专项05-垂线-专题训练

垂线-专题训练一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（德惠市期末）如图，OA⊥OB，若∠1＝55°16′，则∠2的度数是（）A．35°44′ B．34°84′ C．34°74′ D．34°44′2．（陕西）如图，AC⊥BC，直线EF经过点C，若∠1＝35°，则∠2的大小为（）A．65° B．55° C．45° D．35°3．（丛台区校级月考）如果直线ON⊥直线a，直线OM⊥直线a，那么OM与ON重合（即O，M，N三点共线），其理由是（）A．两点确定一条直线 B．在同一平面内，过两点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．两点之间，线段最短4．（孝义市期末）下列各图中，过直线l外的点P画直线l的垂线，三角尺操作正确的是（）A． B． C． D．5．（江汉区月考）如图，AD⊥AC交BC的延长线于点D，AE⊥BC交BC的延长线于点E，CF⊥AB于点F，则图中能表示点A到直线BC的距离的是（）A．AD的长度 B．AE的长度 C．AC的长度 D．CF的长度6．（河西区期中）如图所示，在△ABC中，AE⊥BD，点A到直线BD的距离指（）A．线段AB的长 B．线段AD的长 C．线段ED的长 D．线段AE的长7．（长安区校级月考）下列说法：①两点之间的所有连线中，线段最短；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离，其中正确的个数有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个8．（长春期末）如图，AC⊥BC，AC＝4，点D是线段BC上的动点，则A、D两点之间的距离不可能是（）A．3.5 B．4.5 C．5 D．5.59．（乐山）如图，E是直线CA上一点，∠FEA＝40°，射线EB平分∠CEF，GE⊥EF．则∠GEB＝（）A．10° B．20° C．30° D．40°10．（仁寿县期末）如图，O为直线AB上一点，OC⊥OD，OE平分∠AOC，OG平分∠BOC，OF平分∠BOD，下列结论：①∠DOG+∠BOE＝180°；②∠AOE﹣∠DOF＝45°；③∠EOD+∠COG＝180°；④∠AOE+∠DOF＝90°．其中正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（西华县期中）若线段AM，AN分别是△ABC的高线和中线，则线段AM，AN的大小关系是AMAN（用“≤”，“≥”或“＝”填空）．12．（鱼台县期末）如图，村庄A到公路BC的最短距离是AD的长，其根据是．13．（绿园区期末）如图，AB⊥l1，AC⊥l2，已知AB＝4，BC＝3，AC＝5，则点A到直线l1的距离是．14．（东城区校级期末）如图，∠C＝90°，线段AB＝15cm，线段AD＝12cm，线段AC＝9cm，则点A到BC的距离为cm．15．（岳阳期末）如图，在三角形ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足为点D，AB＝5，BC＝12，AC＝13，下列结论正确的是．（写出所有正确结论的序号）①∠ADB＝90°；②∠A＝∠DBC；③点C到直线BD的距离为线段CB的长度；④点B到直线AC的距离为601316．（顺庆区校级月考）如图所示，∠BAC＝90°，AD⊥BC，则下列结论中，正确的为（填序号）．①点A到BC的距离是线段AD的长度；②线段AB的长度是点B到AC的距离；③点C到AB的垂线段是线段AB．17．（绿园区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于点O，且∠COE＝48°，则∠AOD为．18．（南岗区校级期中）已知，∠AOB和∠BOC互为邻补角，且∠BOC：∠AOB＝4：1，射线OD平分∠AOB，射线OE⊥OD，则∠BOE＝．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（赣州期末）如图所示，码头、火车站分别位于A，B两点，直线a和b分别表示铁路与河流．（1）从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由；（2）从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由；（3）从火车站到河流怎样走最近，画图并说明理由．20．（孟村县期中）如图，AB、CD、NE相交于点O，OM平分∠BOD，∠MON＝90°，∠AOC＝50°（1）线段的长度表示点M到NE的距离；（2）比较MN与MO的大小（用“＜”号连接）：，并说明理由：；（3）求∠AON的度数．21．（长春期末）如图，直线AB与直线MN相交，交点为O，OC⊥AB，OA平分∠MOD，若∠BON＝20°，求∠COD的度数．22．（海曙区期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OD平分∠BOE，OF平分∠AOE．（1）证明：OD⊥OF．（2）若∠BOD＝28°，找出∠BOD的补角，并求出∠BOF的度数．23．（姜堰区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB，∠1＝∠2．（1）求∠NOD的度数；（2）若∠AOD＝3∠1，求∠AOC和∠MOD的度数．24．（市中区期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点O按如图方式叠放在一起．（1）如图（1），若∠BOD＝35°，则∠AOC＝；若∠AOC＝135°，则∠BOD＝；（直接写出结论即可）（2）如图（2），若∠AOC＝140°，则∠BOD＝；（直接写出结论即可）（3）猜想∠AOC与∠BOD的大小关系，并结合图（1）说明理由；（4）三角尺AOB不动，将三角尺COD的OD边与OA边重合，然后绕点O按顺时针或逆时针方向任意转动一个角度，当锐角∠AOD等于多少度时，这两块三角尺各有一条边互相垂直，直接写出∠AOD角度所有可能的值，不用说明理由．

垂线-专题训练（解析版）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（德惠市期末）如图，OA⊥OB，若∠1＝55°16′，则∠2的度数是（）A．35°44′ B．34°84′ C．34°74′ D．34°44′【分析】直接利用垂线的定义结合度分秒转化得出答案．【解析】∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，∵∠1＝55°16′，∴∠2＝90°﹣55°16′＝34°44′．故选：D．2．（陕西）如图，AC⊥BC，直线EF经过点C，若∠1＝35°，则∠2的大小为（）A．65° B．55° C．45° D．35°【分析】由垂线的性质可得∠ACB＝90°，由平角的性质可求解．【解析】∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∵∠1+∠ACB+∠2＝180°，∴∠2＝180°﹣90°﹣35°＝55°，故选：B．3．（丛台区校级月考）如果直线ON⊥直线a，直线OM⊥直线a，那么OM与ON重合（即O，M，N三点共线），其理由是（）A．两点确定一条直线 B．在同一平面内，过两点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．两点之间，线段最短【分析】利用垂线的性质解答．【解析】如果直线ON⊥直线a，直线OM⊥直线a，那么OM与ON重合（即O，M，N三点共线），其理由是在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故选：C．4．（孝义市期末）下列各图中，过直线l外的点P画直线l的垂线，三角尺操作正确的是（）A． B． C． D．【分析】根据垂线的作法，用直角三角板的一条直角边与l重合，另一条直角边过点P后沿直角边画直线即可．【解析】用直角三角板的一条直角边与l重合，另一条直角边过点P后沿直角边画直线，∴C选项的画法正确，故选：C．5．（江汉区月考）如图，AD⊥AC交BC的延长线于点D，AE⊥BC交BC的延长线于点E，CF⊥AB于点F，则图中能表示点A到直线BC的距离的是（）A．AD的长度 B．AE的长度 C．AC的长度 D．CF的长度【分析】利用点到直线的距离定义进行解答即可．【解析】图中能表示点A到直线BC的距离的是AE的长度，故选：B．6．（河西区期中）如图所示，在△ABC中，AE⊥BD，点A到直线BD的距离指（）A．线段AB的长 B．线段AD的长 C．线段ED的长 D．线段AE的长【分析】利用点到直线的距离解答即可．【解析】点A到直线BD的距离指线段AE的长，故选：D．7．（长安区校级月考）下列说法：①两点之间的所有连线中，线段最短；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离，其中正确的个数有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【分析】根据线段、点到直线的距离，垂线的概念或性质逐项分析即可．【解析】①两点之间的所有连线中，线段最短，说法正确；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，说法正确；③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，说法正确；④直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，说法错误．故选：B．8．（长春期末）如图，AC⊥BC，AC＝4，点D是线段BC上的动点，则A、D两点之间的距离不可能是（）A．3.5 B．4.5 C．5 D．5.5【分析】利用垂线段最短得到AD≥AC，然后对各选项进行判断．【解析】∵AC⊥BC，AC＝4，∴AD≥AC，即AD≥4．观察选项，只有选项A符合题意．故选：A．9．（乐山）如图，E是直线CA上一点，∠FEA＝40°，射线EB平分∠CEF，GE⊥EF．则∠GEB＝（）A．10° B．20° C．30° D．40°【分析】根据平角的定义得到∠CEF＝180°﹣∠FEA＝180°﹣40°＝140°，由角平分线的定义可得∠CEB=12∠CEF=12×140°=70°，由GE⊥EF可得∠GEF＝90°，可得∠CEG＝180°﹣∠AEF﹣∠GEF＝180°﹣40°﹣90°＝50°，由∠【解析】∵∠FEA＝40°，GE⊥EF，∴∠CEF＝180°﹣∠FEA＝180°﹣40°＝140°，∠CEG＝180°﹣∠AEF﹣∠GEF＝180°﹣40°﹣90°＝50°，∵射线EB平分∠CEF，∴∠CEB=1∴∠GEB＝∠CEB﹣∠CEG＝70°﹣50°＝20°，故选：B．10．（仁寿县期末）如图，O为直线AB上一点，OC⊥OD，OE平分∠AOC，OG平分∠BOC，OF平分∠BOD，下列结论：①∠DOG+∠BOE＝180°；②∠AOE﹣∠DOF＝45°；③∠EOD+∠COG＝180°；④∠AOE+∠DOF＝90°．其中正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据角平分线的定义可设∠AOE＝∠COE＝α，∠BOG＝∠COG＝β，利用平角等于180°得出α+β＝90°，∠EOG＝90°．根据同角的余角相等得出∠DOG＝∠COE＝90°﹣∠COG＝α，则∠BOD＝∠DOG﹣∠BOG＝α﹣β．∠BOF＝∠DOF=12（α﹣【解析】∵OE平分∠AOC，OG平分∠BOC，∴可设∠AOE＝∠COE＝α，∠BOG＝∠COG＝β，∵O为直线AB上一点，∴∠AOB＝180°，∴2α+2β＝180°，∴α+β＝90°，∠EOG＝90°．∵∠DOC＝90°，∴∠DOG＝∠COE＝90°﹣∠COG＝α，∴∠BOD＝∠DOG﹣∠BOG＝α﹣β．∵OF平分∠BOD，∴∠BOF＝∠DOF=12（α﹣①∵∠DOG＝α＝∠AOE，∠AOE+∠BOE＝180°，∴∠DOG+∠BOE＝180°，故本选项结论正确；②∵∠AOE＝α，∠DOF=12（α﹣∴∠AOE﹣∠DOF＝α−12（α﹣β）=12（故本选项结论正确；③∵∠EOD＝∠EOG+∠GOD＝90°+α，∠COG＝β，∴∠EOD+∠COG＝90°+α+β＝180°，故本选项结论正确；④∵∠AOE+∠DOF＝α+12（α﹣β）=32α−∴当α＝67.5°时，∠AOE+∠DOF＝90°，但是题目没有α＝67.5°的条件，故本选项结论错误．综上所述，正确的有：①②③共3个．故选：C．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（西华县期中）若线段AM，AN分别是△ABC的高线和中线，则线段AM，AN的大小关系是AM≤AN（用“≤”，“≥”或“＝”填空）．【分析】利用垂线段最短进行解答即可．【解析】∵线段AM，AN分别是△ABC的高线和中线，∴AM≤AN，故答案为：≤．12．（鱼台县期末）如图，村庄A到公路BC的最短距离是AD的长，其根据是垂线段最短．【分析】利用垂线段的性质解答即可．【解析】村庄A到公路BC的最短距离是AD的长，其根据是垂线段最短，故答案为：垂线段最短．13．（绿园区期末）如图，AB⊥l1，AC⊥l2，已知AB＝4，BC＝3，AC＝5，则点A到直线l1的距离是4．【分析】由AB⊥l1，即可得出答案．【解析】∵AB⊥l1，则点A到直线l1的距离是AB的长＝4；故答案为：4．14．（东城区校级期末）如图，∠C＝90°，线段AB＝15cm，线段AD＝12cm，线段AC＝9cm，则点A到BC的距离为9cm．【分析】根据点到直线的距离的定义，可得答案．【解析】因为∠C＝90°，所以AC⊥BC，所以A到BC的距离是AC，因为线段AC＝9cm，所以点A到BC的距离为9cm．故答案为：9．15．（岳阳期末）如图，在三角形ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足为点D，AB＝5，BC＝12，AC＝13，下列结论正确的是①②④．（写出所有正确结论的序号）①∠ADB＝90°；②∠A＝∠DBC；③点C到直线BD的距离为线段CB的长度；④点B到直线AC的距离为6013【分析】①根据垂直的定义即可求解；②根据余角的性质即可求解；③根据点到直线的距离的定义即可求解；④根据三角形面积公式即可求解．【解析】①∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°，故①正确；②∵∠ABD+∠A＝90°，∠ABD+∠DBC＝90°，∴∠A＝∠DBC，故②正确；③点C到直线BD的距离为线段CD的长度，故③错误；④点B到直线AC的距离为12×5×12×2÷13=60故答案为：①②④．16．（顺庆区校级月考）如图所示，∠BAC＝90°，AD⊥BC，则下列结论中，正确的为①②（填序号）．①点A到BC的距离是线段AD的长度；②线段AB的长度是点B到AC的距离；③点C到AB的垂线段是线段AB．【分析】利用点到直线的距离定义可得正确答案．【解析】∵AD⊥BC，∴点A到BC的距离是线段AD的长度，①正确；∵∠BAC＝90°，∴AB⊥AC，∴线段AB的长度是点B到AC的距离，②正确∵AB⊥AC，∴C到AB的垂线段是线段AC，③不正确．其中正确的为①②，故答案是：①②．17．（绿园区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于点O，且∠COE＝48°，则∠AOD为138°．【分析】利用垂线定义可得∠BOE＝90°，然后可得∠COB的度数，再利用对顶角相等可得答案．【解析】∵OE⊥AB，∴∠BOE＝90°，∵∠COE＝48°，∴∠COB＝90°+48°＝138°，∴∠AOD＝138°，故答案为：138°．18．（南岗区校级期中）已知，∠AOB和∠BOC互为邻补角，且∠BOC：∠AOB＝4：1，射线OD平分∠AOB，射线OE⊥OD，则∠BOE＝72°或108°．【分析】根据平角的意义、角平分线的意义，邻补角，垂直的意义，分别计算各个角的大小即可．【解析】∵∠AOB和∠BOC互为邻补角，∴∠AOB+∠BOC＝180°，又∵∠BOC：∠AOB＝4：1，∴∠BOC＝180°×45=144°，∠AOB∵射线OD平分∠AOB，∴∠AOD＝∠BOD=12∠∵OE⊥OD，∴∠DOE＝90°，如图1，∠BOE＝∠DOE﹣∠BOD＝90°﹣18°＝72°，如图2，∠BOE＝∠DOE+∠BOD＝90°+18°＝108°，故答案为：72°或108°．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（赣州期末）如图所示，码头、火车站分别位于A，B两点，直线a和b分别表示铁路与河流．（1）从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由；（2）从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由；（3）从火车站到河流怎样走最近，画图并说明理由．【分析】（1）从火车站到码头的距离是点到点的距离，即两点间的距离．依据两点之间线段最短解答．（2）从码头到铁路的距离是点到直线的距离．依据垂线段最短解答．（3）从火车站到河流的距离是点到直线的距离．依据垂线段最短解答．【解析】如图所示（1）沿AB走，两点之间线段最短；（2）沿AC走，垂线段最短；（3）沿BD走，垂线段最短．20．（孟村县期中）如图，AB、CD、NE相交于点O，OM平分∠BOD，∠MON＝90°，∠AOC＝50°（1）线段MO的长度表示点M到NE的距离；（2）比较MN与MO的大小（用“＜”号连接）：MO＜MN，并说明理由：垂线段最短；（3）求∠AON的度数．【分析】（1）根据点到直线的距离解答即可；（2）根据垂线段最短解答即可；（3）根据垂直的定义和角之间的关系解答即可．【解析】（1）线段MO的长度表示点M到NE的距离；（2）比较MN与MO的大小为：MO＜MN，是因为垂线段最短；（3）∵∠BOD＝∠AOC＝50°，OM平分∠BOD，∴∠BOM＝25°，∴∠AON＝180°﹣∠BOM﹣∠MON＝180°﹣25°﹣90°＝65°．故答案为：MO；MO＜MN；垂线段最短．21．（长春期末）如图，直线AB与直线MN相交，交点为O，OC⊥AB，OA平分∠MOD，若∠BON＝20°，求∠COD的度数．【分析】利用对顶角相等可得∠AOM的度数，再利用角平分线的定义和垂线定义进行计算即可．【解析】∵∠BON＝20°，∴∠AOM＝20°，∵OA平分∠MOD，∴∠AOD＝∠MOA＝20°，∵OC⊥AB，∴∠AOC＝90°，∴∠COD＝90°﹣20°＝70°．22．（海曙区期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OD平分∠BOE，OF平分∠AOE．（1）证明：OD⊥OF．（2）若∠BOD＝28°，找出∠BOD的补角，并求出∠BOF的度数．【分析】（1）根据角平分线的定义和垂直的定义解答即可；（2）根据互补的定义和结合图形找到相关角间的和差关系进行解答即可．【解析】证明：（1）∵OD平分∠BOE，OF平分∠AOE，∴∠EOF=12∠AOE，∠EOD=1∵∠AOE+∠EOB＝180°，∴∠FOD＝∠EOF+∠EOD＝90°，∴OD⊥OF；（2）∵∠BOD＝28°，∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝180°﹣28°＝152°，∵OD平分∠BOE，∴∠EOD＝∠BOD，∴∠COE＝180°﹣∠EOD＝180°﹣28°＝152°，∴∠BOD的补角是∠COE和∠AOD，∵∠FOD＝90°，∴∠BOF＝∠DOF+∠BOD＝90°+28°＝118°．23．（姜堰区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB，∠1＝∠2．（1）求∠NOD的度数；（2）若∠AOD＝3∠1，求∠AOC和∠MOD的度数．【分析】（1）利用垂直的定义得出∠2+∠AOC＝90°，进而得出答案；（2）根据题意得出∠1的度数，即可得出AOC和∠MOD的度数．【解析】证明：（1）∵OM⊥AB，∴∠AOM＝∠BOM＝90°，∴∠1+∠AOC＝90°，∵∠1＝∠2，∴∠2+∠AOC＝90°，即∠CON＝90°，∴∠NOD＝180°﹣∠CON＝180°﹣90°＝90°；（2）∵∠AOD＝3∠1，∴∠NOD＝2∠1＝90°，解得：∠1＝45°，∴∠AOC＝∠AOM﹣∠1＝90°﹣45°＝45°；∴∠BOD＝90°﹣45°＝45°，∴∠MOD＝∠BOD+∠BOM＝45°+