第五章-代数系统

第五章代数系统

AlgebraSystem5.1代数运算及性质5.2半群5.3群5.4同态与同构5.5陪集与拉格朗日定理5.6环和域12/1/20241chapter5在计算机科学里，很多的知识和代数结构的理论有关系，比如：加法器、纠正码、形式语言和推理机等等，因此，学好该部分内容，为学习其他课程打下了基础。通过本章学习，同学们应该掌握以下内容：二元运算的相关概念和性质、半群和独异点的概念及其判定、群和子群的概念及其性质、阿贝尔群和循环群的概念和性质、置换群和陪集的概念相关定理、同态与同构的概念及其判定、环和域相关概念及性质。本章学习目标12/1/20242chapter55.1代数运算及其性质

二元运算是最常见的代数运算，例如：实数的加法、减法、乘法，集合的交、并等运算都是二元运算。定义5-1.1设A为任意非空集合，函数f：A×A→A称为集合A上的一个二元运算。【例1】f:N×N→N,f(<x,y>)=x+y

f:R×R→R,f(<x,y>)=x×y

f:N×N→N,f(<x,y>)=x-y

f:R×R→R,f(<x,y>)=x/y是N集上的二元运算是R集上的二元运算不是N集上的二元运算不是R集上的二元运算5.1.1二元运算

12/1/20243chapter55.1代数运算及其性质

判断一种运算是否是A上的二元运算，最根本是运算关于集合是封闭的。推广：设A为任意非空集合，函数f：An→A称为集合A上的一个n元运算。5.1.1二元运算

12/1/20244chapter55.1代数运算及其性质

设“⊙”是非空集合A上的二元运算，1、结合律

a,b,c∈A，(a⊙b)⊙c＝a⊙(b⊙c)2、交换律

a,b∈A，a⊙b＝b⊙a3、单位元（幺元）若

el∈A，对

a∈A，有el⊙a＝a，则称el为左单位元。若

er∈A，对

a∈A，有a⊙er＝a，则称er为右单位元。5.1.2二元运算的性质

12/1/20245chapter5定理5-1.1若el和er分别是⊙的左、右单位元，则el=er。证明：er=el⊙er＝el

这时，令e＝el＝er为运算⊙的单位元。【例2】N集上的加法的单位元是0。

R集上的乘法的单位元是1。5.1代数运算及其性质

5.1.2二元运算的性质

12/1/20246chapter54、零元素若

θl∈A，对

a∈A，有θl⊙a=θl，则称θl为左零元。若

θr∈A，对

a∈A，有a⊙θr=θr，则称θr为右零元。定理5-1.2若θl和θr分别是⊙的左、右零元，则θl=θr

。证明：θl=θl⊙θr=θr

这时，令θ=θl=θr为运算⊙的零元素。5.1代数运算及其性质

5.1.2二元运算的性质

12/1/20247chapter5【例3】N集上的加法的零元素无。

R集上的乘法的零元素是0。【例4】A是非空集，幂集ρ(A)上的两运算∪和∩，∪的零元素为A，∩的零元素为

。∪的单位元为

，∩的零元素为A。5、等幂元若a

∈A，a⊙a＝a

，则称a为等幂元。若

a∈A，a⊙a＝a

，则称运算⊙是等幂的。5.1代数运算及其性质

5.1.2二元运算的性质

12/1/20248chapter56、逆元素设e为运算的单位元，e∈A，若对a∈A，

al∈A，使al⊙a

＝e，

(

ar∈A，使a⊙ar

＝e，)则称al为a的左逆元，也称a是左可逆的。(则称ar为a的右逆元，也称a是右可逆的。)5.1代数运算及其性质

5.1.2二元运算的性质

12/1/20249chapter5定理5-1.3若运算⊙可结合的，e∈A为⊙的幺元，如果a∈A是左右可逆的，则al=ar

。这时，令a-1=al＝ar,则a-1为a的逆元素，也称a为可逆的。证明：ar=e⊙ar=(al⊙a)⊙ar=al⊙(a⊙ar)=al⊙e=al【例5】N集上的加法的单位元是0，只有0有逆元素，0-1=0。R集上的乘法的单位元是1，0无逆元。5.1代数运算及其性质

5.1.2二元运算的性质

12/1/202410chapter5定理5-1.4若运算⊙可结合的，e∈A为⊙的幺元，若a∈A有逆元素，则必唯一。证明：设a1，a2都是a的逆元素则a2=e⊙a2=(al⊙a)⊙a2=a1⊙(a⊙a2)=al⊙e=al【例6】设A={x|x=2n,n∈N},问乘法运算是否封闭？对加法运算呢？

解:对于任意的2r,2s∈A，r,s∈N,因为2r·2s=2r+s∈A所以乘法运算是封闭的。而对于加法运算是不封闭的，因为至少有2+22=6

A。5.1代数运算及其性质

5.1.2二元运算的性质

12/1/202411chapter5【例7】设A是一个非空集合，★是A上的二元运算，对于任意a,b∈A,有a★b=b,证明★是可结合运算。证明：因为对于任意的a,b,c∈A，(a★b)★c=b★c=c

而a★(b★c)=a★c=c

所以（a★b）★c=a★(b★c)【例8】设Q是有理数集合，Δ是Q上的二元运算，对任意的a,b∈Q,aΔb=a+b-a·b,问运算Δ是否可交换。解：因为aΔb=a+b-a·b=b+a-b·a=bΔa

所以运算Δ是可交换的。5.1代数运算及其性质

5.1.2二元运算的性质

12/1/202412chapter5【例9】设集合S={浅色，深色}，定义在S上的一个二元运算*如表所示试指出零元和幺元。解：深色是S中关于运算*的零元，浅色是S中关于运算*的幺元。*浅色深色浅色深色浅色深色深色深色5.1代数运算及其性质

5.1.2二元运算的性质

12/1/202413chapter5【例10】在整数集合I上，定义二元运算★为a★b=a+b-2试问：集合I和运算★是否构成代数系统?运算★在I上可交换吗？可结合吗？有无单位元？是否所有的元素都有逆元？若有，逆元是什么？解：

a,b,c∈I，a★b＝a＋b－2∈I，即运算★在I上封闭，即<I,★>是代数系统。∵a★b＝a＋b－2＝b＋a－2＝b★a，∴★在I上可交换。∵(a★b)★c＝(a+b-2)★c＝(a+b-2)+c-2=a+b+c-4

a★(b★c)＝a★(b+c-2)＝a+(b+c-2)-2＝a+b+c-4∴(a★b)★c＝a★(b★c)，即运算★在I上可结合。5.1代数运算及其性质

5.1.2二元运算的性质

若e是I上关于★的单位元，则

a∈I，a★e=e★a=a，即a+e-2=a，得e=2，而2∈I，∴★在I中有单位元2。

a∈I，有4-a∈I，而a★(4-a)=a+(4-a)-2＝(4-a)+a-2=(4-a)★a=2即I中任一元素a都有逆元4-a。12/1/202414chapter5【例11】设集合S={α，β，γ，δ}，在S上定义的两个二元运算*和★如表示。试指出左幺元或右幺元。*αβγδ

αβγδ

Δαβγαβγδαβγγαβγδ

★

αβγδ

αβγδ

αβδγβαγδγδαβδδβγ

解：由表可知β，δ都是S中关于运算*的左幺元，而α是S中关于运算★的右幺元。5.1代数运算及其性质

5.1.2二元运算的性质

12/1/202415chapter5【例12】设集合S={α,β,γ,δ,ε}，定义在S上的一个二元运算*如表所示。试指出代数系统<S,*>中各个元素的左、右逆元情况。解:α是幺元；β的左逆元和右逆元都是γ；即β和γ互为逆元；δ的左逆元是γ而右逆元是β；β有两个左逆元γ和δ；ε的右逆元是γ，但ε没有左逆元。*αβγδεαβγδεαβγδεβδαγδγαβαβδαγδγεδαγε5.1代数运算及其性质

5.1.2二元运算的性质

12/1/202416chapter5【例13】设Q是有理数集合，作笛卡尔积S=Q×Q，*是S上的二元运算。对于<a，b>*<x，y>=<ax，b+y>，求*运算的幺元和逆元。解：根据上面的运算规则<a，b>*<x，y>=<ax，b+y>可知，对

<x，y>∈S，有<1，0>*<x，y>=<1*x，0+y>=<x，y>

和<x，y>*<1，0>=<x*1，y+0>=<x，y>因此，元素<1，0>为该运算的幺元。5.1代数运算及其性质

5.1.2二元运算的性质

对

<x，y>∈S，当x≠0时<1/x，-y>*<x，y>=<(1/x)*x，-y+y>=<1，0><x，y>*<1/x，-y>=<x*(1/x)，y+(-y)>=<1，0>故，当x≠0时，<1/x，-y>为元素<x，y>的逆元，当x=0时，任何元素和0相乘都等于0，因此，没有逆元。12/1/202417chapter5定义5-1.2设A为任意非空集合，A上的K个代数运算函数f1，f2，…，fk，则称<A，f1，f2，…，fk>为一个代数系统。【例14】<N，+>，<R，+，×>，<ρ(A)，∪，∩，－>都是代数系统。下表给出了一些代数系统的例子，5.1代数运算及其性质

5.1.3代数系统

12/1/202418chapter5<I,·><R,+><ρ(S),⋃><ρ(s),∩>集合运算封闭性交换性结合律I为整数集合·为普通乘法x·y∈Ix·y=y·x（x·y）·z=x·(y·z)R为实数集合+为普通加法x+y∈Rx+y=y+x(x+y)+z=x+(y+z)ρ(S)是S的幂集∪为集合的“并”A∪B∈ρ(S)A∪B=B∪A（A∪B）∪C=A∪（B∪C）ρ(S)是S的幂集∩为集合的“交”A∩B∈ρ(S)A∩B=B∩A（A∩B）∩C=A∩（B∩C）5.1代数运算及其性质

5.1.3代数系统

12/1/202419chapter5可以指出：<A,*>是一个代数系统，*是A上的一个二元运算，那么该运算的有些性质可以从运算表中直接看出。那就是：(1)运算*具有封闭性，当且仅当运算表中的每个元素都属于A。(2)运算*具有可交换性，当且仅当运算表关于主对角线对称。(3)运算*具有等幂性，当且仅当运算表的主对角线上的每一元素与它所在行（列）的表头元素相同。5.1代数运算及其性质

5.1.3代数系统

12/1/202420chapter5(4)A关于*有零元，当且仅当该元素所对应的行和列中元素都与该元素相同。

(5)A关于*有幺元，当且仅当该元素所对应的行和列依次与运算表的行和列相一致。(6)设A中有幺元，a和b互逆，当且仅当位于a所在行，b所在列的元素以及其b所在行，a所在列的元素都是幺元。5.1代数运算及其性质

5.1.3代数系统

12/1/202421chapter5【例15】试构造一个代数系统，使得其中只有一个元素具有逆元。解：设m,n∈I,T={x|x∈I,m≤x≤n},那么，代数系统<T,max>中幺元为m,且只有m有逆元，因为m=max(m,m)。

【例16】对于代数系统<R,·>，这里B是实数的全体，·是普通的乘法运算，是否每个元素都有逆元。解：该代数系统中的幺元是1，除了零元素0外，所有的元素都有逆元。5.1代数运算及其性质

5.1.3代数系统

12/1/202422chapter55.2半群

定义5-2.1设<A，*>是一个代数系统，如果满足：(1)运算*是封闭的。(2)运算*是可结合的。则称代数系统<A，*>为半群。再如果<A，*>有幺元，则称为含幺半群（独异点）。若半群<A，*>中的运算*满足交换性，则称为可交换半群。5.2.1半群12/1/202423chapter55.2半群

【例1】(1)<Z+，+>是一个可交换半群。(2)<N，+>，<Z，+>，<Q，+>，<R，+>都是含幺可交换半群(幺元是0)。(3)<3，+3>，3={0,1,2}，+3为模3加法，是含幺可交换半群（幺元为0）(4)<Mn(R),·>是含幺半群，其中·表示矩阵乘法。幺元是n阶单位矩阵E。5.2.1半群12/1/202424chapter5【例2】对于给定某集合A，在该集合上定义运算△为：x△y=max（x，y），验证<A，△>是否构成半群。解：对于

x，y，z∈A，（x△y）△z=max（max（x，y），z）x△（y△z）=max（x，max（y，z））由于两个式子最后的结果都是x，y，z中的最大数，因此，（x△y）△z=x△（y△z）所以，满足封闭性和可结合性。即<A，△>是半群。5.2半群

5.2.1半群12/1/202425chapter5定义5-2.2设<A，*>是一个半群，若

a∈A，a=cr，c∈A，r∈N，则称<A，*>为一个循环半群，如果<A，*>还有幺元e＝c0，则称<A，*>为一个循环含幺半群。称c为生成元。

<n，+n>，是一个循环含幺半群，如果c∈A与n互质，则c为生成元，如果n为质数，则除了幺元外的其他元素都是生成元。5.2半群

5.2.2循环半群12/1/202426chapter5【例3】(1)<4，+4>，4={0,1,2,3}，+4为模4加法是一个含幺可交换半群（幺元为0），生成元为1和3。(2)<N,+>

n∈N，n=1+1+……＋1＝1n，生成元为1。5.2半群

5.2.2循环半群12/1/202427chapter5定义5-2.3设<A，*>是一个半群，B

A且*在B上是封闭的，那么<B，*>也是一个半群。通常称<B，*>是半群<A，*>的子半群。证明：若(A，*)是半群，则*在A上可结合，故在A的子集B上也可结合。而*在B上封闭，所以(B，*)是半群。5.2半群

5.2.3子半群12/1/202428chapter5定理5-2.1设<A，*>是一个独异点，则在关于运算*的运算表中任何两行或两列都是不相同的。证明：设A中关于运算*的幺元是e。∵对

a,b∈A且a≠b，总有

e*a=a≠b=e*b和a*e=a≠b=b*e∴在*的运算表中a行与b行，a列与b列都不可能是相同的。5.2半群

5.2.3子半群12/1/202429chapter5定理5-2.2设<A，*>是一个半群，如果A是一个有限集，则必有a∈A，使得a*a＝a。证明：

b∈A，由<A,*>是半群，*的封闭性可知

b2=b*b∈A，b3=b2*b∈A，……∵A是有限集，∴

j>i，使得bj=bi，令p＝j－i

可得bj

=bp

*bi∴bq

=bp

*bq

q≥i∵p≥1,∴可以找到k≥1,使得kp≥i

5.2半群

5.2.3子半群12/1/202430chapter5对于bkp∈A,就有

bkp=bp*bkp=bp*(bp*bkp)=b2p*bkp=b2p*(bp*bkp)=…=bkp*bkp这就证明了在A中存在元素a=bkp,使得a*a=a5.2半群

5.2.3子半群12/1/202431chapter5定理5-2.3设<A,*>是独异点，对于任意a,b∈A,且a,b均有逆元，则(1)(a-1)-1=a(2)

a*b有逆元，且（a*b）-1=b-1*a-1证明:(1)因为a-1是a的逆元，即

a*a-1=a-1*a=e

所以(a-1)-1=a

5.2半群

5.2.3子半群(2)因为(a*b)*(b-1*a-1)=a*(b*b-1)*a-1=a*e*a-1=a*a-1=e

同理可证（b-1*a-1）*(a*b)=e

所以（a*b）-1=b-1*a-112/1/202432chapter55.3群

定义5-3.1设<A，*>是一个代数系统，如果满足：(1)运算*是封闭的。(2)运算*是可结合的。(3)有幺元e。(4)

a∈A，

a-1∈A，a-1*a=a*a-1

=e。则称代数系统<A，*>为群。到此我们有：{群}

{独异点}

{半群}5.3.1群12/1/202433chapter55.3群

【例1】<Z，+>是群。

<R，+>也是群。

<R，×>不是群。因为0∈R无逆元。【例2】G={e,a,b,c}，G上的运算如下：5.3.1群eabc

aecbbcaecbeaeabc

e

abc*封闭性结合性幺元：e

x∈G，x-1=x是一个群。12/1/202434chapter5定理5-3.1群中不可能有零元。证明：当群的阶为1时，它的唯一元素视为幺元。设|G|>1且群<G,*>有零元θ，则对

x∈G，都有x*θ＝θ*x＝θ≠e∴零元θ无逆元，这与<G,*>是群相矛盾。5.3群

5.3.2群的性质12/1/202435chapter5定理5-3.2（逆元唯一性）设<G，*>是一个群，对于a，b∈G，必存在唯一的x∈G，使得a*x=b。证明：令a的逆元为a-1

，令x＝a-1

*b

则a*x=a*(a-1

*b)=(a*a-1

)*b=e*b=b

若有另一解x1，满足a*x1=b，则a-1*(a*x1)=a-1*b

即x1=a-1*b。5.3群

5.3.2群的性质12/1/202436chapter5定理5-3.3（消去性）设<G，*>是一个群，对于任意的a，b，c∈G，如果有a*b=a*c或者b*a=c*a，则必有b=c。证明：设a*b=a*c，则a-1*(a*b)=a-1*(a*c)，即(a-1*a)*b=(a-1*a)*ce*b=e*c，b=c

同理可证，当b*a=c*a时，则b＝c。5.3群

5.3.2群的性质12/1/202437chapter5定理5-3.4（互异性）群的运算表中没有任何两行(或两列)是完全相同的。定理5-3.5设<G,*>是群，在<G,*>中，除幺元e外，不可能有任何别的等幂元。证明:因为e*e=e,所以e是等幂元。现设a∈A,a≠e且a*a=a

则有a=e*a=(a-1*a)*a=a-1*(a*a)=a-1*a=e

与假设a≠e相矛盾。5.3群

5.3.2群的性质12/1/202438chapter5定理5-3.6设<G,*>是一个群，

a∈G，有a*G=G=G*a。证明:∵<G,*>是一个群，∴a*G

G(由封闭性而来)。

b∈G，a-1*b∈G，

a*(a-1*b)∈a*G，即b∈a*G

这样a*G=G。同理可证G*a=G即，群<G,*>的运算表中的每一行或每一列都是G的元素的一个置换。5.3群

5.3.2群的性质12/1/202439chapter5定义5-3.2设<G,*>是一个群。如果G是有限集，那么称<G,*>为有限群，G中元素的个数通常称为该有限群的阶数，记为|G|。如果G是无限集，则称<G,*>为无限群。5.3群

5.3.3有限群12/1/202440chapter5定义5-3.3设<G,*>是一个群。S

G，如果<S，*>也构成群，则称<S，*>是<G，*>的一个子群。子群的判断方法：1、用定义证明<S，*>是群(1)

a,b∈S，a*b∈S(2)满足结合律(3)e∈S(4)

a∈S，a-1∈S5.3群

5.3.4子群12/1/202441chapter52、定理5-3.7设<G,*>是一个群。S

G，S≠

若(1)

a,b∈S，a*b∈S(2)

b-1∈S则称<S，*>是<G，*>的一个子群。证明:封闭性，由(1)成立。结合性，

a,b,c∈S，∵S

G∴a,b,c∈G∴(a*b)*c=a*(b*c)

有幺元，

a,a-1∈S，e＝a*a-1∈S

由b)可知，

a∈S，

a-1∈S

即<S,*>是<G,*>的子群。5.3群

5.3.4子群12/1/202442chapter53、定理5-3.8<G,*>是一个群。S

G，S≠

，S是有限集，若

a,b∈S，a*b∈S，则<S，*>是<G，*>的一个子群。证明:

a,b,c∈S，∵S

G∴a,b,c∈G∴(a*b)*c=a*(b*c)，即*满足结合性。

b∈S，由*的封闭性可知b2=b*b∈S，b3=b2*b∈S，……，即*满足封闭性。∵S是有限集，∴

j>i，使得bj

=bi

，即bi=bj=bi*bj-i

∴bj-i是G中的幺元，且这个幺元也在S中。5.3群

5.3.4子群若j-i>1，由bj-i＝b*bj-i-1，可知bj-i-1是b的逆元且bj-i-1∈S

；若j-i=1，由bi＝bi*b，可知b是幺元，以自身为逆元。

综上得，<S,*>是<G,*>的子群。12/1/202443chapter53、定理5-3.9<G,*>是一个群。S

G，S≠

，S是有限集，若

a,b∈S，a*b-1∈S，a*b∈S，则<S，*>是<G，*>的一个子群。证明:

a,a∈S，e=a*a-1∈S，

a∈S，a-1=e*a-1∈S

，

a,b∈S，b-1∈S，a*b=a*(b-1)-1∈S，

a,b,c∈S，∵S

G∴a,b,c∈G，∴(a*b)*c=a*(b*c)综上可知，<S,*>是<G,*>的子群。5.3群

5.3.4子群12/1/202444chapter5【例3】设<H,*>和<K,*>都是群<G,*>的子群。证明<H∩K,*>也是<G,*>的子群。证明：显然H∩K

G，H∩K≠

（至少包含e）

a,b∈H∩K

，(a,b∈H)∧(a,b∈K)∵<H,*>和<K,*>都是群<G,*>的子群∴(a*b-1∈H)∧(a*b-1∈K)∴a*b-1∈H∩K

∴<H∩K,*>是<G,*>的子群。5.3群

5.3.4子群12/1/202445chapter5定理5-3.10有限群<G,*>的任何一个元素都生成一个子群。证明:

a∈G，令H＝{a0，a±1，a±2……}∵a0＝e，e∈H，H≠

又∵

x，y∈H，x=am，y=an，m,n∈Zx*y-1=am*(an)-1=am*a-n=am-n，m,n∈Z∴x*y-1∈H。即<H,*>是<G,*>的子群。5.3群

5.3.4子群12/1/202446chapter51、交换群(Abel群，阿贝尔群)定义5-3.4若群<G,*>，

a,b∈G，a*b=b*a，则<G,*>是交换群。定理5-3.11群<G,*>是交换群的充要条件是

a,b∈G，(a*b)2=a2*b2。5.3群

5.3.5交换群、循环群、置换群12/1/202447chapter5证明:若对

a,b∈G，a*b=b*a,则

(a*b)2=(a*b)*(a*b)=a*(b*a)*b=a*a*b*b=a2*b2。若对

a,b∈G，(a*b)2=a2*b2

则(a*b)*(a*b)=a*a*b*b

即

a-1*(a*b*a*b)*b-1=a-1*(a*a*b*b)*b-1，∴a*b=b*a,<G,*>是交换群。5.3群

5.3.5交换群、循环群、置换群12/1/202448chapter55.3群

5.3.5交换群、循环群、置换群2、循环群定义5-3.5在群<G，*>中，若

a∈G，使G={ak|ak∈G}，则称<G，*>为一个循环群，a为生成元(a-1也为生成元)。0

123

1230230130120123

0

123

+4

【例4】<4,+4>为循环群11＝1，12＝2，13＝3，14＝0∴4＝{11，12，13，14},1为生成元。同理，3为生成元。12/1/202449chapter5【例5】<Z,+>是群，

n∈Z，n=1+1+1+…+1＝1n∴<Z,+>是循环群,生成元为1和-1。定理5-3.12任何循环群一定是交换群。证明：设<G,*>是循环群，生成元为a。对

x,y∈G，x=ar,y=as,r,s∈Z,x*y=ar

*as=ar+s=as*ar=y*x5.3群

5.3.5交换群、循环群、置换群12/1/202450chapter53、置换群S={a,b,c}，双射为3!（排列、置换），分别为：令S3={π0,π1,π2,π3,π4,π5}则<S3,◦>是一个群，其“◦”为函数的复合运算。π0=abcabcπ1=abcacbπ2=abcbacπ3=abcbcaπ4=abccabπ5=abccba5.3群

5.3.5交换群、循环群、置换群12/1/202451chapter5证明：

πi,πj∈S3，πi◦πj∈S3

πi,πj,πk∈S3，πi◦(πj◦πk

)=(πi◦πj)◦πke=

=π0∈S3abcabc

πi=

∈S3abcαβγπi

-1=

∈S3αβγabc综上，

<S3,◦>是一个群，称为三次对称群。(阶为3！)<Sn,◦>是一个群，称为n次对称群。(阶为n！)其子群为置换群。5.3群

5.3.5交换群、循环群、置换群12/1/202452chapter5定义5-3.6有限非空集合S上的一个双射函数f：S→S叫做S的一个置换。当|S|=n，就称f是一个n元置换。定义5-3.7设S是非空有限集，Sn是所有S的置换的集合，

◦是函数的复合运算。则<Sn，◦>是一个群。通常称为集合S的对称群。定义5-3.8对称群<Sn

，◦>的子群叫做S的置换群。5.3群

5.3.5交换群、循环群、置换群12/1/202453chapter55.4同态与同构

定义5-4.1设<A，*>和<B，△>是两个代数系统，设f是从A到B的一个映射，使得

a,b∈A，有f(a*b)=f(a)△f(b），则称f为<A，*>到<B，△>的同态映射，称<A，*>同态于<B，△>，记作A～B。若f为单射，则称f为<A，*>到<B，△>的单同态。

f为满射，则称f为<A，*>到<B，△>的满同态。

f为双射，则称f为<A，*>到<B，△>的同构，记为 <A，*>≌<B，△>。12/1/202454chapter5【例1】有<R,*>和<R*,*>两个代数系统，其R，R*分别表示实数和非负实数，*表示乘法运算，证明<R,*>和<R*,*>是满同态的。证明：设f:R→R*

，

x∈R，f(x)=x2

x,y∈R，f(x*y)=(x*y)2=x2*y2=f(x)*f(y)

又∵

y∈R*，

x∈R

，x=y1/2，f(x)=y。故<R,*>和<R*,*>是满同态的。5.4同态与同构

12/1/202455chapter5【例2】

有<R,+>和<R+,*>两个代数系统，其R，R*分别表示实数和正实数，+表示加法，*表示乘法，证明<R,+>≌<R+,*>。证明：设f:R→R*

，

x∈R，f(x)=ex

x,y∈R，f(x+y)=ex+y=ex*ey=f(x)*f(y)

x,y∈R，x≠y,ex≠ey

∴f为单射。

y∈R+，

x∈R

，x=lny，f(x)=ex=y。∴f为满射。∴<R,+>≌<R+,*>5.4同态与同构

12/1/202456chapter5定理5-4.1设g为代数系统<A,*>到<B,△>的满同态映射，则:(1)若<A,*>满足结合律，<B,△>也满足结合律。(2)若<A,*>满足交换律，<B,△>也满足交换律。(3)若<A,*>有幺元eA，<B,△>也有幺元eB

，eB=g(eA)。(4)若<A,*>有零元θA，<B,△>也有幺元θB

，θB=g(θA)。(5)若a∈A，有a-1∈A，则g(a)也有逆元素，g(a)-1=g(a-1)。5.4同态与同构

12/1/202457chapter5证明：(1)

a’,b’,c’∈B，∵g为满射，∴

a,b,c∈A，有g(a)=a’,g(b)=b’,g(c)=c’(a’△b’)△c’=(g(a)△g(b))△g(c)=g(a*b)△g(c)=g((a*b)*c)=g(a*(b*c))=g(a)△(g(b)△g(c))=a’△(b’△c’)(2)

a’,b’∈B，∵g为满射，∴

a,b∈A，有g(a)=a’,g(b)=b’a’△b’=g(a)△g(b)=g(a*b)=g(b*a)=g(b)△g(a)=b’△a’5.4同态与同构

12/1/202458chapter5(3)

a’∈B，∵g为满射，∴

a∈A，有g(a)=a’a’=g(a)=g(a*eA)=g(a)△g(eA)=a’△g(eA)a’=g(a)=g(eA*a)=g(eA)△g(a)=g(eA)△a’∴g(eA)为<B,△>的幺元

，eB=g(eA)(4)

a’∈B，∵g为满射，∴

a∈A，有g(a)=a’

g(θA)=g(a*θA)=g(a)△g(θA)=a’△g(θA)

g(θA)=g(θA*a)=g(θA)△g(a)=g(θA)△a’∴g(θA)为<B,△>的零元

，θB=g(θA)5.4同态与同构

12/1/202459chapter5(5)设<A,*>

中元素a有逆元素a-1∈A，<A,*>

的幺元为eA

eB=g(eA)=g(a*a-1)=g(a)△g(a-1)

eB=g(eA)=g(a-1*a)=g(a-1)△g(a)∴g(a)-1=g(a-1)5.4同态与同构

12/1/202460chapter5定理5-4.2同构映射必有逆，而且也是同构映射。证明：设g为<A,*>到<B,△>的同构映射。∵g为双射，∴g必有逆映射，且为双射。设为h，h：B→A

a,b∈A，若g(a)=x∈B，g(b)=y∈B，则h(x)=a，h(y)=b这样g(a*b)=g(a)△g(b)=x△y∴h(x△y)=a*b=h(x)*h(y)∴h为<B，△>到<A，*>的同态映射，又h为双射，故h为<B,△>到<A,*>的同构映射。5.4同态与同构

12/1/202461chapter5定义5-4.2设<A,*>是一个代数系统，若f是由<A,*>到<A,*>的同态，则称f为自同态。若g是由<A,*>到<A,*>的同构，则称g为自同构。定理5-4.3代数系统之间的同构是一个等价关系。证明：自反：IA为A到A的一个同构映射，即<A,*>≌<A,*>。对称：若<A,*>≌<B,△>且有对应的同构映射f，则f的逆是由<B,△>到<A,*>的同构映射，即<B,△>≌<A,*>。传递：若f是从<A,*>到<B,△>的同构映射，g是从<B,△>到<C,⊙>的同构映射，则g。f就是<A,*>到<C,⊙>的同构映射。5.4同态与同构

12/1/202462chapter5定义5-4.3设f是由群<A，*>到群<B，△>的同态映射，eB是B中的么元，记k(f)={x|x∈A且f（x）=eB}，称K(f)为同态映射f的核，简称f的同态核。

定理5-4.4设f是由群<G,★>到群<H,*>的同态映射，则f的同态核K(f)={x|x∈G且f（x）=eH}是G的子群。证明：

x,y∈k(f)，f(x★y)=f(x)*f(y)=eH*eH=eH

∴x★y∈k(f)

x∈k(f)，f(x-1)=f(x)-1=eH-1=eH，即x-1∈k(f)。∴

<K(f),★>是<G,★>的子群。5.4同态与同构

12/1/202463chapter55.5陪集与拉格朗日定理

S={a,b,c,d}，<S4,◦>是四次对称群。有置换π0=abcdabcdπ1=abcdbacdπ2=abcdabdcπ3=abcdbadcπ0

π1

π2π3

π1

π0

π3π2

π2

π3

π0π1

π3

π2

π1π0

π0

π1

π2π3π0

π1

π2π3

○G={π0,π1,π2,

π3}，<G,◦>是一个群。有子群<S,◦>，S={π0,π1}π0◦S={π0◦π0,π0◦π1}={π0,π1}=Sπ1◦S={π1◦π0,π1◦π1}={π1,π0}=Sπ2◦S={π2◦π0,π2◦π1}={π2,π3}=S’π3◦S={π3◦π0,π3◦π1}={π3,π2}=S’S’∩S=

，S’∪S=G5.5.1陪集12/1/202464chapter5定义5-5.1设<S,*>是群<G,*>的一个子群，g∈G，则称g*S={g*s|s∈S}为由g所确定的S在G中的左陪集

S*g={s*g|s∈S}为由g所确定的S在G中的右陪集，简称为S关于g的左陪集（右陪集），记为gS(Sg)。5.5陪集与拉格朗日定理

5.5.1陪集12/1/202465chapter5定理5-5.1设<S,*>是群<G,*>的子群，(1)x*S=y*S或x*S∩y*S=

。(2)S*x=S*y或S*x∩S*y=

。证明：若x*S∩y*S≠

，令δ∈x*S∩y*S

s1,s2∈S，δ=x*s1=y*s2

这样，就有x=y*s2*s1-1

s∈S，x*s=y*(s2*s1-1)*s∈y*S，即x*S

y*S

同理y*S

x*S，∴x*S=y*S5.5陪集与拉格朗日定理

5.5.1陪集12/1/202466chapter5定理5-5.2设<S,*>是<G,*>的有限子群，S中每个陪集包含元素的个数等于S本身包含的元素的个数。即

x∈G，|x*S|=|S|。证明：设S={s1,s2,…，sm}，si≠sj

而x*S={x*s1,x*s2,…x*sm}若x*si=x*sj

，则x-1*x*si

=x-1*x*sj

，即si=sj，与已知矛盾。∴x*si≠x*sj

∴|x*S|=|S|5.5陪集与拉格朗日定理

5.5.1陪集12/1/202467chapter5定理5-5.3(拉格朗日定理)有限群的子群的阶数一定是群的阶数的一个因子。（子群的阶数一定可以整除群的阶数）【例1】6阶群只能有1，2，3，6阶子群。5.5陪集与拉格朗日定理

5.5.1陪集12/1/202468chapter5定义5-5.2若<S,*>是<G,*>的一个子群，若

g∈G，有g*S=S*g，则称<S,*>为<G,*>的正规子群(正则子群、不变子群)。定义5-5.3设<S,*>是<G,*>的正规子群，则<G/S,*>是一个群，称为G关于S的商群，其中G/S={x*S|x∈G}。5.5陪集与拉格朗日定理

5.5.2商群12/1/202469chapter5【例2】G={π0,π1,π2,π3}，S={π0,π1}，S’={π2,π3}

G/S={{π0,π1},{π2,π3}}{π0,π1}{π2,π3}{π2,π3}{π0,π1}{π0,π1}{π2,π3}{π0,π1}{π2,π3}◦∴<G/S,○>是一个商群。5.5陪集与拉格朗日定理

5.5.2商群12/1/202470chapter55.6环和域

定义5-6.1设R是非空集合，R上的运算“*”、“+”满足：(1)<R,+>是一个交换群；(2)<R,*>是一个半群；(3)“*”对“+”满足分配率。则称代数系统<R,+,*>为一个环。12/1/202471chapter55.6环和域

【例1】(1)<Z，+，*>是环,+和*表示普通加法和乘法。(2)<Nk，+k，×k>是环，这里Nk={0，1，…，k-1}，k＞0，+k和×k分别是模k加法和模k乘法。(3)<Mn(R)，+，*>是环，其中Mn(R)是n阶实矩阵的集合，+，*分别是矩阵加法和乘法。(4)<R(x)，+，*>是个环,这里R(x)是所有实系数的x的多项式集合，+和*分别是多项式加法和乘法。12/1/202472chapter55.6环和域

定理5-6.1设<R，+，·>是个环，0是加法么元，则对任意元素a，b，c∈R有：

a·0=e·0=0(-a)·b=a·(-b)=-(a·b)(-a)·(-b)=a·b

a·(b-c)=a·b-a·c

(b-c)·a=b·a-c·a

12/1/202473chapter55.6环和域

(1)

a∈R，a·0＝0·a＝0证明：a·0＝a·