高等数学（工科类）课件全套 蒲冰远 第1-10章 函数、极限与连续 -数理统计基础

新时代高职数学系列教材高等数学（工科类）第一章函数、极限与连续第一节函数开放的心态前情提要

函数是现代数学的基本概念之一，是微积分学的主要研究对象.而极限是研究函数的主要工具，是微积分学中最基本、最重要的概念之一，极限的思想与理论是整个微积分学的基础，极限方法是微积分学的基本分析方法.因此，掌握好极限的思想与方法是学好高等数学的关键.连续是函数的一种重要性态，而连续函数则是一类最基本、最常见的函数.本章将介绍函数、极限与连续等基本概念以及它们的一些性质和应用。开放的心态理解函数的概念及基本性质，掌握函数的表示方法，特别要厘清复合函数的复合结构；理解极限及其简单性质，掌握极限的四则运算法则和两个重要极限公式，并会利用它们求极限；理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小求极限；理解函数连续与间断的概念，了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质，并会应用这些性质。☆☆☆知识目标开放的心态情景与问题引例1我国于1993年10月31日发布的《中华人民共和国个人所得税法》规定，月收入超过800元为应纳税所得额（即个人所得税的起征点）.随着人民生活水平的提高，从2007年1月1日起，个人所得税的起征点由800元上调为1000元，2008年3月1日起，起征点又改为2000元，2011年9月1日起再调整为3500元.2019年1月1日起施行起征点每月5000元.个人所得税税率表如下：开放的心态表1-1个人所得税税率表级数月度应纳税所得额税率（%）1不超过3000元的部分32超过3000元至12000元的部分103超过12000元至25000元的部分204超过25000元至35000元的部分255超过35000元至55000元的部分306超过55000元至80000元的部分357超过80000元的部分45表1-1反映了应纳税个人所得税额随个人收入变化的对应关系.试想某公司员工李先生专项扣除及专项附加扣除后月收入为12000元，那么他每月应纳个人所得税为多少元呢？开放的心态引例2保险丝在电路设备中起过流保护作用，当通过保险丝的电流小于其额定电流时，保险丝不会熔断，只有在超过其额定电流并达到熔断电流时，保险丝才会发热熔断.常见保险丝的熔断电流

I(A)

和其直径

D(mn)之间的关系可见表1-2.表1-2保险丝熔断电流表表1-2反映了熔断电流

I与保险丝直径

D

变化的对应关系.根据该表，当直径

D

取某值时，对应的电流

I值也随之确定.直径

D0.150.250.521.021.511.982.402.953.81熔断电流

I

11.84122030405580开放的心态引例3

如图1-1所示，建筑力学中，直梁发生平面弯曲时，其不同横截面上的内力一般是不同的，即剪力

F

和弯矩

M

是随截面位置而变化的.由于在进行梁的强度计算时，需要知道各横截面上剪力的最大值及它们所在的截面位置，因此就必须知道剪力随截面位置而变化的对应关系，进而得到内力变化规律.图1-1剪力图和弯矩图

上述引例均给出了不同变量间的对应关系，且当一个变量在一定范围内任意取值时，都有唯一的另一个变量的值与之对应，这种对应关系就是函数.1.1.1函数的概念

例1设,

求

解例2绝对值函数的定义域值域图1-2符号函数图形

图1-3取整函数图形拾趣：想喝一杯现榨橙汁儿么？让我们来动手制作吧.把一个橙子放入榨汁机，启动榨汁机，就可以得到一杯橙汁儿；如果想喝苹果汁，那么放入苹果就可以得到苹果汁.我们放入不同的水果，就可以得到不同的果汁.在这个过程中，榨汁机有一个输入，就是水果.榨汁机实现了一个功能，将输入的水果榨成汁儿，输出就是橙汁儿.函数的英文是function,意思就是功能，实现某种功能.数学上的函数实际上就是对输入的数实施一个作用，生成一个新的数.可以将函数看成一个特殊的榨汁机(图1-4),将输入的数进行处理，处理后得到一个新的数.由此可看出，函数有三个要素，一个是输入(对应函数的自变量),一个是榨汁机即对应法则，一个是输出(对应函数值).图1-4

1.1.2反函数

启迪：反函数是函数概念的进一步深化，反映了函数概念中两个变量(自变量和因变量)既相互对立，又相互依存、相互统一的辩证关系.同时，反函数的引入，也是逆向思维的典型案例，有助于思维方式的拓展和创新性人才的培养.

1.1.3

函数的几种特性

图1-5

正切函数

定义域为

,值域为

，是奇函数和周期函数，周期

在区间

上单调增加(如图1-10所示).

图1-10余切函数

的定义域为

,值域为

,是奇函数和周期函数，周期

在区间

上单调减少(如图1-11).正切函数和余切函数满足关系

图1-11

图1-12

图1-14

图1-15

图1-13

图1-16案例4人工智能和机器学习领域，常需进行“分类”学习，将研究对象分为“好”与“坏”、“正品”与“次品”等“正类”与“反类”,并利用阶跃函数对分类输出标记为值“0”或“1”.比如，已在多学科得到交叉应用的神经网络(neuralnetworks)通过模拟生物神经系统对真实世界物体做出交互反应.神经网络中最基本的成分是神经元模型.每个神经元与其他神经元相连，当它“兴奋”时，就会向相连的神经元发送化学物质，从而改变这些神经元内的电位.如果某神经元的电位超过一个“阈值”(threshold),那么它就会被激活即“兴奋”起来，并向其他神经元发送化学物质(如图1-17所示).所有神经元互相影响、互为输入输出、互为因果、互相激活、互相抑制，形成一张网(如图1-18所示).

图1-17神经元模型

图

1-18神经元网络

神经元接收到的输入值与其阈值进行比较，然后通过“激活函数”进行处理并产生神经元的输出.理想的激活函数是如图1-19所示的单位阶跃函数或赫维赛德(Heaviside)函数它将输入值映射为输出值“0”或“1”,其中“1”对应于神经元兴奋，“0”对应于神经元抑制当然，由于阶跃函数具有不连续和不光滑等性质，因此实际中常用对数几率函数(如图1-20

所示).图1-19对数几率函数图1-20阶跃函数第一章函数、极限与连续第二节极限的概念与计算情景与问题

李白的古诗《黄鹤楼送孟浩然之广陵》中“孤帆远影碧空尽”描述了诗人看着朋友的小船渐行渐远，越来越小，最终消失。这里描述的就是船的无限变化过程，也就是本节所学的极限。

引例1中国古代哲学家庄周在《庄子·天下篇》中引述惠施的话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”

图1-21

图1-22Hh

引例43世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术.所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法，刘徽在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”,这可视为中国古代极限概念的佳作.刘徽把圆内接正多边形的周长一直算到了正3072边形，并由此求出圆周率为3.1415和3.1416这两个近似数值.这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确的数据.到了南北朝时期，祖冲之在刘徽的这一基础上继续努力，终于使圆周率精确到了小数点以后的第七位.在西方，这个成绩是由法国数学家韦达于1593年取得，比祖冲之晚了一千一百多年.观察以上各例，可以看出它们有一个共同点，在某变化过程中的两个变量，当其中一个变量向着某个方向在无限趋近时，另一个变量无限趋近某个常数，这就是我们将要介绍的极限知识

图1-23

综合上例及引例2又可得到如下结论：

0.10.30.70.80.90.95…1.11.31.51.11.31.71.81.91.95…2.12.32.5

（为常量),

1.2.3极限的四则运算法则前面求得了一些较简单函数的极限，为了求较复杂函数的极限，下面引入极限的四则运算法则.定理1.2在自变量的同一变化过程中，设，则(1)=；

(2)

=.特别地，=

(C为常数).

，.(4).定理1.2中的法则(1)、(2)均可推广到有限个函数的情形.例如，若

都存在，则有例3求极限.解

…0.95885110.98506740.99833420.99998330.9999998330.99999999833…表

1-5

x1050100100010000100000100000010000000……y2.5937422.6915882.7048142.7169242.7181462.7182682.7182802.718281……x-10-50-100-1000-10000-100000-1000000-10000000……y2.8679722.7459732.7319992.7196422.7184182.7182952.7182832.718281……表

1-6

图

1-24案例4校园贷即校园网络贷款，是指学生向一些网络贷款平台或者借贷人申请借款，该借款方式具有手续简单、门槛低、金额大、无抵押、办理方便快捷等特点.学生只需要向平台或者借款人提供学生证、身份证、家属电话或者常用联系人，在父母完全不知情的情况下，就可以完成借款.某大学大二学生小谢，在某借款平台校园贷借款几千元，因无法按时还款，结果利滚利越来越多，最终欠下20多万元.因校园贷导致辍学、自杀等事件层出不穷.大多数大学生贷款网站还款金额为复利计算，指将本金产生的利息加入到下个阶段的本金当中再计息的方法，就是俗称的利滚利.校园贷在贷款项目的实施中，平台还会扣除20%的咨询费，借款实际到账为8096,但被扣掉的209仍被算为本金，并要计算利息.

从以上分析我们可以看到当年利率一定的情况下，不论计息次数如何增加，最终得到的本息和接近定数.按照平台给出的利率10%计算，每月结息一次，贷款的同学三年后仍需支付实际贷款额近4倍的本息和.大学生没有固定收入，如果不能按时还款，还需偿还相当于贷款本金数倍甚至数十倍的利息或者滞纳金，造成学生和家庭根本无力承担还款重负.贷款放贷人和平台还会采用各种非法手段向学生暴力催缴，诋毁名誉、骚扰恐吓、威逼抵债等等，给借款学生造成极大心理压力或导致家破人亡的悲剧.因此，我们一定要树立正确的价值观，不要攀比，不要盲目消费更不要透支消费，而应量力而行，要学会保护好自己，认清“校园贷”的危害，要意志坚定地远离校园贷第一章函数、极限与连续第三节无穷小与无穷大情景与问题引例1假设小王在银行存入1000元，银行的年利率为

，试分析随着存款时间的增长，本利和将如何变化？分析由条件可得,年后的本利和为:当存款时间无限延长，即当时间时，本利和变为

即当存款时间无限延长时，本利和将无限增大.情景与问题

引例2某地区当年人口数为，记t

时刻的人口为,假设人口增长率为常数r，容易得出，试分析若增长率不变，随着时间的增长，当地人口将如何变化？

分析由条件可得当时间无限延长，即当时间时，人口数

即若增长率不变，当时间无限延长时，当地人口将无限增大.上述引例中，一种变量不断减小并最终趋近于零，而另一变量却不断增加并最终趋于无穷，这两个量分别称为无穷小量与无穷大量.事实上，人们对无穷小量的认识已经经历了几千年漫长而曲折的过程，正如德国数学家希尔伯特所指出的：“无穷!还没有别的问题如此深地打动人们的心灵；也没有别的想法如此有效地激发人的智慧；更没有别的概念比无穷这个概念更需要加以阐明.”,他还指出“数学是处理无穷的科学”.1.3.1无穷小量

定义1.9若在自变量x的某一变化过程中，函数以零为极限，则称函数为该自变量条件下的无穷小量（简称无穷小）.例如，在引例2中，所以该游戏销售量是当时间时的无穷小.再如，因为，所以函数是时的无穷小.

注意:一个变量是否为无穷小量是与自变量的变化趋势密切相关的，例如函数是当时的无穷小，而由于，它便不是当时的无穷小.另外，切不可将无穷小与很小的数（例如千万分之一）混为一谈，因为无穷小是这样的函数，在自变量的变化过程中，函数的绝对值是可以小于任意给定的正数，而很小的数无论在自变量的哪种变化趋势中都不可能趋向于零，因而其绝对值也不可能小于任意给定的正数.定理1.3在自变量ｘ的某种趋向下，函数以

为极限的充要条件是，其中是无穷小量.

该定理说明了无穷小与函数极限的关系.其结论是显然成立的，证明从略.

无穷小还有很好的性质，下面不加证明地给出.定理1.4有限个无穷小之和仍为无穷小.定理1.5有界函数与无穷小之积仍为无穷小.推论1.1常数与无穷小之积仍为无穷小；有限个无穷小之积仍为无穷小.启迪：无限个无穷小的代数和不一定是无穷小，例如

该例寓意着无限个微不足道的努力是可以促进事物的发展变化的，甚至可以导致事物的量变到质变变化.推展来看，我们每个人的力量可能是渺小的，但是每个人都付出一点点力量，无限个我们的力量汇聚起来，便是勇往直前势不可挡的中国力量.例1

求.解因为时，以零为极限，是无穷小量；此时尽管没有极限，但其是有界量，故根据定理1.5可得1.3.2无穷大量定义1.10若在自变量的某一变化过程中，，则称函数为该自变量条件下的无穷大量（简称无穷大）.例如，在引例3中，所以本利和是当时间时的无穷大.同样需要注意的是,一个变量是否为无穷大是与自变量的变化趋势密切相关的，同时也不可将无穷大量同很大的量（如一亿、一万亿等）混为一谈.另外，定义中借用极限来表示无穷大，它并不表示函数存在极限，而恰恰相反，它表示函数在该自变量条件下没有极限.无穷大与无穷小之间有一种简单的关系，即：定理1.6在自变量的同一变化过程中，如果为无穷大，则为无穷小；反之，如果为无穷小，且，则为无穷大.例如，则；再如，则.1.3.3无穷小的比较我们已经知道，两个无穷小的和、差及乘积仍为无穷小.但是，关于两个无穷小的商，却会出现不同的情况.例如，函数、、都是时的无穷小.而，，由此可见，同样是无穷小，但趋于零的速度有“快”有“慢”.那么，用什么办法来比较它们之间的“快”与“慢”呢？下面，我们利用无穷小之比的极限，来进行无穷小之间的比较，并对两个无穷小的关系进行相应定义.定义1.11设及都是在自变量x的同一变化过程中的无穷小.如果，则称是比高阶的无穷小，记作；如果，则称与是同阶无穷小；特别地，当时，则称与是等价无穷小，记作.显然，等价无穷小是同阶无穷小的特殊情形，即的情形.例如，因为，所以当时，是比高阶的无穷小，反过来也称是比

低阶的无穷小；又如，所以当时，与是同阶无穷小；再如，因为，所以当时，与是等价无穷小,即.定理1.7在自变量的同一变化过程中，的充要条件是.证明从略.定理1.8在自变量的同一变化过程中，，，若或，则或.证明

该定理表明，在求两个无穷小之比的极限时，分子及（或）分母可用等价无穷小代换后再求极限.只要用来代替的无穷小选得适当，计算将变得简单易算.关于等价无穷小，有下面两个定理：例2求.解当时，，，所以例3求.解

.下面将常用的等价无穷小代换汇总在一起，以备查用.

案例1某新型产品一上市销量便迅速上升，然后随着时间推移销量便逐渐减少.其销量与时间的关系为，分析该产品长期销售前景.解可通过分析当时的极限来预测长期销售前景.因为所以,随着时间的推移，人们对该产品越来越失去兴趣，转而去购买其他产品.这便揭示了市场经济的一条规律：企业要想长期生存下去，必须不断开发新技术并推出新产品，才能满足人们不断增长的新需求.案例2某大型国有企业选择A、B两个餐厅供应1000名员工的午餐,且由员工自由选择在A厅或B厅进餐.有资料表明，在本星期选A厅的员工有10%会在下星期选B厅；而选B厅的员工有30%会在下星期选A厅，请问,随着时间的推移,在A厅、B厅进餐的员工人数各自稳定在多少人左右，并说明理由.解设第n个星期选A厅的人数为，选B厅的人数为，则，从而，故，故随着时间的推移，在A厅进餐的人数稳定在750人左右，在B厅进餐的人数稳定在250人左右.案例3100个细菌放在培养器中，其中有足够的食物，但空间有限，对空间的竞争使得细菌总数与时间

的关系为：问容器中最多能容下多少细菌?解容器中最多能容下的细菌量即求当时，的极限．即案例4在某一自然环境保护区内放入一群野生动物，总数为20只，若被精心照料，预计野生动物增长规律满足：在t年后动物总数

由以下公式给出

保护区中野生动物数达到80只时，没有精心的照料，野生动物群也将会进入正常的生长状态，即其群体增长仍然符合上式中的增长规律.试问：(1)需要精心照料的期限为多少年？(2)在这一自然保护区中，最多能供养多少只野生动物？解注意到时，由公式也可得，可见公式中的是从放入动物后即开始记时的.(1)由于时，需要精心照料，令，则.于是可解出：.此即说明，精心照料的期限大约为9年半.(2)随着时间的延续，由于自然环境保护区内的各种资源限制，这一动物群不可能无限增大，它会有某一饱和状态.在这一自然保护区中，最多能供养的野生动物数即求极限.即在这一自然保护区中，最多能供养220只野生动物.第一章函数、极限与连续第四节函数的连续性情景与问题引例1一天中气温的变化是逐渐的,当时间改变很小时,气温的变化也很小；当时间改变量趋近于零时,气温的变化量也会趋近于零.分析这反映了气温连续变化的特征.引例2生长中动物的重量随着时间的变化而连续变化．当时间的变化很微小时，动物重量的变化也很微小.分析若令表示时间的变化量，表示对应重量的变化量，则当时.

情景与问题引例3观察图1-25.分析由图1-24可以看出，函数是连续变化的，它的特点是当时

.引例4导线中的电流通常是连续变化的，但当电流增加到一定的程度，会烧断保险丝，电流就突然变为0.分析

即这时连续性被破坏而出现间断．图1-25情景与问题引例5观察图1-26中的四个函数曲线.

分析由图可知，这四条函数曲线在处都断开了.而且不难发现，这些函数曲线断开的原因有：(1)函数在点无定义，如图1-26(a)(c)所示；(2)函数在时极限不存在，如图1-26(b)和(c)所示；(3)，如图1-26(d)所示.

从上面的引例可以看出，有些函数是连续变化的，有些函数在某些点处却断开了.这就是函数的连续性问题.其实，在自然界中有许多现象，如植物的生长、河水的流动、受热后物体的膨胀等等，都是连续变化着的.那么，怎么准确定义函数的连续，又如何具体去判断函数是不是连续的呢？图1-26(a)(b)(c)(d)1.4.1函数的增量定义1.12设变量从初值变化到终值,则终值与初值之差叫做变量的增量（改变量）,记为,即.一般地,增量可以为正,也可以为负,还可以为零.定义1.13对于函数,设自变量在点的增量为，即.称为函数在点的增量.例1设某产品的总产量与原材料的使用量有函数关系.日常情况下,每天使用原材料20个单位,这时,若再增加1个单位的用量,产量的增量是多少?解原材料的增量,产量的增量

1.4.2函数连续的定义定义1.14设函数

在点

的某一邻域内有定义，如果

那么就称函数在点连续.

在定义1.14中，设，则时.又由于

于是，

就相当于.因此,函数在点连续的定义可等价表述为：定义1.15

设函数在点的某一邻域内有定义，如果

则称函数在点处连续，并称为

的连续点．由定义1.15可知：函数在处连续，必须满足下列三个条件：(1)函数在点处有定义，即存在函数值；(2)存在，即；(3)，即极限值等于函数值.例如，引例1、引例2、引例3都是函数连续的例子.例2设函数

讨论在处的连续性．解当时，且，，则

不存在，所以在处不连续．当时，，且,则有.所以，函数在处连续．下面引入左连续及右连续的概念.定义1.16设函数在点的某一邻域内有定义.如果函数在点的左极限存在且等于，即

则称函数在点左连续.如果函数在点的右极限存在且等于，即则称函数在点右连续.由此可得结论：函数在点连续的充分必要条件是函数在点既左连续，又右连续，即例3设函数，讨论在

处的连续性．解这是分段函数，是其分段点．因，又，

所以函数在处右连续，但不左连续，从而它在处不连续．定义1.17如果函数在区间内每一点都连续，那么称函数在开区间内连续，区间叫做函数的连续区间.如果函数在开区间内连续，且在点右连续，在点左连续，那么称在闭区间上连续.此时也称区间是函数的连续闭区间.1.4.3函数的间断定义1.18若函数

在点

处不连续，则称函数在点间断，并称点

为函数

的间断点．例如，引例4及引例5就是函数间断的例子.根据定义1.18可知，函数在点处间断时必满足下列情形之一：(1)函数在处没有定义；(2)虽然

在处有定义,但极限不存在；(3)函数

在处有定义,也存在,但

．通常地，我们称左、右极限都存在的间断点为第一类间断点，其他的间断点称为第二类间断点.(1)当

与

都存在，但不相等时，称

为

的跳跃间断点；(2)当

存在，但不等于或在

处没有定义，称为

可去间断点．因此，在引例5中，图1-20中（a）和（d）中的点c

为可去间断点，（b）中的点c

为跳跃间断点，（c）中的点c

为第二类间断点.拾趣：诸如时间流逝、植物高度增长等日常接触到的事物变化现象，让人们直觉认为所有物体在空间运动中的数量描述均是连续的，甚至到19世纪末，人类几乎没有去寻找其他类型的运动形式.直到20世纪20年代，物理学家才发现直觉上认为是连续运动的光，实际上是由离散的光粒子组成且受热的原子是以离散的频率发射光线的，因此光既有波动性也有粒子性（光的“波粒二象性”），但它不是连续的.之后由于诸如此类的发现及在统计学、计算机科学和数学建模等领域间断函数的大量应用，连续性问题就成为在理论上和实践中都有重大意义的问题之一.对第一类间断点又可分为：1.4.4连续函数的运算与初等函数的连续性根据连续函数的定义和极限的运算法则，可以得到下面的性质：连续函数的四则运算法则如果

和

都在点连续，那么它们的和、差、积、商（分母不为0）都在点连续.复合函数的连续性如果函数在点连续，且，而函数在点连续，那么复合函数

在点连续.

可以证明：基本初等函数在其定义域内都是连续的.又由初等函数是由基本初等函数经过有限次的四则运算或复合而成的，可以得到关于初等函数连续性的重要定理：

所有初等函数在其定义区间上都是连续的.例4

求函数的连续区间.解因为函数是初等函数，所以根据上面的结论，函数的连续区间就是它的定义区间.故所求函数的连续区间为.注意:

因为分段函数一般不是初等函数，所以上述结论对分段函数一般不成立.在讨论分段函数的连续性时，要根据连续的定义讨论分段点的连续性.

如果是初等函数，

是其定义区间内的点，那么在连续.于是，根据连续性的定义，有

这就是说，初等函数对定义域内的点求极限，就是求它在此点的函数值.例5求.

解

.1.4.5闭区间上连续函数的性质闭区间上的连续函数具有一些重要性质，在微积分的理论和实际应用中经常使用，现列举如下：定理1.9(最大值与最小值定理）如果在闭区间上连续，那么在上必有最大值和最小值.如图1-27，函数在闭区间上连续，且在点处取得最小值，在点处取得最大值.又如，函数

在闭区间上连续，它在该区间上有最大值1(当)和最小值0(当或).

注意:定理中条件“闭区间”和“连续”很重要,缺一不可．图1-27例如，函数在开区间内没有最大值和最小值，如图1-28所示．

又如，函数

在闭区间

上不连续，不存在最大值和最小值，如图1-29所示．定理1.10(介值定理)如果函数

在闭区间上连续，且其最大值和最小值分别为

和

，那么对介于

与

之间的任何实数，至少存在一点，使.也就是说(如图1-30所示)，设函数在

上连续，其最大值为，最小值为

，那么，任意的，则至少存在一点，使得.图1-28图1-29图1-30

推论1.2(零点定理)设函数在闭区间上连续，且

与异号，则至少存在一点，使得(如图1-31)．例6证明方程在区间内至少有一个根.证设

.因为是初等函数，且在上有定义，所以在闭区间上连续.又因为，.所以，根据零点定理，至少存在一点，使即方程在区间内至少有一个根.图1-31应用与实践案例1

分布于y

轴上一点电荷的电势满足：其中和都是正的常数，问在处连续吗？分析

，由于当时，是初等函数，所以连续，故

所以

.即分布于y

轴上一点电荷的电势在处连续．案例2设冰从-400升到1000所需要的热量(单位：J)为试问函数在处是否连续？若不连续，指出其间断点的类型，并解释其实际意义．解

，所以不存在，因此函数

在处不连续．由于函数在的左、右极限都存在但不相等，所以为函数的跳跃间断点．这说明冰化成水时需要的热量会突然增加．案例3王华到家附近的一座山上观看日出，早上8时从山下家里出发，沿一条路径上山，下午5时到达山顶并留宿于山顶一宾馆.次日观日出后，于早上8时沿同一路径下山，下午5时回到山下家里.试用零点定理分析：王华必在两天内的同一时刻经过同一地点.解以时间

为横坐标，以沿上山路线从山下家里到山顶的路程

为纵坐标，设第一天早上8时的路程为0，山下到山顶的总路程为

.第一天的行程设为，则，；第二天的行程设为，则

，

，又设.

由于、在区间

上连续，所以在区间上连续，又

，．所以，由零点定理知，在区间内至少存在一点

使即．

这说明在早上8时至下午5时之间存在某一时刻使得路程相等，即王华一定会在两天行程中的同一时刻经过路途中的同一地点．新时代高职数学系列教材高等数学（工科类）引例1：高铁复兴号高速平稳运行探究中国如今拥有世界上首条高寒高铁（哈大高铁），世界上单条运营里程最长的高铁（京广高铁），世界上一次性建成里程最长的高铁（兰新高铁）.截至2021年底，中国高速铁路运营总里程达4万公里，已能绕地球赤道一周，居世界第一.列车最高运营速度350千米/小时，居全球首位.高铁已经成为中国科技创新的标志性成果，也是中国向世界递出的一张靓丽的名片（见图2-1）.在乘坐高速铁路时你是否注意到，高铁列车的所有车门处都有显示列车速度的显示屏，乘客可以通过显示器了解高速铁路的当前运行速度，即瞬时速度(见图2-2）.那么，如何从数学的角度来刻画这种随时间变化的“瞬时速度”呢？为直观理解列车运行中的瞬时速度，我们利用数学模型对问题进行简要分析.情景与问题假设物体前进中的运动方程为，其中(米)表示时刻(秒)时物体的位移.通过计算得出在附近，的取值情况，列表如下：时刻t344.54.94.954.994.9995S(t)276491.125117.649121.287124.252124.925125ΔS(t)-98-61-33.875-7.351-3.713-0.746-0.07500Δt-2-1-0.5-0.1-0.05-0.01-0.0010ΔS/Δt496167.7573.5174.25374.85074.485/时刻t55.0015.015.055.15.567S(t)125125.075125.752128.788132.651166.375216343ΔS(t)00.07500.7523.7887.65141.37591218Δt00.0010.010.050.10.512ΔS/Δt/75.01575.15075.75376.5182.7591109从表2-1观察发现，随着趋近于0,也随之趋近于0,但他们的比值却越来越接近于常数75，这个数值就是秒时，物体运动的瞬时速度.值得注意的是，并不是时间增加的量，而是时间的改变量，故的值应是在的两侧. 将上述过程用极限表示，这一数学结构就是我们要探究的“导数”，记为或，即引例2事实上，高铁列车不仅快，它还具有卓越的稳定性.乘客在乘坐的过程中，不眺望车窗外几乎感觉不到列车在急速前进.列车在运行中要保持平稳，转弯处列车应沿着轨道的切线方向前进.数学上切线的方向与切线的斜率密切相关，那么该如何表示平面曲线上过一点的切线斜率呢？分析平面上圆的切线可定义为“与曲线只有一个交点的直线”，但是对于其它曲线以此作为切线的定义就不一定合适了.一般平面曲线切线的定义为，设有曲线

及

上的一点(如图2-3所示)，在点

外另取

上一点，作割线.当点

沿曲线

趋于点

时，同时割线

绕点

旋转而趋于极限位置

，直线就称为曲线

在点

处的切线.图2-3设为割线

的倾角，于是割线

的斜率为.当点

沿曲线

趋于点

时，.如果当时，上式的极限存在(设为)，即,则就是切线的斜率.这里，其中是切线

的倾角.上述2个引例的实际意义完全不同，但从解决问题的数学模型来看，均可归结为类似的极限表达式，即函数值的增量与自变量增量商的极限.事实上，还有很多实际问题如物体的运动速度、电流强度、线密度、比热、化学反应速度及生物繁殖率等，在数学上都可归结为函数的变化率问题，即导数问题.图2-3设为割线

的倾角，于是割线

的斜率为.当点

沿曲线

趋于点

时，.如果当时，上式的极限存在(设为)，即,则就是切线的斜率.这里，其中是切线

的倾角.上述2个引例的实际意义完全不同，但从解决问题的数学模型来看，均可归结为类似的极限表达式，即函数值的增量与自变量增量商的极限.事实上，还有很多实际问题如物体的运动速度、电流强度、线密度、比热、化学反应速度及生物繁殖率等，在数学上都可归结为函数的变化率问题，即导数问题.图2-32.1.1导数的定义定义2.1设函数在点的某个邻域内有定义,当自变量在点处取得增量(仍在该领域内)时,相应的函数取得增量.如果极限存在，则称函数在点处可导，并称此极限值为函数在点处的导数，记为

,,，或.如果极限不存在,即称函数在点处不可导.注意：定义中式子表示当自变量发生一个单位的改变量时，函数相应改变了个单位.所以函数在某点处的导数值也称作函数对自变量的变化率，它反映函数在该点处的变化快慢，这便是导数的本质.例1求函数在处的导数.解当由

变到时，相应增量为

所以,..例2已知，试计算极限：解已知，由导数定义可得,也有

定义2.2如果函数在开区间内的每一点处都可导,就称函数在开区间可导.此时，对于任一，都对应着的一个确定的导数值.这样就构成了一个新的函数，这个函数叫做原来函数的导函数，简称为导数，记作

，，，或.显然，导数的求解式为.需注意的是该式中虽然可以取区间的任意值，但取极限的过程依赖于，即是常数，是变量.例3求函数(为常数)的导数.解

，即.解=，，即.所以.用类似的方法，可求得：.例4设函数，求及.例5设函数，求.解，故注意到当时，，则，即.例6设函数，求.解，则注意到当时，，有，故,即.

2.1.2可导的充要条件定义2.3如果极限值存在，则称其值为函数在点处的左导数，记为，即

.如果极限值存在，则称其值为函数在点处的右导数，记为，即

.由极限存在的充要条件知，存在的充分必要条件是及都存在且相等，故有以下结论：定理2.1函数

在点

处可导的充分必要条件是左导数

和右导数

都存在且相等.即

如果函数

在开区间

内可导

且左端点

的右导数

和右端点

的左导数

都存在，称

在闭区间

上可导注意：定理2.1常常用来判断分段函数在分段点处是否可导.例7求函数在处的导数.解当时，，故，当时，，故，由，得.2.1.3导数的几何意义由引例2关于切线斜率问题的讨论以及导数的定义可知：函数在点处的导数在几何上表示曲线在点处的切线斜率，即，其中是切线的倾角(如图2-4所示).需特别指出的是，如果在点处的导数为无穷，此时曲线的切线是过点且垂直于轴的直线.图2-4由导数的几何意义和平面直线的点斜式方程，可得曲线在点处的切线方程为:

过切点且与切线垂直的直线叫做曲线在点处的法线.点处的法线方程为：例8求双曲线在点处的切线方程和法线方程.解因为，，故所求切线方程

即,对应法线方程为，即.2.1.4可导与连续的关系

定理2.2可导函数一定是连续函数.证明从略.例9讨论函数在处的连续性与可导性.解：由图2-5可知，函数在处是连续的，因为，，故

.所以函数在处是连续的.又因为

，显然

，故函数在处不可导.图2-5例10讨论在处的连续性与可导性.解由知在处连续.

但当时，在和之间振荡变化，故极限不存在，所以在处不可导.注意：上述例子说明，函数在某点连续是函数在该点处可导的必要条件而非充分条件.

启迪：在数学发展历史上，数学家们一直猜测：连续函数在其定义区间中，至多除去可列个点外都是可导的.直到被誉为“现代分析之父”的德国数学家魏尔斯特拉斯，于1872年利用函数项级数构造出了一个处处连续而处处不可导的函数，才为上述猜测做了一个否定的终结.这一成果随即引起数学界和思想界的极大震动，并使得经典数学陷入又一次危机.危机的产生促使数学家们去思索新的方法对这类函数进行研究，从而促成了一门新的学科“分形几何”的产生.所谓“分形”，就是指几何上的一种“形”，它的局部与整体按某种方式具有“自相似性”（如图2-6）.自然界存在着许多不规则不光滑的几何图形，它们都具有“自相似性”.如云彩的边界、山峰的轮廓、奇形怪状的海岸线、蜿蜒曲折的河流、材料的无规则裂缝、视网膜血管网等等.因此“分形几何”自产生起，就得到了数学家们普遍的关注，很快就发展为一门有着广泛应用前景的新的学科.“分形几何”的产生启示我们：科学研究必须一丝不苟、严谨认真，来不得半点马虎；要正确认识挫折，培养面对困难的勇气和坚强的意志，坚信“危中有机”.图2-6雪花的分形例11设函数，问取何值时，为可导函数？解只须讨论在处可导时的取值情况.在处，因为，，要使在处可导，必须，即，由得.所以，当时为可导函数.应用与实践导数是微积分的核心概念之一，导数是研究函数增减变化快慢、最大（小）等问题最一般最有效的工具.“导数”与“变化率”有密切关系.通常变化率有两种，其中“平均变化率”是指，表示某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度，平均变化率越大，表示函数的平均变化越快.当时则可以得到“瞬时变化率”，瞬时变化率其实就是导数.它表示的是函数值在某点处的变化趋势，瞬时变化率越大，该点处切线的斜率也就越大.案例1设某商品的总收益是销售量的函数.求当销售量为50个单位时的总收益变化率,并解释其经济意义.解根据导数的定义，该问题即是求函数在处的导数.因为，所以.这表示销售量为50个单位时,总收益的变化率为60.其经济意义为：在销售量为50个单位时，如果再多销售一个单位,总收益将增加60个单位.案例2具有PN节的半导体器件，其电流微变和引起这个变化的电压微变之比称为低频跨导．一种PN节的半导体器件，其转移特性曲线方程为，求电压V时的低频跨导．解低频跨导在V时的变化率为

.

导数的运算

情景与问题引例1电路中某点处的电流是通过该点处的电量关于时间的瞬时变化率，如果某一电路中的电量为,求电流函数.分析电流函数即电量函数的导函数，即需求解.但是，根据导函数的定义进行求解就显得比较复杂了.设想的求解能否在和的基础上进行呢？如果能，将极大简化求解难度.引例2锌和稀硫酸发生化学反应产生硫酸锌和氢气，化学方程式如下：

.在实验中可以通过测定反应产生的体积来观察化学反应速率.下图为经过测定的的体积随时间变化的曲线（如图2-7）：通过建立数学模型，该体积测定曲线符合函数

.那么如何算出该实验的瞬时化学反应速率呢？分析瞬时化学反应速率即体积测定函数的导函数，即需求解.但是，根据导函数的定义进行求解就显得比较复杂了.该函数的导数能否拆分求解呢？如果能，将极大简化求解难度.本节将介绍一些基本的求导公式和求导法则，利用这些知识可以方便地求出一些复杂初等函数的导数.图2-7的体积随时间变化曲线图抽象推理2.2.1基本求导公式基本初等函数的导数公式(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)2.2.2导数的四则运算法则

定理2.3设函数及在点处可导，则与的和、差、积、商（分母不为零）也可导，且(1)；(2)；(3).特别地，当时，.2.2.2导数的四则运算法则

证设，则由导数的定义有

下面以(2)为例加以证明，其他两条性质类似可证.即.特别地，当(是常数)时，.注意：积的求导法则可以推广到任意有限个函数之积的情形.例如

.例1求的导数.解

.例2求的导数.解

.例3求的导数.解

同理可得：

.例4求的导数.解

.同理可得：.显然，引例1中的电流函数，为.引例2中化学实验的瞬时化学反应速率为

2.2.3反函数的求导法则

定理2.4如果单调连续函数在点处可导，且，那么它的反函数在对应的点处可导，且有或.证明从略.例5求的导数.解是的反函数，且在内单调、可导，又，所以，即.特别地，有.例6求的导数.解由于是在区间内的反函数，而在该区间单调、可导，且，所以，即.类似地，有

.解

由于是在内的反函数，而在该区间内单调、可导，且，所以

即.类似地，有.例7求的导数.2