专题15 三角形的概念和性质（讲义）

专题15三角形的概念和性质核心知识点精讲复习目标1.理解三角形有关的中线、角平分线、高线，并会作三角形的中线、角平分线、高线：2.理解并掌握三角形的中位线的性质：3.理解三角形的三边关系，并能确定三角形第三边的取值范围：4.掌握三角形的内角和定理，并会证明三角形的内角和定理：5.能利用三角形的外角进行角的有关计算与证明。考点梳理考点1：三角形边角关系（1）三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。（2）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180度。（3）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个角。考点2：三角形的重要线段考点3：三角形的内角和定理及推论①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180度。②推论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个角。③直角三角形的两个锐角互余。典例引领【题型1：三角形的三边关系】【典例1】（2023•宿迁）以下列每组数为长度（单位：cm）的三根小木棒，其中能搭成三角形的是（）A．2，2，4 B．1，2，3 C．3，4，5 D．3，4，8即时检测1．（2023•长沙）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．1，3，4 B．2，2，7 C．4，5，7 D．3，3，62．（2023•福建）若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是（）A．1 B．5 C．7 D．93．（2023•金华）在下列长度的四条线段中，能与长6cm，8cm的两条线段围成一个三角形的是（）A．1cm B．2cm C．13cm D．14cm典例引领【题型2：三角形内角和定理及推论】【典例2】（2021•辽宁）一副三角板如图所示摆放，若∠1＝80°，则∠2的度数是（）A．80° B．95° C．100° D．110°即时检测1．（2023•遂宁）若三角形三个内角的比为1：2：3，则这个三角形是三角形．2.（2023•徐州）如图，在△ABC中，若DE∥BC，FG∥AC，∠BDE＝120°，∠DFG＝115°，则∠C＝°．3．（2021•毕节市）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（）A．70° B．75° C．80° D．85°典例引领【题型3：三角形中的重要线段】【典例3】（2022•哈尔滨）在△ABC中，AD为边BC上的高，∠ABC＝30°，∠CAD＝20°，则∠BAC是度．即时检测1．（2021•雅安）如图，将△ABC沿BC边向右平移得到△DEF，DE交AC于点G．若BC：EC＝3：1．S△ADG＝16．则S△CEG的值为（）A．2 B．4 C．6 D．82．（2023•攀枝花）如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则∠EBC＝．3．（2022•陕西）如图，AD是△ABC的中线，AB＝4，AC＝3．若△ACD的周长为8，则△ABD的周长为．基础过关一．选择题（共11小题）1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，DF∥EB．若∠D＝70°，则∠ACD的度数为（）A．30° B．35° C．40° D．45°2．如图，AB∥CD，点E在BC上，且CD＝CE，∠D＝74°，则∠B的度数为（）A．74° B．32° C．22° D．16°3．AD是∠CAE的平分线，∠B＝35°，∠DAE＝60°，则∠ACD＝（）A．25° B．60° C．85° D．95°4．若一个三角形的两边长分别为2cm，7cm，则它的第三边的长可能是（）A．2cm B．3cm C．6cm D．9cm5．如图，直线a∥b，在Rt△ABC中，点C在直线a上，若∠1＝58°，∠2＝24°，则∠B的度数为（）A．56° B．34° C．36° D．24°6．如图所示在△ABC中，AB边上的高线画法正确的是（）A． B． C． D．7．如图，一副三角板拼成如图所示图形，则∠BAC的度数为（）A．75° B．60° C．105° D．120°8．下列图形中，是直角三角形的是（）A． B．C． D．9．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，CD为∠ACB的平分线，CE⊥AB于点E，则∠ECD度数为（）A．5° B．8° C．10° D．12°10．一副直角三角板按如图所示方式摆放，图中∠α的度数为（）A．65° B．67.5° C．75° D．80°11．一副三角板按如图方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数小20°，则∠2的度数为（）A．35° B．40° C．45° D．55°二．填空题（共3小题）12．如图，AD是△ABC的中线，若AB＝6，AC＝5，则△ABD与△ACD的周长之差为．13．将一副三角板如图所示放置，使点D在BC上，DC∥AE，则∠EFB的度数为．14．一块板材如图所示，测得∠B＝90°，∠A＝20°，∠C＝35°，根据需要∠ADC为140°，师傅说板材不符合要求且只能改动∠A，则可将∠A（选填“增加”或“减少”）．三．解答题（共2小题）15．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，CD交边AB于点E，在边AE上取点F，连结DF，使∠1＝∠D．（1）求证：DF∥BC：（2）当∠A＝40°，∠DFE＝36°时，求∠2的度数．16．如图所示，在△ABC中，AD是角平分线，∠B＝50°，∠C＝70°．（1）求∠ADB的度数：（2）若DE⊥AC，求∠EDC的度数．能力提升一．选择题（共4小题）1．如图，在△ABC中，以点B为圆心，AB为半径画弧交BC于点D，以点C为圆心，AC为半径画弧交BC于点E，连接AE，AD．设∠EAD＝α，∠ACB＝β，则∠B的度数为（）A．α﹣ B．2α﹣β C．α+ D．3α﹣β2．如图，在△ABC中，∠B+∠C＝α，按图进行翻折，使B'D∥C'G∥BC，B'E∥FG，则∠C'FE的度数是（）A． B．90°﹣ C．α﹣90° D．2α﹣180°3．如图所示，将含角45°的直角三角板与含60°角的直角三角板叠放在一起，若∠1＝70°，则∠2的度数为（）A．85° B．60° C．50° D．95°4．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2正确的是（）A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④二．填空题（共3小题）5．若△ABC三条边长为a，b，c，化简：|a﹣b﹣c|﹣|a+c﹣b|＝．6．如图，在△ABC中，BE，CD分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且BE，CD相交于一点P，若∠A＝50°，则∠BPC＝．7．如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＝70°，∠D＝10°，则∠P的度数为．三．解答题（共2小题）8．如图所示，在△ABC中，BO、CO是角平分线．（1）∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠BOC的度数，并说明理由．（2）题（1）中，如将“∠ABC＝50°，∠ACB＝60°”改为“∠A＝70°”，求∠BOC的度数．（3）若∠A＝n°，求∠BOC的度数．9．如图，在△ABC中，BD，CD分别是∠ABC，∠ACB的平分线，BP，CP分别是∠EBC，∠FCB的平分线．（1）当∠ABC＝64°，∠ACB＝66°时，∠D＝°，∠P＝°：（2）∠A＝56°，求∠D，∠P的度数：（3）请你猜想，当∠A的大小变化时，∠D+∠P的值是否变化？请说明理由．真题感知1．（2022•淮安）下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．3，3，6 B．3，5，10 C．4，6，9 D．4，5，92．（2022•玉林）请你量一量如图△ABC中BC边上的高的长度，下列最接近的是（）A．0.5cm B．0.7cm C．1.5cm D．2cm3．（2022•杭州）如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（）A．线段CD是△ABC的AC边上的高线 B．线段CD是△ABC的AB边上的高线 C．线段AD是△ABC的BC边上的高线 D．线段AD是△ABC的AC边上的高线4．（2023•十堰）一副三角板按如图所示放置，点A在DE上，点F在BC上，若∠EAB＝35°，则∠DFC＝．5．（2022•常州）如图，在△ABC中，E是中线AD的中点．若△AEC的面积是1，则△ABD的面积是．

专题15三角形的概念和性质核心知识点精讲典例引领【题型1：三角形的三边关系】【典例1】（2023•宿迁）以下列每组数为长度（单位：cm）的三根小木棒，其中能搭成三角形的是（）A．2，2，4 B．1，2，3 C．3，4，5 D．3，4，8【答案】C【解答】解：∵2+2＝4，∴A不能构成三角形：∵1+2＝3，∴B不能构成三角形：∵3+4＞5，4﹣3＜5，∴C能构成三角形：∵3+4＜8，∴D不能构成三角形．故答案为：C．即时检测1．（2023•长沙）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．1，3，4 B．2，2，7 C．4，5，7 D．3，3，6【答案】C【解答】解：∵1+3＝4，∴1，3，4不能组成三角形，故A选项不符合题意：∵2+2＜7，∴2，2，7不能组成三角形，故B不符合题意：∵4+5＞7，∴4，5，7能组成三角形，故C符合题意：∵3+3＝6，∴3，3，6不能组成三角形，故D不符合题意，故选：C．2．（2023•福建）若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是（）A．1 B．5 C．7 D．9【答案】B【解答】解：根据三角形的三边关系定理得：4﹣3＜m＜4+3，解得：1＜m＜7，即符合的只有5，故选：B．3．（2023•金华）在下列长度的四条线段中，能与长6cm，8cm的两条线段围成一个三角形的是（）A．1cm B．2cm C．13cm D．14cm【答案】C【解答】解：设第三条线段长为xcm，由题意得：8﹣6＜x＜8+6，解得：2＜x＜14，只有13cm适合，故选：C．典例引领【题型2：三角形内角和定理及推论】【典例2】（2021•辽宁）一副三角板如图所示摆放，若∠1＝80°，则∠2的度数是（）A．80° B．95° C．100° D．110°【答案】B【解答】解：如图，∠5＝90°﹣30°＝60°，∠3＝∠1﹣45°＝35°，∴∠4＝∠3＝35°，∴∠2＝∠4+∠5＝95°，故选：B．即时检测1．（2023•遂宁）若三角形三个内角的比为1：2：3，则这个三角形是直角三角形．【答案】直角．【解答】解：设这个三角形最小的内角是x°，则另外两内角的度数分别为2x°，3x°，根据题意得：x+2x+3x＝180，解得：x＝30，∴3x°＝3×30°＝90°，∴这个三角形是直角三角形．故答案为：直角．2.（2023•徐州）如图，在△ABC中，若DE∥BC，FG∥AC，∠BDE＝120°，∠DFG＝115°，则∠C＝55°．【答案】55．【解答】解：∵DE∥BC，∠BDE＝120°，∴∠B＝180°﹣120°＝60°，∵FG∥AC，∠DFG＝115°，∴∠A＝180°﹣115°＝65°，∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠A＝55°，故答案为：55．3．（2021•毕节市）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（）A．70° B．75° C．80° D．85°【答案】B【解答】解：如图，∵∠2＝90°﹣30°＝60°，∴∠3＝180°﹣45°﹣60°＝75°，∵a∥b，∴∠1＝∠3＝75°，故选：B．典例引领【题型3：三角形中的重要线段】【典例3】（2022•哈尔滨）在△ABC中，AD为边BC上的高，∠ABC＝30°，∠CAD＝20°，则∠BAC是80或40度．【答案】80或40．【解答】解：当△ABC为锐角三角形时，如图，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣30°﹣90°＝60°，∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝60°+20°＝80°：当△ABC为钝角三角形时，如图，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣30°﹣90°＝60°，∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝60°﹣20°＝40°．综上所述，∠BAC＝80°或40°．故答案为：80或40．即时检测1．（2021•雅安）如图，将△ABC沿BC边向右平移得到△DEF，DE交AC于点G．若BC：EC＝3：1．S△ADG＝16．则S△CEG的值为（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【解答】解：由平移性质可得，AD∥BE，AD＝BE，∴△ADG∽△CEG，∵BC：EC＝3：1，∴BE：EC＝2：1，∴AD：EC＝2：1，∴＝4，∵S△ADG＝16，∴S△CEG＝4，故选：B．2．（2023•攀枝花）如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则∠EBC＝10°．【答案】10°．【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝40°，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∴∠EBA＝∠A＝40°，∴∠EBC＝∠ABC﹣∠EBA＝50°﹣40°＝10°，故答案为：10°．3．（2022•陕西）如图，AD是△ABC的中线，AB＝4，AC＝3．若△ACD的周长为8，则△ABD的周长为9．【答案】9．【解答】解：∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，∵△ACD的周长为8，∴AC+CD+AD＝8，∵AC＝3，∴BD+AD＝5，∵AB＝4，∴AB+BD+AD＝9．故答案为：9．基础过关一．选择题（共11小题）1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，DF∥EB．若∠D＝70°，则∠ACD的度数为（）A．30° B．35° C．40° D．45°【答案】A【解答】解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，∴∠A＝40°，∵DF∥EB，∠D＝70°，∴∠D＝∠CEB＝70°，∴∠ACD＝∠CEB﹣∠A＝70°﹣40°＝30°，故选：A．2．如图，AB∥CD，点E在BC上，且CD＝CE，∠D＝74°，则∠B的度数为（）A．74° B．32° C．22° D．16°【答案】B【解答】解：∵CD＝CE，∠D＝74°，∴∠DEC＝∠D＝74°，∴∠C＝180°﹣74°﹣74°＝32°，∵AB∥CD，∴∠B＝∠C＝32°，故选：B．3．AD是∠CAE的平分线，∠B＝35°，∠DAE＝60°，则∠ACD＝（）A．25° B．60° C．85° D．95°【答案】D【解答】解：∵AD是∠CAE的平分线，∴∠EAC＝2∠DAE＝120°，∴∠ACB＝∠EAC﹣∠B＝85°，∴∠ACD＝180°﹣85°＝95°，故选：D．4．若一个三角形的两边长分别为2cm，7cm，则它的第三边的长可能是（）A．2cm B．3cm C．6cm D．9cm【答案】C【解答】解：设第三边长为xcm，根据三角形的三边关系可得：7﹣2＜x＜7+2，解得：5＜x＜9，故选：C．5．如图，直线a∥b，在Rt△ABC中，点C在直线a上，若∠1＝58°，∠2＝24°，则∠B的度数为（）A．56° B．34° C．36° D．24°【答案】A【解答】解：如图，∵a∥b，∠1＝58°，∴∠CDE＝∠1＝58°，∵∠CDE＝∠2+∠A，∠2＝24°，∴∠A＝∠CDE﹣∠2＝34°，∵△ABC为直角三角形，∴∠ACB＝90°，∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣34°＝56°，故选：A．6．如图所示在△ABC中，AB边上的高线画法正确的是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：在△ABC中，AB边上的高线画法正确的是B，故选：B．7．如图，一副三角板拼成如图所示图形，则∠BAC的度数为（）A．75° B．60° C．105° D．120°【答案】A【解答】解：∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠BAC＝180°﹣45°﹣60°＝75°，故选：A．8．下列图形中，是直角三角形的是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：A、第三个角的度数是180°﹣60°﹣60°＝60°，是等边三角形，不符合题意：B、第三个角的度数是180°﹣55.5°﹣34.5°＝90°，是直角三角形，符合题意：C、第三个角的度数是180°﹣30°﹣30°＝120°，是钝角三角形，不符合题意：D、第三个角的度数是180°﹣40°﹣62.5°＝77.5°，不是直角三角形，不符合题意：故选：B．9．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，CD为∠ACB的平分线，CE⊥AB于点E，则∠ECD度数为（）A．5° B．8° C．10° D．12°【答案】C【解答】解：在△ABC中，∵∠A＝30°，∠B＝50°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝100°．∵CD是∠ACB的平分线，∴∠ACD＝∠ACB＝50°．∵CE⊥AB于点E，∴∠CEB＝90°．∴∠ACE＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°，∴∠DCE＝∠ACE﹣∠ACD＝60°﹣50°＝10°．故选：C．10．一副直角三角板按如图所示方式摆放，图中∠α的度数为（）A．65° B．67.5° C．75° D．80°【答案】C【解答】解：∵∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠ACD＝∠CED+∠CDE，∴∠CDE＝∠ACD﹣∠CED＝45°﹣30°＝15°，∵∠α＝∠ADE﹣∠CDE＝90°﹣15°＝75°，故选：C．11．一副三角板按如图方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数小20°，则∠2的度数为（）A．35° B．40° C．45° D．55°【答案】D【解答】解：由题意解得∠2＝55°．故选：D．二．填空题（共3小题）12．如图，AD是△ABC的中线，若AB＝6，AC＝5，则△ABD与△ACD的周长之差为1．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵AD是△ABC的中线，∴BD＝DC，∵AB＝6，AC＝5，∴△ABD与△ACD的周长之差为：（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+DC）＝AB﹣AC＝6﹣5＝1，故答案为：1．13．将一副三角板如图所示放置，使点D在BC上，DC∥AE，则∠EFB的度数为75°．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵DC∥AE，∴∠BDF＝∠E＝45°，∵∠B＝30°，∴∠BFE＝∠B+∠BDF＝30°+45°＝75°．故答案为：75°．14．一块板材如图所示，测得∠B＝90°，∠A＝20°，∠C＝35°，根据需要∠ADC为140°，师傅说板材不符合要求且只能改动∠A，则可将∠A减少（选填“增加”或“减少”）．【答案】减少．【解答】解：延长CD交AB于点E，∵∠ADC＝∠A+∠CEA，∠CEA＝∠B+∠C，∴∠ADC＝∠A+∠B+∠C，∵∠B＝90°，∠A＝20°，∠C＝35°，∴∠ADC＝20°+90°+35°＝145°，∵∠ADC＝140°，∴可将∠A减少5°．故答案为：减少．三．解答题（共2小题）15．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，CD交边AB于点E，在边AE上取点F，连结DF，使∠1＝∠D．（1）求证：DF∥BC：（2）当∠A＝40°，∠DFE＝36°时，求∠2的度数．【答案】（1）证明见解答过程：（2）88°．【解答】（1）证明：∵CD平分∠ACB，∴∠DCB＝∠1，又∠1＝∠D，∴∠DCB＝∠D，∴DF∥BC．（2）∵DF∥BC，∠DFE＝36°，∴∠B＝∠DFE＝36°，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝36°，∴∠ACB＝180°﹣40°﹣36°＝104°，又∵CD平分∠ACB，∴∠1＝∠ACB＝52°，∴∠2＝180°﹣40°﹣52°＝88°．16．如图所示，在△ABC中，AD是角平分线，∠B＝50°，∠C＝70°．（1）求∠ADB的度数：（2）若DE⊥AC，求∠EDC的度数．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，∴∠BAC＝180°﹣50°﹣70°＝60°，∵AD是角平分线，∴∠BAD＝×60°＝30°，∴∠ADB＝180°﹣∠B﹣∠BAD＝180°﹣50°﹣30°＝100°：（2）∵DE⊥AC，∴∠DEC＝90°，∴∠EDC＝90°﹣∠C＝90°﹣70°＝20°能力提升一．选择题（共4小题）1．如图，在△ABC中，以点B为圆心，AB为半径画弧交BC于点D，以点C为圆心，AC为半径画弧交BC于点E，连接AE，AD．设∠EAD＝α，∠ACB＝β，则∠B的度数为（）A．α﹣ B．2α﹣β C．α+ D．3α﹣β【答案】B【解答】解：由题意得：BA＝BD，CA＝CE，∵CA＝CE，∠ACB＝β，∴＝，在△AED中，∠ADE＝180°﹣∠AED﹣∠EAD＝180°﹣＝90°+，∵BA＝BD，∴，在△BAD中，＝2α﹣β．故选：B．2．如图，在△ABC中，∠B+∠C＝α，按图进行翻折，使B'D∥C'G∥BC，B'E∥FG，则∠C'FE的度数是（）A． B．90°﹣ C．α﹣90° D．2α﹣180°【答案】D【解答】解：设∠ADB′＝γ，∠AGC′＝β，∠CEB′＝y，∠C′FE＝x，∵B'D∥C'G，∴γ+β＝∠B+∠C＝α，∵EB′∥FG，∴∠CFG＝∠CEB′＝y，∴x+2y＝180°①，∵γ+y＝2∠B，β+x＝2∠C，∴γ+y+β+x＝2α，∴x+y＝α②，②×2﹣①可得x＝2α﹣180°，∴∠C′FE＝2α﹣180°．故选：D．3．如图所示，将含角45°的直角三角板与含60°角的直角三角板叠放在一起，若∠1＝70°，则∠2的度数为（）A．85° B．60° C．50° D．95°【答案】D【解答】解：如图，∵∠1＝70°，∴∠3＝180°﹣60°﹣∠1＝50°，∵∠4＝45°，∴∠2＝∠3+∠4＝50°+45°＝95°，故选：D．4．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2正确的是（）A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④【答案】C【解答】解：∵CE为外角∠ACD的平分线，BE平分∠ABC，∴∠DCE＝∠ACD，∠DBE＝∠ABC，又∵∠DCE是△BCE的外角，∴∠2＝∠DCE﹣∠DBE，＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠1，故①正确：∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠OBC＝ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠1）＝90°+∠1，故②、③错误：∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD，∴∠ACO＝∠ACB，∠ACE＝ACD，∴∠OCE＝（∠ACB+∠ACD）＝×180°＝90°，∵∠BOC是△COE的外角，∴∠BOC＝∠OCE+∠2＝90°+∠2，故④正确：故选：C．二．填空题（共3小题）5．若△ABC三条边长为a，b，c，化简：|a﹣b﹣c|﹣|a+c﹣b|＝2b﹣2a．【答案】见试题解答内容【解答】解：根据三角形的三边关系得：a﹣b﹣c＜0，c+a﹣b＞0，∴原式＝﹣（a﹣b﹣c）﹣（a+c﹣b）＝﹣a+b+c﹣a﹣c+b＝2b﹣2a．故答案为：2b﹣2a6．如图，在△ABC中，BE，CD分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且BE，CD相交于一点P，若∠A＝50°，则∠BPC＝115°．【答案】115°．【解答】解：∵∠ABC、∠ACB的平分线BE、CD相交于点F，∴∠CBF＝∠ABC，∠BCF＝∠ACB，∵∠A＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝130°，∴∠BFC＝180°﹣（∠CBF+∠BCF）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝115°．故答案为：115°．7．如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＝70°，∠D＝10°，则∠P的度数为30°．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，延长PC交BD于E，∵∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，由三角形的内角和定理得，∠A+∠1＝∠P+∠3①，在△PBE中，∠5＝∠2+∠P，在△BCE中，∠5＝∠4﹣∠D，∴∠2+∠P＝∠4﹣∠D②，①﹣②得，∠A﹣∠P＝∠P+∠D，∴∠P＝（∠A﹣∠D），∵∠A＝70°，∠D＝10°，∴∠P＝（70°﹣10°）＝30°．故答案为：30°．三．解答题（共2小题）8．如图所示，在△ABC中，BO、CO是角平分线．（1）∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠BOC的度数，并说明理由．（2）题（1）中，如将“∠ABC＝50°，∠ACB＝60°”改为“∠A＝70°”，求∠BOC的度数．（3）若∠A＝n°，求∠BOC的度数．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，∵BO、CO是角平分线，∴∠ABC＝2∠1，∠ACB＝2∠2，∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，∴2∠1+2∠2+∠A＝180°，∵∠1+∠2+∠BOC＝180°，∴2∠1+2∠2+2∠BOC＝360°，∴2∠BOC﹣∠A＝180°，∴∠BOC＝90°+∠A，（1）∵∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，∴∠A＝180°﹣50°﹣60°＝70°，∴∠BOC＝90°+×70°＝125°：（2）∠BOC＝90°+∠A＝125°：（3）∠BOC＝90°+n°．9．如图，在△ABC中，BD，CD分别是∠ABC，∠ACB的平分线，BP，CP分别是∠EBC，∠FCB的平分线．（1）当∠ABC＝64°，∠ACB＝66°时，∠D＝115°，∠P＝65°：（2）∠A＝56°，求∠D，∠P的度数：（3）请你猜想，当∠A的大小变化时，∠D+∠P的值是否变化？请说明理由．【答案】（1）115，65：（2）∠D＝118°，∠P＝62°：（3）∠D+∠P的值不变．∠D+∠P＝180°，理由见解析．【解答】解：（1）∵BD，CD分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∠ABC＝64°，∠ACB＝66°，∴，∠EBC＝116°，∠BCF＝114°，∴∠D＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝115°：∵BP，CP分别是∠EBC，∠FCB的平分线，∴，∴∠P＝180°﹣∠CBP﹣∠BCP＝65°：（2）在△ABC中，∠ABC