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文档简介

曲线的凹凸性

前面我们讨论了函数的的单调性和极值，这对研究函数的上升与下降规律和函数的其它特性很有好处，但这对研究函数变化规律还不够，为了准确描绘函数的图形，我们还应知道它的弯曲方向及不同弯曲方向的分界点。这一节我们将利用导数来专门研究曲线的弯曲方向（即凹向）与弯曲方向的分界点（即拐点）。曲线的凹凸性

对勾函数

对勾函数：是一种类似于反比例函数的一种双曲函数，是形如

的函数。由图像得名，又被称为“双勾函数”、“对号函数”等。常见的是特殊形式，即

的形式。由中学所学可知

该函数在区间

上单调递减，但是单调递减的方式有很多，该函数在

上是以哪一种方式递减的？数学上怎么样来限定该种形式呢？引例研究函数

和函数

在区间

内的弯曲方向。

它们在区间

内都是单调增加的，但是它们的弯曲方向是不一样的，如图所示。而且如果作出这两条曲线的切线，还可以发现

上任何一点的切线总在曲线下方，而

上任何一点的切线总在曲线上方。因此我们引入新的定义来描述这些图像及该种特性的异同。曲线的凹凸性

图一图二

定义

若曲线弧位于其上每一点处切线的上方，则称此曲线弧是上凹的或凹的，如右图一就是上凹的，若曲线弧位于其上每一点处切线的下方，则称此曲线弧是下凹的或凸的，如右图当中的图二。一、曲线凹凸性的定义曲线的凹凸性

二、曲线凹凸的判定定理曲线的凹凸性

定理

设函数

在

上连续，在

内二阶可导。（1）若在

内，

，则曲线弧

在

上为凹的（上凹）的。(2)若在

内，，则曲线弧

在

上为凸（下凹）的。

（1）求函数的定义域和二阶导数；曲线的凹凸性

解：

求函数

的凹向区间。例1习题讲解

解：

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