个大曲边梯形面积的精确值。定积分的概念

3.如何计算曲边梯形的面积？定积分的概念

计算曲边梯形面积的步骤：

（1）分割

用分点

将区间

分成任意

个小区间

第

个小区间记为

，其长度为

，过每一个分点做垂直于

轴的直线，把曲边梯形分为

个小曲边梯形。定积分的概念

计算曲边梯形面积的步骤：

（2）近似代替在每个小区间

上，任取一点

，那么，以

为底，

为高的矩形面积为

．设第

个小曲边梯形的面积为

，则：定积分的概念

计算曲边梯形面积的步骤：

（3）求和

将

个小矩形的面积相加，得曲边梯形面积

的近似值，即：（4）取极限

记

，让每个小区间的长度趋向于零，则：定积分的概念

引例

变速直线运动的路程

设一物体作变速直线运动，已知运动速度

为时间

的连续函数

，求在时间间隔

内物体运动的路程

。

对于匀速直线运动，由于速度

是不变的，因此有：路程＝速度×时间，而对于变速运动就不能用此方法进行解决，但是，考虑到在很短时间间隔内，速度的变化是微小的，可以近似地理解为物体在作匀速直线运动。于是，我们也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法来处理这个问题。

第

个小区间记为

，其长度为

；

（2）近似代替

在每个小时间区间

上任取一个时刻

，在

处物体运动的速度为

，那么，在时间段

上物体运动路程的近似值为：定积分的概念

（1）分割

用分点

将区间

分成任意

个小区间定积分的概念

（3）求和

物体在时间间隔

内走过路程的近似值为：

（4）取极限

记

，当

时，上述和式的极限就是物体在时间间隔

上运动的

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