专项18-平行四边形的性质-专题训练

平行四边形的性质-专题训练一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（朝阳区校级月考）平行四边形的一边长为10，那么它的两条对角线的长可以是（）A．4和6 B．6和8 C．8和12 D．20和302．（河南模拟）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，AF⊥CD，垂足为F．若AE：AF＝2：3，▱ABCD的周长为10，则AB的长为（）A．2 B．2.5 C．3 D．3.53．（句容市期中）如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，GH∥AB．分别交AB、CD、AD、BC于E、F、G、H，连接PB．若AE＝3，PF＝8．则图中阴影部分的面积为（）A．8 B．12 C．16 D．244．（红安县期中）如图，在平行四边形ABCD中，CD＝2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连接EF、BF，下列结论：①∠ABC＝2∠ABF；②EF＝BF；③S四DEBC＝2S△EFB；④∠CFE＝3∠DEF；其中正确结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．（温州月考）如图，在▱ABCD中，BE⊥CD，BF⊥AD，∠EBF＝45°，CE＝3，DF＝1，则▱ABCD的面积是（）A．18﹣32 B．15+32 C．15﹣32 D．18+326．（泉港区一模）如图，E、F在▱ABCD的对角线AC上，AE＝EF＝CD，∠ADF＝90°，∠BCD＝54°，则∠ADE的大小为（）A．46° B．27° C．28° D．18°7．（宁波模拟）如图，平行四边形纸片ABCD和EFGH上下叠放，AD∥EH且AD＝EH，CE交GH于点O，已知S▱ABCD＝a，S▱EFGH＝b（a＜b），则S阴影为（）A．b﹣a B．12（b﹣a） C．12a D．8．（太仓市期中）如图所示，平行四边形ABCD中，AC＝4cm，BD＝6cm，则边AD的长可以是（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm9．（东台市期中）如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点坐标分别为A（3，a），B（2，2），C（b，3），D（8，6），则a+b的值为（）A．8 B．9 C．12 D．1110．（江都区期末）如图，在▱ABCD中，∠ABC＝45°，BC＝4，点F是CD上一个动点，以FA、FB为邻边作另一个▱AEBF，当F点由D点向C点运动时，下列说法正确的选项是（）①▱AEBF的面积先由小变大，再由大变小②▱AEBF的面积始终不变③线段EF最小值为42A．① B．② C．①③ D．②③二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（渝中区校级期末）如图，已知▱ABCD的周长为18cm，BC＝2AB，∠A＝2∠B，则▱ABCD的面积为cm2．12．（江干区校级期末）在▱ABCD中，AB＝3，∠ABC的平分线交平行四边形的边于点E，若DE＝1，则▱ABCD的周长是．13．（南岗区期末）在▱ABCD中，∠A＝30°，AD＝43，连接BD，若BD＝4，则线段CD的长为．14．（岳麓区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，AC的垂直平分线交AD于点E，则△CDE的周长为．15．（渝中区校级一模）在▱ABCD中，AB＜BC，对角线AC的垂直平分线交AD于点E，连结CE，若▱ABCD的周长为20cm，则△CDE的周长为cm．16．（江都区月考）▱ABCD中，对角线AC和BD相交于O，如果AC＝10，BD＝6，AB＝m，那么m的取值范围是．17．（亭湖区校级期中）如图，平行四边形中，∠ADC＝118°，BE⊥DC于点E，DF⊥BC于点F，BE与DF交于点H，则∠BHF＝度．18．（海陵区校级期末）如图，在△ABC中，AC=43，∠CAB＝30°，D为AB上的动点，连接CD，以AD、CD为边作平行四边形ADCE，则DE长的最小值为三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（吉林二模）如图，平行四边形ABCD，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE与DC相交于点O．求证：△BOC≌△EOD．20．（赣榆区期中）如图，在▱ABCD中，E为BC边上一点，且AB＝AE．（1）求证：△ABC≌△EAD；（2）若∠B＝65°，∠EAC＝25°，求∠AED的度数．21．（开福区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E为AD的中点，延长CE交BA的延长线于点F．（1）求证：AB＝AF；（2）若BC＝2AB，∠BCD＝100°，求∠ABE的度数．22．（宿松县模拟）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB边上一点，CE＝AB，DF⊥BC，垂足为点F，交CE于点G，连接DE，EF．（1）求证：∠AED＝90°−12∠（2）若点E是AB边的中点，求证：∠EFB=12∠23．（射阳县二模）如图，在▱ABCD中，点E为BC上一点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，AD＝DF，连接DE．（1）求证：AE平分∠BAD；（2）若点E为BC中点，∠B＝60°，AD＝4，求▱ABCD的面积．24．（江都区二模）如图，四边形ABCD为平行四边形，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．（1）求证：△ABE≌△FCE；（2）过点D作DG⊥AE于点G，H为DG的中点．判断CH与DG的位置关系，并说明理由．

平行四边形的性质-专题训练（解析版）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（朝阳区校级月考）平行四边形的一边长为10，那么它的两条对角线的长可以是（）A．4和6 B．6和8 C．8和12 D．20和30【分析】根据平行四边形的性质中，两条对角线的一半和一边构成三角形，利用三角形三边关系判断可知．【解析】如图，BC＝10cm，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=12BD，OC=A、若AC＝4，BD＝6，则OB＝3，OC＝2，∵2+3＜10，不能组成三角形，故本选项错误；B、若AC＝6，BD＝8，则OB＝4，OC＝3，∵3+4＜10，∴不能组成三角形，故本选项错误；C、若AC＝8，BD＝12，则OB＝6，OC＝4，∵4+6＝10，不能组成三角形，故本选项错误；D、若AC＝20，BD＝30，则OB＝15，OC＝10，∵15﹣10＜10＜15+10，能组成三角形，故本选项正确．故选：D．2．（河南模拟）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，AF⊥CD，垂足为F．若AE：AF＝2：3，▱ABCD的周长为10，则AB的长为（）A．2 B．2.5 C．3 D．3.5【分析】根据平行四边形的对边相等，可知一组邻边的和就是其周长的一半．根据平行四边形的面积，可知平行四边形的一组邻边的比和它的高成反比．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∴BC+CD＝10÷2＝5，根据平行四边形的面积公式，得BC：CD＝AF：AE＝3：2．∴BC＝3，CD＝2，∴AB＝CD＝2，故选：A．3．（句容市期中）如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，GH∥AB．分别交AB、CD、AD、BC于E、F、G、H，连接PB．若AE＝3，PF＝8．则图中阴影部分的面积为（）A．8 B．12 C．16 D．24【分析】注意到易证得△AEP∽△CFP，则有AEFC=PEPF，整理得，FC•PE＝AE•PF＝8×3＝24，而阴影部分的面积为12•BE•PE，由四边形ABCD为矩形，则BE＝FC，即阴影部分的面积为12【解析】∵矩形ABCD的对角线AC∴∠EAP＝∠FCP∴△AEP∽△CFP∴AE∴FC•PE＝AE•PF＝8×3＝24∵EF∥BC∴四边形EFCB为矩形∴EB＝FC∵阴影部分的面积为12•BE•∴阴影部分的面积为12•BE•PE=12•FC•故选：B．4．（红安县期中）如图，在平行四边形ABCD中，CD＝2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连接EF、BF，下列结论：①∠ABC＝2∠ABF；②EF＝BF；③S四DEBC＝2S△EFB；④∠CFE＝3∠DEF；其中正确结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．想办法证明EF＝FG，BE⊥BG，四边形BCFH是菱形即可解决问题．【解析】如图，延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H，连接FH．∵CD＝2AD，DF＝FC，∴CF＝CB，∴∠CFB＝∠CBF，∵CD∥AB，∴∠CFB＝∠FBH，∴∠CBF＝∠FBH，∴∠ABC＝2∠ABF．故①正确，∵DE∥CG，∴∠D＝∠FCG，在△DFE和△CFG中，∠D=∠FCG∴△DFE≌△FCG（ASA），∴FE＝FG，∵BE⊥AD，∴∠AEB＝90°，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBG＝90°，∴BF＝EF＝FG，故②正确，∵S△DFE＝S△CFG，∴S四边形DEBC＝S△EBG＝2S△BEF，故③正确，∵AH＝HB，DF＝CF，AB＝CD，∴CF＝BH，∵CF∥BH，∴四边形BCFH是平行四边形，∵CF＝BC，∴四边形BCFH是菱形，∴∠BFC＝∠BFH，∵FE＝FB，FH∥AD，BE⊥AD，∴FH⊥BE，∴∠BFH＝∠EFH＝∠DEF，∴∠EFC＝3∠DEF，故④正确，故选：D．5．（温州月考）如图，在▱ABCD中，BE⊥CD，BF⊥AD，∠EBF＝45°，CE＝3，DF＝1，则▱ABCD的面积是（）A．18﹣32 B．15+32 C．15﹣32 D．18+32【分析】在四边形BEDF中，由四边形的内角和为360°及已知条件求出∠D＝135°，根据平行四边形的性质求出∠A＝∠C＝45°，利用直角三角形的性质求出BC＝AD＝32，进而求出面积即可．【解析】∵BE⊥CD，BF⊥AD，∴∠BEC＝90°，∠BED＝∠BFD＝90°，∵∠EBF＝45°，∴∠D＝360°﹣90°﹣90°﹣45°＝135°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，∴∠C＝180°﹣∠D＝45°，∴∠A＝∠C＝45°，∵CE＝3，∴BE＝EC＝3，∴BC＝32，∵DF＝1，∴AF＝BF＝32−∴▱ABCD的面积是AD×BF＝32×（32−1）＝18﹣3故选：A．6．（泉港区一模）如图，E、F在▱ABCD的对角线AC上，AE＝EF＝CD，∠ADF＝90°，∠BCD＝54°，则∠ADE的大小为（）A．46° B．27° C．28° D．18°【分析】设∠ADE＝x，由等腰三角形的性质和直角三角形得出∠DAE＝∠ADE＝x，DE=12AF＝AE＝EF，得出DE＝CD，证出∠DCE＝∠DEC＝2x，由平行四边形的性质得出∠DCE＝∠BCD﹣∠BCA＝54°﹣【解析】设∠ADE＝x，∵AE＝EF，∠ADF＝90°，∴∠DAE＝∠ADE＝x，DE=12AF＝AE＝∵AE＝EF＝CD，∴DE＝CD，∴∠DCE＝∠DEC＝2x，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠BCA＝x，∴∠DCE＝∠BCD﹣∠BCA＝54°﹣x，∴2x＝54°﹣x，解得：x＝18°，即∠ADE＝18°；故选：D．7．（宁波模拟）如图，平行四边形纸片ABCD和EFGH上下叠放，AD∥EH且AD＝EH，CE交GH于点O，已知S▱ABCD＝a，S▱EFGH＝b（a＜b），则S阴影为（）A．b﹣a B．12（b﹣a） C．12a D．【分析】证△EHO≌△CBO（AAS），得出图中阴影部分面积的是平行四边形EHGF的一半解答即可．【解析】∵平行四边形纸片ABCD和EFGH上下叠放，AD∥EH且AD＝EH，∴EH＝BC，EH∥BC，∴∠EHO＝∠CBO，在△EHO与△CBO中，∠HOE=∠BOC∠EHO=∠CBO∴△EHO≌△CBO（AAS），∴△EHO面积＝△CBO面积，∴S阴影＝S△EGH=12S▱EFGH=故选：D．8．（太仓市期中）如图所示，平行四边形ABCD中，AC＝4cm，BD＝6cm，则边AD的长可以是（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm【分析】根据三角形的三边关系求出AD的范围即可判断；【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝4cm，BD＝6cm，∴OA=12AC＝2，OD=∴1＜AD＜5，只有4cm适合，故选：A．9．（东台市期中）如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点坐标分别为A（3，a），B（2，2），C（b，3），D（8，6），则a+b的值为（）A．8 B．9 C．12 D．11【分析】利用中点坐标公式，构建方程求出a、b即可．【解析】如图，连接AC、BD交于点O′．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO′＝O′C，BO′＝O′D，∵A（3，a），B（2，2），C（b，3），D（8，6），∴3+b2=2+8∴a＝5，b＝7，∴a+b＝12，故选：C．10．（江都区期末）如图，在▱ABCD中，∠ABC＝45°，BC＝4，点F是CD上一个动点，以FA、FB为邻边作另一个▱AEBF，当F点由D点向C点运动时，下列说法正确的选项是（）①▱AEBF的面积先由小变大，再由大变小②▱AEBF的面积始终不变③线段EF最小值为42A．① B．② C．①③ D．②③【分析】过点C作CG⊥AB于点G，根据三角形的面积公式知△ABF的面积始终不变化，进而根据平行四边形与三角形的面积关系得出▱AEBF的面积始终不变，便可判断①、②的正误；连接EF，与AB交于点H，由于EF始终经过AB的中点H，当FH与AB垂直时，EF的值最小，求出此时的EF的值便可．【解析】过点C作CG⊥AB于点G，则S△ABF∵AB与CG的值始终不变化，∴△ABF的面积始终不变化，∵▱AEBF的面积＝2×△ABF的面积，∴▱AEBF的面积始终不变∴①错误，②正确；连接EF，与AB交于点H，∵四边形AEBF是平行四边形，∴AH＝BH，EH＝FH，当FH⊥AB时，FH的值最小，EF＝2FH的值也最小，此时，FH＝CG，∵∠ABC＝45°，CG⊥AB，∴BG＝CG，∵BG2+CG2＝BC2＝16，∴CG=22∴FH=22∴线段EF最小值为EF＝2FH＝42．∴③正确，故选：D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（渝中区校级期末）如图，已知▱ABCD的周长为18cm，BC＝2AB，∠A＝2∠B，则▱ABCD的面积为93cm2．【分析】根据▱ABCD的周长为18cm，BC＝2AB，∠A＝2∠B，可求得AB和BC，在Rt△ABE中可求得AE，可求出四边形ABCD的面积．【解析】如图，过点A作AE⊥BC于点E，∵▱ABCD的周长为18cm，BC＝2AB，∴2（AB+BC）＝18，∴6AB＝18，∴AB＝3，∴BC＝6，∵∠A+∠B＝180°，∠A＝2∠B，∴3∠B＝180°，∴∠B＝60°，∴AE=3∴▱ABCD的面积为：BC•AE＝6×332=93故答案为：93．12．（江干区校级期末）在▱ABCD中，AB＝3，∠ABC的平分线交平行四边形的边于点E，若DE＝1，则▱ABCD的周长是14．【分析】由平行四边形ABCD得到AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，再和已知BE平分∠ABC，进一步推出∠ABE＝∠AEB，即AB＝AE＝3，即可求出AB、AD的长，就能求出答案．【解析】如图，∵BE为∠ABC的平分线，∴∠ABE＝∠EBC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBC，∴∠AEB＝∠ABE，∴AE＝AB＝3，∴AD＝AE+DE＝4，∴▱ABCD的周长＝2（AB+AD）＝14，故答案为14．13．（南岗区期末）在▱ABCD中，∠A＝30°，AD＝43，连接BD，若BD＝4，则线段CD的长为4或8．【分析】作DE⊥AB于E，由直角三角形的性质得出DE=12AD＝23，由勾股定理得出AE=3DE＝6，BE=BD2−DE2=2，得出AB＝【解析】作DE⊥AB于E，如图所示：∵∠A＝30°，∴DE=12AD＝2∴AE=3DE＝6，BE=∴AB＝AE﹣BE＝4，或AB＝AE+BE＝8，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝4或8；故答案为：4或8．14．（岳麓区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，AC的垂直平分线交AD于点E，则△CDE的周长为10．【分析】根据平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质即可求出△CDE的周长．【解析】∵四边形ABCD平行四边形，∴AB＝DC＝4，BC＝AD＝6，∵AC的垂直平分线交AD于点E，∴EA＝EC，∴DE+EC＝DE+EA＝AD＝6，则△CDE的周长为：DE+EC+DC＝AD+DC＝6+4＝10．故答案为：10．15．（渝中区校级一模）在▱ABCD中，AB＜BC，对角线AC的垂直平分线交AD于点E，连结CE，若▱ABCD的周长为20cm，则△CDE的周长为10cm．【分析】根据线段垂直平分线的性质和平行四边形的性质解答即可．【解析】∵对角线AC的垂直平分线交AD于点E，∴AE＝CE，∵▱ABCD的周长为20cm，∴AD+DC＝10cm，∴△CDE的周长＝DE+CE+CD＝AE+DE+CD＝AD+CD＝10cm，故答案诶：10．16．（江都区月考）▱ABCD中，对角线AC和BD相交于O，如果AC＝10，BD＝6，AB＝m，那么m的取值范围是2＜m＜8．【分析】根据平行四边形的性质求出OA、OB，根据三角形的三边关系定理得到OB﹣OA＜m＜OA+OB，代入求出即可求得m的取值范围．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝10，BD＝6，∴OA＝OC＝5，OD＝OB＝3，在△OAB中，OB﹣OA＜m＜OA+OB，∴5﹣3＜m＜5+3，∴2＜m＜8，故答案为：2＜m＜8．17．（亭湖区校级期中）如图，平行四边形中，∠ADC＝118°，BE⊥DC于点E，DF⊥BC于点F，BE与DF交于点H，则∠BHF＝62度．【分析】直接利用平行四边形的性质以及结合三角形内角和定理得出答案．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，DC∥AB，∵∠ADC＝118°，DF⊥BC，∴∠ADF＝90°，则∠EDH＝28°，∵BE⊥DC，∴∠DEH＝90°，∴∠DHE＝∠BHF＝90°﹣28°＝62°．故答案为：62．18．（海陵区校级期末）如图，在△ABC中，AC=43，∠CAB＝30°，D为AB上的动点，连接CD，以AD、CD为边作平行四边形ADCE，则DE长的最小值为23【分析】取AC的中点O，当OD⊥AB时，DE的长最小，根据含30°的直角三角形的性质可求OD，即可得出DE的最小值．【解析】如图，取AC的中点O，当OD⊥AB时，DE的长最小，∵AC=43∴AO＝23，∵∠CAB＝30°，∴OD=3∴DE长的最小值为23故答案为：23．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（吉林二模）如图，平行四边形ABCD，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE与DC相交于点O．求证：△BOC≌△EOD．【分析】根据平行四边形性质得出AD＝BC，AD∥BC，推出∠EDO＝∠BCO，∠DEO＝∠CBO，求出DE＝BC，根据ASA推出两三角形全等即可．【解析】证明：∵在平行四边形ABCD中，AD＝BC，AD∥BC，∴∠EDO＝∠BCO，∠DEO＝∠CBO，∵DE＝AD，∴DE＝BC，在△BOC和△EOD中，∵∠OBC=∠OEDBC=DE∴△BOC≌△EOD（ASA）．20．（赣榆区期中）如图，在▱ABCD中，E为BC边上一点，且AB＝AE．（1）求证：△ABC≌△EAD；（2）若∠B＝65°，∠EAC＝25°，求∠AED的度数．【分析】（1）先证明∠B＝∠EAD，然后利用SAS可进行全等的证明；（2）先根据等腰三角形的性质可得∠BAE＝50°，求出∠BAC的度数，即可得∠AED的度数．【解析】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝AD，∴∠EAD＝∠AEB，又∵AB＝AE，∴∠B＝∠AEB，∴∠B＝∠EAD，在△ABC和△EAD中，AB=AE∠ABC=∠EAD∴△ABC≌△EAD（SAS）．（2）解：∵AB＝AE，∴∠B＝∠AEB，∴∠BAE＝50°，∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝50°+25°＝75°，∵△ABC≌△EAD，∴∠AED＝∠BAC＝75°．21．（开福区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E为AD的中点，延长CE交BA的延长线于点F．（1）求证：AB＝AF；（2）若BC＝2AB，∠BCD＝100°，求∠ABE的度数．【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，点E为AD的中点，易证得△DEC≌△AEF（AAS），继而可证得DC＝AF，又由DC＝AB，证得结论；（2）由（1）可知BF＝2AB，EF＝EC，然后由∠BCD＝100°求得BE平分∠CBF，继而求得答案．【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB，CD∥AB，∴∠DCE＝∠F，∠FBC+∠BCD＝180°，∵E为AD的中点，∴DE＝AE．在△DEC和△AEF中，∠DCE=∠F∠DEC=∠AEF∴△DEC≌△AEF（AAS）．∴DC＝AF．∴AB＝AF；（2）由（1）可知BF＝2AB，EF＝EC，∵∠BCD＝100°，∴∠FBC＝180°﹣100°＝80°，∵BC＝2AB，∴BF＝BC，∴BE平分∠CBF，∴∠ABE=12∠FBC22．（宿松县模拟）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB边上一点，CE＝AB，DF⊥BC，垂足为点F，交CE于点G，连接DE，EF．（1）求证：∠AED＝90°−12∠（2）若点E是AB边的中点，求证：∠EFB=12∠【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠CDE＝∠CED=180°−∠DCE2=90