专项16-以二次根式为载体的材料阅读题-专题培优

以二次根式为载体的材料阅读题-专题培优1．（郫都区期末）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+22=（1+2）设a+b2=（m+n2）2（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+b2=m2+2n2+2mn∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分a+b2的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b6=（m+n6）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝，b＝（2）若a+43=（m+n3）2，且a、m、n均为正整数，求a（3）化简：7−21+2．（渝中区校级月考）先阅读，再解答问题：恒等变形，是代数式求值的一个很重要的方法．利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式．例如：当x=3+1时，求12x3﹣x2为解答这道题，若直接把x=3方法：将条件变形，因x=3+1，得x﹣1由x﹣1=3，可得x2﹣2x﹣2＝0，即x2﹣2x＝2，x2＝2x原式=12x（2x+2）﹣x2﹣x+2＝x2+x﹣x2﹣请参照以上的解决问题的思路和方法，解决以下问题：（1）若x=2−1，求2x3+4x2﹣3（2）已知x＝2+3，求x3．（碑林区校级月考）在解决问题“已知a=12−1，求3a2∵a=1∴a﹣1=2∴（a﹣1）2＝2，a2﹣2a+1＝2，∴a2﹣2a＝1，∴3a2﹣6a＝3，3a2﹣6a﹣1＝2．请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1）化简：23−（2）若a=13+22，求2a24．（锦江区校级期中）阅读材料：善于思考的小军在解方程组2x+5y=34x+11y=5解：将第二个方程，变形为4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5．然后把第一个方程，代入得2×3+y＝5，∴y＝﹣1．把y＝﹣1代入第一个方程，得x＝4．∴方程组的解为x=4y=−1请你解决下列两个问题：（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组3x−2y=59x−4y=19（2）已知正数x，y满足3x2−2xy+125．（兴庆区校级期中）阅读下面的材料，解答后面给出的问题：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如a与a，2+1与2有理化因式的方法就可以了，例如23=2（1）请你写出3+11的有理化因式：（2）请仿照上面给出的方法化简下列各式：①3−22②1−b1−b（b＞0，（3）已知a=15−2，b=6．（达川区校级月考）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：已知a=12+3，求2a2∵a=12+3∴a﹣2=−3∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3．∴a2﹣4a＝﹣1．∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．请你根据小明的解题过程，解决如下问题：（1）13+（2）化简12（3）若a=15−2，求a4﹣4a37．（曲阜市期末）“双剑合璧，天下无敌”，其意思是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也常有这种相辅相成的“对子”，如：（2+3）（2−3）＝1，(5+2)(5像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去的方法，叫做分母有理化．解决下列问题：（1）将12分母有理化得；2+1的有理化因式是（2）化简：25+（3）化简：128．（包河区校级期中）观察、发现：12（1）试化简：13（2）直接写出：1n+1+（3）求值：129．（渝中区校级月考）材料一：《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高惟，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．材料二：恒等变形是代数式求值的一个很重要的方法．利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式．例如当x=3+1时，求12x方法一：将条件变形，因x=3+1，得x﹣1=3．再把所求的代数式变形为关于（x﹣1）的表达式．原式=12（x3﹣2x2﹣2x）+2=12[x2（x﹣1）﹣x（x﹣1）﹣3x]+2=12[x（x﹣1）2方法二：先将条件化成整式，再把等式两边同时平方，把无理数运算转化为有理数运算．由x﹣1=3，可得x2﹣2x﹣2＝0，即x2﹣2x＝2，x2＝2x原式=12x（2x+2）﹣x2﹣x+2＝x2+x﹣x2﹣请参照以上的解决问题的思路和方法，解决以下问题：（1）若a2﹣3a+1＝0，求2a3﹣5a2﹣3+3（2）已知x=2+3，求x10．（西湖区校级月考）在解决问题“已知a=12+3，求2a2∵a=∴a−2=−3，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1）化简：2（2）若a=12−1，求代数式a11．（淮阳县校级月考）阅读下面的文字再回答问题甲、乙两人对题目：“化简并求值：2a+1a甲的解答是：2a+1a2乙的解答是2a+1a（1）填空：的解答是错误的；（2）解答错误的原因是未能正确运用二次根式的性质？请用含字母a的式子表示这个性质（3）请你正确运用上述性质解决问题：当3＜x＜5时，化简x12．（滦南县一模）在解决问题“已知a=12+3，求2a2∵a=12+∴a﹣2=−3，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1）化简：2（2）若a=12−1，求3a213．（建平县期末）观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：例1：12例2：13+2=（1）16+5=（2）请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律．（3）利用上面的结论，求下列式子的值．1214．（淮安区校级期末）阅读下面计算过程：121315求：（1）17（2）1n+1+n（3）1215．（右玉县期末）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如53，23，22323以上这种化简的步骤叫做分母有理化．23+1（1）请用不同的方法化简25（2）化简：13

以二次根式为载体的材料阅读题-专题培优（解析版）1．（郫都区期末）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+22=（1+2）设a+b2=（m+n2）2（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+b2=m2+2n2+2mn∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分a+b2的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b6=（m+n6）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝m2+6n2，b＝2mn（2）若a+43=（m+n3）2，且a、m、n均为正整数，求a（3）化简：7−21+【分析】（1）利用完全平方公式展开得到（m+n6）2＝m2+6n2+26mn，从而可用m、n表示a、b；（2）直接利用完全平方公式，变形得出答案；（3）直接利用完全平方公式，变形化简即可．【解析】（1）∵（m+n6）2＝m2+6n2+26mn，a+b6=（m+n6）2∴a＝m2+6n2，b＝2mn．故答案为m2+6n2，2mn；（2）∵（m+n3）2＝m2+3n2+23mn，a+43=（m+n3）2∴a＝m2+3n2，mn＝2，∵m、n均为正整数，∴m＝1、n＝2或m＝2，n＝1，∴a＝13或7；（3）21+80=20+4则7−=7−2=6−2=(=52．（渝中区校级月考）先阅读，再解答问题：恒等变形，是代数式求值的一个很重要的方法．利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式．例如：当x=3+1时，求12x3﹣x2为解答这道题，若直接把x=3方法：将条件变形，因x=3+1，得x﹣1由x﹣1=3，可得x2﹣2x﹣2＝0，即x2﹣2x＝2，x2＝2x原式=12x（2x+2）﹣x2﹣x+2＝x2+x﹣x2﹣请参照以上的解决问题的思路和方法，解决以下问题：（1）若x=2−1，求2x3+4x2﹣3（2）已知x＝2+3，求x【分析】（1）变形已知条件得到x+1=2，两边平方得到x2+2x＝1，再利用降次和整体代入的方法表示原式化为﹣x+1，然后把x（2）变形已知条件，利用平方的形式得到x2﹣4x＝﹣1或x2＝4x﹣1，再利用降次和整体代入的方法化简原式，从而得到原式的值．【解析】（1）∵x=2∴x+1=2∴（x+1）2＝2，即x2+2x+1＝2，∴x2+2x＝1，∴原式＝2x（x2+2x）﹣3x+1＝2x﹣3x+1＝﹣x+1＝﹣（2−＝2−2（2）∵x＝2+3∴x﹣2=3∴（x﹣2）2＝3，即x2﹣4x+4＝3，∴x2﹣4x＝﹣1或x2＝4x﹣1，∴原式==12（16x2﹣8x+1﹣4x2+x﹣36x+9﹣5=12[12（4x﹣1）﹣48=12（48x﹣12﹣48=1=33．（碑林区校级月考）在解决问题“已知a=12−1，求3a2∵a=1∴a﹣1=2∴（a﹣1）2＝2，a2﹣2a+1＝2，∴a2﹣2a＝1，∴3a2﹣6a＝3，3a2﹣6a﹣1＝2．请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1）化简：23−（2）若a=13+22，求2a2【分析】（1）分子、分母都乘以3+7（2）将a的值的分子、分母都乘以3﹣22得a＝3﹣22，据此先后求出a﹣3、（a﹣3）2及a2﹣6a、2a2﹣12a的值，代入计算可得答案．【解析】（1）23−7=（2）∵a=13+22∴a﹣3＝﹣22，∴（a﹣3）2＝8，即a2﹣6a+9＝8，∴a2﹣6a＝﹣1，∴2a2﹣12a＝﹣2，则2a2﹣12a+1＝﹣2+1＝﹣1．4．（锦江区校级期中）阅读材料：善于思考的小军在解方程组2x+5y=34x+11y=5解：将第二个方程，变形为4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5．然后把第一个方程，代入得2×3+y＝5，∴y＝﹣1．把y＝﹣1代入第一个方程，得x＝4．∴方程组的解为x=4y=−1请你解决下列两个问题：（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组3x−2y=59x−4y=19（2）已知正数x，y满足3x2−2xy+12【分析】（1）把第2个方程变形为3（3x﹣2y）+2y＝19，则利用整体代换消去x，求出y的值，然后利用代入法求出x得到方程组的解；（2）利用整体代换的方法把原方程组转化为方程组x+2y=5xy=2，再利用完全平方公式得到（1x−1【解析】（1）3x−2y=5①9x−4y=19②把②变形为9x﹣6y+2y＝19，即3（3x﹣2y）+2y＝19③．把①代入③，得3×5+2y＝19，∴y＝2．把y＝2代入①，得3x﹣2×2＝5，∴x＝3．∴方程组的解为x=3y=2（2）3x把①变形为3x2+1.5xy+12y2﹣3.5xy＝47，即1.5（2x2+xy+8y2）﹣3.5xy＝47③．把②代入①，得1.5×36﹣3.5xy＝47，∴xy＝2．把xy＝2代入②，得2x2+2+8y2＝36，∴x2+4y2＝17，∴x2+4xy+4y2＝17+8，即（x+2y）2＝25，∵x＞0，y＞0，∴x+2y＝5，∵（1x−12y∴1x−15．（兴庆区校级期中）阅读下面的材料，解答后面给出的问题：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如a与a，2+1与2有理化因式的方法就可以了，例如23=2（1）请你写出3+11的有理化因式：3−11（2）请仿照上面给出的方法化简下列各式：①3−22②1−b1−b（b＞0，（3）已知a=15−2，b=【分析】（1）根据题目中的例子，可以写出3+11（2）①根据题目中的例子，可以将所求式子进行化简；②根据题目中分母有理化的方法，可以将所求式子化简；（3）根据a=15−2，b=15+2，可以求得【解析】（1）由题意可得，3+11的有理化因式是3−故答案为：3−11（2）①3−223+22②∵1−b1−b（b＞0，∴1−b1−b=（3）∵a=15−2∴a+b＝25，ab＝1，∴a=(a+b=(2=20−2+7=25＝5．6．（达川区校级月考）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：已知a=12+3，求2a2∵a=12+3∴a﹣2=−3∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3．∴a2﹣4a＝﹣1．∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．请你根据小明的解题过程，解决如下问题：（1）13+2=（2）化简12（3）若a=15−2，求a4﹣4a3【分析】（1）利用分母有理化计算；（2）先分母有理化，然后合并即可；（3）先利用a=5+2得到a﹣2=5，两边平方得到a2【解析】（1）13故答案为3−（2）原式=2−=169＝13﹣1＝12；（3）∵a=1∴a﹣2=5∴（a﹣2）2＝5，即a2﹣4a+4＝5．∴a2﹣4a＝1．∴a4﹣4a3﹣4a+3＝a2（a2﹣4a）﹣4a+3＝a2×1﹣4a+3＝a2﹣4a+3＝1+3＝4．7．（曲阜市期末）“双剑合璧，天下无敌”，其意思是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也常有这种相辅相成的“对子”，如：（2+3）（2−3）＝1，(5+2)(5像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去的方法，叫做分母有理化．解决下列问题：（1）将12分母有理化得22；2+1的有理化因式是（2）化简：25+3=（3）化简：12【分析】（1）分子、分母都乘以2即可得；有理化因式可以利用平方差公式求解可得；（2）分子、分母都乘以5−（3）原式变形为2−1+【解析】（1）12（2+1）（2−1）＝（2）2﹣12＝2﹣1＝1，即2+故答案为：22，2（2）25故答案为：5−（3）原式=2−=100＝10﹣1＝9．8．（包河区校级期中）观察、发现：12（1）试化简：13（2）直接写出：1n+1+n=（3）求值：12【分析】根据题目给出的过程即可求出答案．【解析】（1）原式=3（2）原式=(故答案为：n+1（3）由（2）可知：原式=2−＝﹣1+＝99．（渝中区校级月考）材料一：《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高惟，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．材料二：恒等变形是代数式求值的一个很重要的方法．利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式．例如当x=3+1时，求12x方法一：将条件变形，因x=3+1，得x﹣1=3．再把所求的代数式变形为关于（x﹣1）的表达式．原式=12（x3﹣2x2﹣2x）+2=12[x2（x﹣1）﹣x（x﹣1）﹣3x]+2=12[x（x﹣1）2方法二：先将条件化成整式，再把等式两边同时平方，把无理数运算转化为有理数运算．由x﹣1=3，可得x2﹣2x﹣2＝0，即x2﹣2x＝2，x2＝2x原式=12x（2x+2）﹣x2﹣x+2＝x2+x﹣x2﹣请参照以上的解决问题的思路和方法，解决以下问题：（1）若a2﹣3a+1＝0，求2a3﹣5a2﹣3+3（2）已知x=2+3，求x【分析】（1）根据题目中的例子，对所求式子变形即可解答本题；（2）根据题目中的例子，对所求式子变形即可解答本题．【解析】（1）∵a2﹣3a+1＝0，∴a2﹣3a＝﹣1，a2+1＝3a，a+1∴2a3﹣5a2﹣3+＝2a（a2﹣3a）+（a2﹣3a）+3a﹣3+＝2a×（﹣1）+（﹣1）+3a﹣3+＝﹣2a﹣1+3a﹣3+＝a﹣4+＝3﹣4＝﹣1；（2）∵x＝2+3∴x﹣2=3∴x=x=3=3=3=3x(x−2)+15(x−2)−6−21=3=3=9−6=310．（西湖区校级月考）在解决问题“已知a=12+3，求2a2∵a=∴a−2=−3，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1）化简：2（2）若a=12−1，求代数式a【分析】（1）根据分母有理化可以解答本题；（2）先化简a，即可得到a﹣1的值，从而可以求得所求式子的值．【解析】（1）25（2）∵a=1∴a﹣1=2∴a（a﹣1）＝（2+1）＝2+211．（淮阳县校级月考）阅读下面的文字再回答问题甲、乙两人对题目：“化简并求值：2a+1a甲的解答是：2a+1a2乙的解答是2a+1a（1）填空：乙的解答是错误的；（2）解答错误的原因是未能正确运用二次根式的性质？请用含字母a的式子表示这个性质（3）请你正确运用上述性质解决问题：当3＜x＜5时，化简x【分析】根据已知材料，读懂材料，然后根据二次根式的性质解答．【解析】（1）乙的做法错误．当a=14时，1a故答案为：乙（2）当a＜0时，a2（3）∵3＜x＜5，∴x﹣7＜0，2x﹣5＞0．x2−14