三元一次方程组的解法（分层作业）（解析版）

第八章二元一次方程组8.4三元一次方程组的解法分层作业1．（2023春·江苏·七年级专题练习）已知，，，则等于（

）A．0 B．7 C．8 D．9【答案】A【分析】解三元一次方程求出x、y、z的值即可得到答案．【详解】解：得：，得：，解得，把代入到②③得：，解得，∴，故选A．【点睛】本题主要考查了解三元一次方程，正确求出x、y、z的值是解题的关键．2．（2023春·全国·七年级专题练习）一个三位数，各个数位上数字之和为10，百位数字比十位数字大1．如果百位数字与个位数字对调，则所得新数比原数的3倍还大61，那么原来的三位数是（

）A．325 B．217 C．433 D．541【答案】B【分析】此题首先要掌握数字的表示方法，每个数位上的数字乘以位数再相加，设个位、十位、百位上的数字为，则原来的三位数表示为：，新数表示为：,故根据题意列三元一次方程组即可求得．【详解】解：设个位、十位、百位上的数字为依题意得：,解得原来的三位数字是217故选：B【点睛】本题考查了三位数的表示方法和三元一次方程的解法，解答此题的关键是列出方程组，用代入消元法或加减消元法求出方程组的解．3．（2023春·四川内江·七年级校考阶段练习）有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件，共需64元；若购甲4件、乙10件、丙1件，共需79元；现购甲、乙、丙各一件，共需（

）元A．33 B．34 C．35 D．36【答案】B【分析】设购甲每件元，购乙每件元，购丙每件元．列方程组得：，然后求得的值．【详解】解：设购甲每件元，购乙每件元，购丙每件元．列方程组得：，①②得：．故选：B．【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用．根据系数特点，通过加减，得到一个整体，然后整体求解．4．（2023春·浙江·七年级专题练习）已知代数式，当时，其值为4；当时，其值为8；当时，其值为25；则当时，其值为（

）A．4 B．8 C．62 D．52【答案】D【分析】根据已知条件可知，由此解方程组求出a、b、c的值即可得到答案．【详解】解：由题意得用①+②得：④，用①×2+③得：⑤，用⑤－④得：，把代入④得：，解得，把，代入①得：，解得，∴当时，，故选D．【点睛】本题主要考查了代数式求值，解三元一次方程，正确建立三元一次方程组求出a、b、c的值是解题的关键．5．（2023春·全国·七年级专题练习）某商店有5袋面粉，各袋重量在25～30公斤之间，店里有一磅秤，但只有能称50～70公斤重量的秤砣，现要确定各袋面粉的重量，至少要称（

）A．7次 B．6次 C．5次 D．4次【答案】C【分析】根据题意，可以拿其中的任意三袋称一称，列三元一次方程组求解，另外两袋分别与已知重量的其中一袋一起称，即可求出其重量．【详解】解：拿出任意三袋，假设它们的重量分别为x千克、y千克、z千克，两两一称，记录下相应的重量，若分别等于a千克、b千克、c千克．则有方程组，容易求出x、y、z；另外两袋分别与已知重量的其中一袋一起称，即可求出其重量，所以需要称5次．故选：C．【点睛】本题考查了三元一次方程组的实际应用问题，能够运用数学知识解决实际生活中的问题，掌握三元一次方程组的解法是解题的关键．6．（2023春·浙江·七年级专题练习）有铅笔、作业本、签字笔三种学习用品．若购铅笔支，作业本本，签字笔支共需元；若购铅笔支，作业本本，签字笔支共需元，那么，购铅笔、作业本、签字笔各件共需(

)A．元 B．元 C．元 D．元【答案】D【分析】设购铅笔1支为x元，作业本1本为y元，签字笔1支为z元，根据“购铅笔支，作业本本，签字笔支共需元；若购铅笔支，作业本本，签字笔支共需元，”列出方程组，即可求解．【详解】解：设购铅笔1支为x元，作业本1本为y元，签字笔1支为z元，根据题意得：，由②-①得：，∴购铅笔、作业本、签字笔各件共需4.5元．故选：D【点睛】本题主要考查了三元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系，并利用整体思想解答是解题的关键．7．（2023春·全国·八年级期中）已知，则的相反数是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性，得出，解之得出、、的值，再把、、的值代入计算，得出的值，再根据相反数的定义，即可得出答案．【详解】解：在中，∵，，，，∴可得：，解得：，∴，∴的相反数是．故选：B【点睛】本题考查了算术平方根和绝对值的非负性、解三元一次方程组、求代数式的值、相反数，解本题的关键在得出、、的值．8．（2023春·七年级课时练习）根据舟山市政府疫情防控要求，所有进入舟山车辆要在金塘服务区下高速，接受防疫检查．已知金塘收费站出口有编号为①，②，③，④，⑤的五个收费出口，假定各收费出口每小时通过的车流量是不变的，同时开放其中两个收费出口，统计这两个出口1小时一共通过的汽车的数量记录如下收费出口编号①，②②，③③，④④，⑤⑤，①通过汽车数量（辆）8010070130120则下列说法错误的是：（

）A．①出口1小时通过汽车的数量最少；B．⑤出口1小时通过汽车的数量最多；C．②出口1小时通过汽车的数量是④出口的两倍：D．①和④出口1小时通过汽车的数量之和等于③出口1小时通过的汽车数量．【答案】D【分析】设金塘收费站出口有编号为①，②，③，④，⑤的五个收费出口每小时通过车的数量分别为a辆、b辆、c辆、d辆、e辆．根据表格中的数据列出方程组并解答．【详解】解：设金塘收费站出口有编号为①，②，③，④，⑤的五个收费出口每小时通过车的数量分别为a辆、b辆、c辆、d辆、e辆，根据题意，得．解得．所以a＜d＜c＜b＜e，b=2d，a+d＞c．所以①出口1小时通过汽车的数量最少，⑤出口1小时通过汽车的数量最多，②出口1小时通过汽车的数量是④出口的两倍，①和④出口1小时通过汽车的数量之和大于③出口1小时通过的汽车数量．观察选项，只有选项D符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查多元一次方程组，解题的关键的读懂题意，找到等量关系，列出方程组．9．（2023春·全国·七年级专题练习）已知、、满足，，则__．【答案】20【分析】仔细观察两个等式中的、、的系数知，两式相加得，由此即可解题．【详解】解：、、满足①，②，①②得：，即：，所以．故答案为：20．【点睛】本题考查的是解三元一次方程组．解答此题时，注意寻找其中的技巧，即两个等式相加后，恰好是的4倍．10．（2023春·四川内江·九年级四川省隆昌市第二中学校考阶段练习）有甲、乙、丙三种商品，如果购甲5件、乙3件、丙1件共需315元钱，购甲1件、乙3件、丙5件共需285元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需__________元钱；【答案】100【分析】先设一件甲商品x元，乙y元，丙z元，然后根据题意列出方程组，再解方程组即可求解．【详解】解：设一件甲商品x元，乙y元，丙z元，根据题意得：，由得：，，故答案为：100．【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，认真审题，弄清题意，正确列出方程组是解决本题的关键．11．（2023春·全国·七年级专题练习）若，那么代数式______．【答案】【分析】根据方程组的特点由，得，进而即可求解．【详解】根据题意，得由，得∴，故答案为：．【点睛】本题考查了解三元一次方程组，掌握加减消元法是解题的关键．12．（2023春·七年级课时练习）若三元一次方程组的解使，则的值是__________．【答案】【分析】先将三元一次方程组解得，代入即可求得的值．【详解】解：，得：，得：，解得，把代入得，，把代入得：，三元一次方程组的解为：，把代入得，，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查了解三元一次方程组，学会采用消元法和代入法解三元一次方程组是解题的关键．13．（2023春·七年级课时练习）在春节来临之际，京东商城推出、、三种礼盒，如果购买礼盒3盒、礼盒2盒和礼盒2盒，则需付人民币2200元；如果购买礼盒4盒、礼盒3盒和礼盒5盒，则需付人民币3150元；李老板预计购买礼盒5盒、礼盒4盒和礼盒8盒送亲戚朋友，则共需付人民币_______元．【答案】4100【分析】设礼盒元，礼盒元，礼盒元，根据题意列方程组，根据问题进行方程之间的结合；【详解】解：设礼盒元，礼盒元，礼盒元，由题意得，，得，，得，，故答案为：．【点睛】本题考查三元一次方程的应用，观察各未知数系数之间的关系是解题关键．14．（2023春·浙江·七年级专题练习）晨光文具店有一套体育用品：个排球，个足球和个篮球，一套售价元，也可以单独出售，如果单独出售，每个球只能用同一种面额的所有钞票去购买．小明共有元、元、元三种面额的钞票若干张，刚好购买一套体育用品，且最小面额的钞票的张数恰好等于另外两种面额钞票张数乘积的倍，则单独购买排球、足球或篮球，花钱最少的一个球的单价是____元．【答案】【分析】设元、元、元的钞票分别由、、张，根据数量关系列方程，根据题意解方程组即可求解．【详解】解：设元、元、元的钞票分别由、、张，∴，整理得，，当时，，不符合题意，舍去；当时，，不符合题意，舍去；当时，，不符合题意，舍去；当时，，；当时，，不符合题意，舍去；当时，，不符合题意，舍去；当时，，不符合题意，舍去；当时，，不符合题意，舍去；当时，，不符合题意，舍去；当时，，不符合题意，舍去；当时，，不符合题意，舍去；当时，，不符合题意，舍去；∴元、元、元的钞票分别由、、张，∴单独购买排球、足球或篮球，花钱最少的一个球的单价元，故答案为：．【点睛】本题主要考查三元一次方程组的应用，找出数量关系，列出方程，并根据实际情况讨论各未知数的取值是解题的关键．15．（2023春·浙江·七年级专题练习）在等式中，当时，；当时，；当时，，求这个等式中a、b、c的值．【答案】，，【分析】根据题意列出三元一次方程组，解方程组即可．【详解】解：由题意得：，解得．【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，根据题意正确列出三元一次方程组，并熟练掌握方程组的解法是解题关键．16．（2023春·江苏·七年级专题练习）在等式中，当时，；当时，；当时，，试求出这个等式．【答案】【分析】把，；，；，代入等式，然后解三元一次方程组，即可求解．【详解】解：把，；，；，代入得：，②①得：④，③①得：⑤，⑤④得：，把代入④得：，解得：，把，代入①得：，解得：，则．【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，根据题意列出方程，熟练掌握加减消元法是解题的关键．17．（2023春·全国·七年级专题练习）解下列方程或方程组：．【答案】【分析】方程组利用加减消元法求解即可．【详解】解：，①②得：，解得：，②③得：，解得：，①③得：，解得：，原方程组的解为．【点睛】此题主要考查了三元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意代入消元法和加减消元法的应用．18．（2023·全国·七年级专题练习）解方程组：【答案】【分析】得：，将代入求出x的值，将x的值代入求出y的值，再将x，y的值代入求出z的值．【详解】解：，得：，将代入，得：，解得，将代入，得：，将，代入，得，解得，故该方程组的解为：．【点睛】本题考查解三元一次方程组，熟练掌握三元一次方程组的解法是解题的关键．19．（2022春·广东湛江·七年级校考期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点坐标为，、、满足．(1)请用含的式子表示和；(2)若，求点的坐标．【答案】(1)，；(2)点B的坐标是或．【分析】（1）把c看作已知数利用加减消元法求解即可；（2）利用两点间的距离公式列方程即可求解．【详解】（1）解：，由①②，得，∴，把代入①，得，解得：；（2）解：由（1）得点B的坐标是，∵A，B的纵坐标相等，∴，即，∴，解得：或．∴点B的坐标是或．【点睛】本题考查了解三元一次方程组和点的坐标，能正确解三元一次方程组是解此题的关键．20．（2023春·全国·七年级专题练习）小明到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入＝基本工资+计件奖金”的方法，并获得如下信息：营业员小丽小华月销售件数（件）200150月总收入（元）14001250假设营业员的月基本工资为x元，销售每件服装奖励y元．(1)求x、y的值；(2)如果在商场购买甲3件，乙2件，丙1件共需315元；如果购买甲1件，乙2件，丙3件共需285元．某顾客想购买甲、乙、丙各一件共需多少元？【答案】(1)x的值为800，y的值为3(2)购买一件甲、一件乙、一件丙共需150元【分析】（1）通过理解题意可知此题存在两个等量关系，即小丽的基本工资+提成=1400元，小华的基本工资+提成=1250元，列方程组求解即可；（2）理解题意可知，计算出甲、乙、丙各购买4件共多少钱，即可求解．【详解】（1）解：设营业员的基本工资为x元，买一件的奖励为y元．由题意得，解得，即x的值为800，y的值为3；（2）解：设一件甲为x元，一件乙为y元，一件丙为z元．则可列方程组：，将两等式相加得4x+4y+4z=600，则x+y+z=150，答：购买一件甲、一件乙、一件丙共需150元．【点睛】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．1．（2023·江苏无锡·统考一模）小明在数学实践活动中尝试做一个无盖的长方体纸盒．他把一张长为，宽为的矩形纸板分割成5个矩形纸板，他用其中1个作为底面，其余4个作为侧面，恰好能做成这个纸盒，则这个纸盒的侧面高不可能是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意可画出草图，将大矩形分为5个小矩形，其中1个为底面，其余4个为侧面，要求满足可拼成一个无盖的长方体，经分析绘图，发现有4种情况，设侧面的高为x厘米，底面的长为a厘米，底面的宽为b厘米，根据草图分别列出三元一次方程据，解出侧面高可能的值，即可得到答案．【详解】根据题意可得，有4种分割方法，设侧面的高为x厘米，底面的长为a厘米，底面的宽为b厘米，如图1，，解得；如图2，，解得；如图3，，解得，；如图4，，解得．∴侧面高不可能是．故选B．【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，分类讨论是解答本题的关键．2．（2023春·江苏·七年级专题练习）有理数、、满足，则的值是（）A． B．3 C．4 D．值不能确定【答案】C【分析】把方程看着关于x、y的方程，用z表示x、y．然后代入即可求值．【详解】解：，①②得：，，②①得：，，把，代入得：，故本题选：C．【点睛】本题考查解三元一次方程组，正确掌握加减消元法消去未知数是解决本题的关键．3．（2023·全国·七年级专题练习）的解是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用加减消元法解方程组即可．【详解】解：，，得：④；，得：⑤；，得：，解得：；把代入④得：，解得：；把，代入①得：，解得：；∴方程组的解为：，故选A．【点睛】本题考查解三元一次方程组．熟练掌握加减消元法解方程组，是解题的关键．4．（2023春·七年级单元测试）现有A，B，C三种型号的纸片若干张，大小如图所示．从中取出一些纸片进行无空隙、无重叠拼接，拼成一个长宽分别为11和5的新矩形，在各种拼法中，B型纸片最多用了（

）张．A．5 B．6 C．7 D．前三个答案都不对【答案】C【分析】设需要的A卡片x张，B卡片y张，C卡片z张，x、y、z均为正整数，从面积入手，A的面积为4，B的面积为6，C的面积为9，再结合总面积为55，来讨论求解．【详解】由图可知，A的面积为4，B的面积为6，C的面积为9，则有方程，x、y、z均为正整数，则未知数的取值范围为：x取0至11的正整数，y取0至9的正整数，z取0至6的正整数；当时，此时表明只选择了B、C两张纸片，则有：，即，55无法被3整除，显然此时y、z无法取正整数，不合题意，则必选了A纸片；当时，此时表明只选择了A、B两种纸片，则有：，即，55无法被2整除，显然此时x、y无法取正整数，不合题意，则必选了C纸片；从题目所求可知，不必讨论当时的情况，综上可以发现除B纸张外，A、C至少都取了一张，则有，即，即B型纸张最多用了7张，故选：C．【点睛】本题考了三元一次方程的正整数解的知识，解题关键是通过题中条件找到未知数的范围．5．（2023春·七年级课时练习）三角形幻方是锻炼思维的有趣数学问题，例：把数字1、2、3、…、9分别填入如图所示的9个圆圈内，要求和的每条边上三个圆圈内数字之和都等于18，则的和是（

）A．6 B．15 C．18 D．24【答案】B【分析】把填入A，B，C三处圈内的三个数之和记为a；D，E，F三处圈内的三个数之和记为b；其余三个圈所填的数位之和为c．列出关于a，b，c的方程，进行求解即可．【详解】解：把填入A，B，C三处圈内的三个数之和记为a；D，E，F三处圈内的三个数之和记为b；其余三个圈所填的数位之和为c．显然有…①，图中六条边，每条边上三个圈中之数的和为18，所以有②，②﹣①，得③，把，，每一边上三个圈中的数的和相加，则可得④，联立③，④，解得，，则．故选：B．【点睛】此题考查了三元一次方程组和二元一次方程组，读懂题意正确列出方程是解题的关键．6．（2023春·七年级课时练习）将下表从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意四个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2022个格子中的数字是（）3abc02…A．3 B．2 C．0 D．【答案】D【分析】设表格中c后面的数为x，根据任意四个相邻格子中所填整数之和都相等，即可得出，解出a，b，c，x的值，即得出表格中数据从左到右每4个数为一个循环组依次循环．再根据，即得出第2022个格子中的数字与第2个格子中的数字相同，为．【详解】设表格中c后面的数为x，∵任意四个相邻格子中所填整数之和都相等，∴，解得：，∴表格中数据从左到右依次为，∴每4个数为一个循环组依次循环．∵，∴第2022个格子中的数字与第2个格子中的数字相同，为，故选D．【点睛】本题考查规律型：数字的变化类．计算出表格中的未知数，再找到规律是解题的关键．7．（2023春·七年级单元测试）《九章算术》是我国古代著名的数学专著，其“方程”章中给出了“遍乘直除”的算法解方程组．比如对于方程组，将其中数字排成长方形形式，然后执行如下步骤（如图）；第一步，将第二行的数乘以3，然后不断地减第一行，直到第二行第一个数变为0；第二步，对第三行做同样的操作，其余步骤都类似．其本质就是在消元．那么其中的a，b的值分别是（

）A．24，4 B．17，4 C．24，0 D．17，0【答案】A【分析】根据题意所给步骤解方程即可求解．【详解】解：由②×3，得6x+9y+3z=102④，由④-①，得3x+7y+2z=63⑤，由⑤-①，得5y+z=24，∴a=24，由③×3，得3x+6y+9z=78⑥，由⑥-①，得4y+8z=39，∴b=4，故选：A．【点睛】本题考查解三元一次方程组，解题的关键是根据题干信息将方程组中的数字与图一一对应．8．（2023春·全国·七年级专题练习）盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过程中的趣味体验，也为商家实现销售额提升拓展了途径．某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，搭配为A，B，C三种盲盒各一个，其中A盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱；B盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为3：2；C盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱．经核算，A盒的成本为145元，B盒的成本为245元（每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之和），则C盒的成本为（

）元．A．135 B．155 C．185 D．225【答案】B【分析】根据题意确定B盲盒各种物品的数量，设出三种物品的价格列出代数式，解代数式即可．【详解】解：∵蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，A盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱；C盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱；∴B盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22−2−3−1−1−3−2＝10（个），∵B盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为3：2，∴B盒中有多接口优盘（个），蓝牙耳机有（个），迷你音箱有10−5−3＝2（个），设蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本价分别为a元，b元，c元，由题知：，∵①×2−②得：，②×2−①×3得：，∴C盒的成本为：，故选：B．【点睛】本题主要考查列代数式和代数式的运算，利用A、B盒中的价格关系求出C盒的价格是解题的关键．9．（2023春·全国·七年级专题练习）已知，则__．【答案】【分析】将看成已知数，解二元一次方程组即可【详解】解：方程组整理得：，②①得：，即，把代入②得：，即，则．故答案为：．【点睛】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，将看成已知数，转化为二元一次方程组是解题的关键．10．（2023春·湖南永州·七年级校考阶段练习）已知三元一次方程组，则方程组的解为___________．【答案】【分析】由求出，求出，求出，求出．【详解】解：，得：，等式两边同时除以2得：，得：，得：，得：，原方程的解为：，故答案为：．【点睛】本题考查了解三元一次方程组，能选择适当的方法解方程组是解此题的关键．11．（2022春·海南海口·七年级校考期中）三元一次方程组的解是______．【答案】【分析】利用加减消元法解三元一次方程组即可得．【详解】解：，由②③得：，即④，由①④得：，解得，将代入①得：，解得，将，代入②得：，解得，则方程组的解为，故答案为：．【点睛】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握消元法是解题关键．12．（2023春·七年级课时练习）有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔3支、练习本7本、圆珠笔1支共需6.3元；若购铅笔4支、练习本10本、圆珠笔1支共需8.4元，现购铅笔、圆珠笔各1支、练习本1本，共需_________元．【答案】/【分析】根据题意，设购买每支铅笔元、每本练习本元、每支圆珠笔元，由购铅笔3支、练习本7本、圆珠笔1支共需6.3元；若购铅笔4支、练习本10本、圆珠笔1支共需8.4元，列方程组求解即可得到答案．【详解】解：设购买每支铅笔元、每本练习本元、每支圆珠笔元，则，①②得，现购铅笔、圆珠笔各1支、练习本1本，共需元，故答案为：．【点睛】本题考查方程组解实际应用题，读懂题意，找准等量关系列出方程，根据问题灵活求解是解决问题的关键．13．（2023秋·重庆涪陵·八年级统考期末）磁器口古镇是国家4A级旅游景区，古镇上的“陈麻花”是品牌小吃．元旦期间，商家推出了将黑芝麻味、椒盐味、蜂蜜味三种口味的麻花混合组成A，B，C三种礼盒（每种礼盒中均有三种口味的麻花，每种口味的麻花每克装成一袋）．已知A，B，C三种礼盒中，每盒中椒盐味麻花的袋数均是本盒中黑芝麻味麻花和蜂蜜味麻花的袋数之和．已知一盒A礼盒中有7袋黑芝麻味，8袋椒盐味；一盒B礼盒中有3袋蜂蜜味，黑芝麻味的袋数是一盒B礼盒中蜂蜜味袋数的2倍；一盒C礼盒中有3袋黑芝麻味、4袋蜂蜜味，经核算，一盒A礼盒的成本为元，一盒B礼盒的成本为元（每种礼盒的成本为该礼盒中黑芝麻味、椒盐味、蜂蜜味的成本之和），则一盒C礼盒的成本为______元．【答案】【分析】设每个黑芝麻味成本x元，每个椒盐味y元，每个蜂蜜味z元，根据题意列方程求解即可．【详解】解：设每个黑芝麻味成本x元，每个椒盐味成本y元，每个蜂蜜味成本z元，根据题意，得，得，得，则，即将代入①中，得，∴，∴，∴一盒C礼盒的成本为元，故答案为：．【点睛】本题考查三元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程，利用代入消元法求解是解答的关键．14．（2023秋·重庆九龙坡·九年级统考期末）某校七年级在元旦节举行了“速算大赛”，用签字笔、钢笔、圆规三种文具用品混装成甲、乙、丙三种奖品礼包，其中甲种奖品礼包包含10支签字笔、5支钢笔；乙种奖品礼包包含2支签字笔，6支钢笔，4个圆规；丙种奖品礼包包含4支签字笔，8个圆规．购买每个礼包的费用等于礼包内各文具用品的费用之和；已知两包乙奖品礼包比一包丙奖品礼包贵240元．学校采购员小李在1月1日当天，去文具店购买这三种文具用品发现，该文具店对签字笔、钢笔、圆规的售价分别打5折、7折、8折销售；1月2号恢复原价，小李发现1月1日一个乙礼包的售价比1月2日一个丙礼包售价便宜12元，若签字笔、钢笔、圆规三种文具用品的原价都是正整数，且签字笔的单价不超过10元，若小李在1月1日购买一个甲礼包和一个乙礼包，应该付______元．【答案】【分析】设签字笔、钢笔、圆规的原价分别为元，元，元，根据两包乙奖品礼包比一包丙奖品礼包贵240元，列出方程求出，再根据1月1日一个乙礼包的售价比1月2日一个丙礼包售价便宜12元，推出，进一步推出，，据此求解即可．【详解】解：设签字笔、钢笔、圆规的原价分别为元，元，元，∵两包乙奖品礼包比一包丙奖品礼包贵240元，∴，∴；∵1月1日当天该文具店对签字笔、钢笔、圆规的售价分别打5折、7折、8折销售；1月2号恢复原价，小李发现1月1日一个乙礼包的售价比1月2日一个丙礼包售价便宜12元，∴，∴，∴，∵三种文具用品的原价都是正整数，∴z一定是5的倍数，当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；当时，，符合题意；∴小李在1月1日购买一个甲礼包和一个乙礼包，应该付元，故答案为：．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，三元一次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．15．（2023春·七年级课时练习）解方程组：．【答案】【分析】由①②可得，再由③②得：，然后解二元一次方程，即可求出x、y．再代入求出z．【详解】解：，①②得：④，③②得：⑤，由④⑤组成方程组得：，把，代入①得：，解得：．原方程组的解为．【点睛】本题主要考查了解三元一次方程组，熟练掌握解三元一次方程组得基本方法是解题的关键．16．（2022春·广东河源·七年级校考期末）解下列方程或方程组：(1)；(2)=；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根据解一元一次方程的步骤解方程，即可求解；（2）根据解一元一次方程的步骤解方程，即可求解；（3）采用加减消元法解方程组，即可求解；（4）采用加减消元法和代入消元法解方程组，即可求解．【详解】（1）解：去括号得：，移项得：，合并同类项得：，系数化为1得：，所以，原方程的解为；（2）解：去分母得：，去括号得：，移项得：，合并同类项得：，系数化为1得：，所以，原方程的解为；（3）解：由原方程组整理得：由得，把代入①得，所以，原方程组的解为；（4）解：把③代入①得：，把③代入②得：，由，解得：，把代入④，解得，把代入③，解得，所以，原方程组的解为．【点睛】本题考查了解一元一次方程、二元一次方程组及三元一次方程组，熟练掌握和运用解方程及方程组的方法是解决本题的关键．17．（2023春·全国·七年级专题练习）【阅读理解】在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化难为易．（1）解方程组解：（1）把代入得：解得：．把代入得：．所以方程组的解为（2）已知，求的值．解：（2）得：得；【类比迁移】（1）若，则______．（2）运用整体代入的方法解方程组．【实际应用】（3）“战疫情，我们在一起”，某公益组织计划为老年公寓捐赠一批防疫物资，已知打折前购买瓶消毒液、支测温枪、套防护服共需元；打折后购买瓶消毒液、支测温枪、套防护服共需元，比不打折时少花了多少钱？【答案】（1）23；（2）；（3）比不打折时少花了元【分析】（1）求即可；（2）将看作一个整体进行分析计算即可；（3）通过观察发现打折前和打折后的数量关系，通过运算得到所求．【详解】解：（1），得：．故答案为：；（2）由可得：，把代入得：，解得：，将代入③中的，，解得：，方程组的解为；（3）设打折前消毒液、测温枪和防护服的单价为元，元，元，打折后消毒液、测温枪和防护服的单价为元，元，元，则、、分别为每瓶消毒液、每支额温枪、每套防护服少花的钱，由题意可得，，，得：，得：，左右两边乘得，，比不打折时少花了元．【点睛】本题考查三元一次方程组，注意运用整体代入是关键．18．（2023春·浙江·七年级期中）某校开展校园科技节系列活动，校学生会代表小明到文具店购买文具作为奖品．(1)小明第一次购买若干个文具袋作为奖品，这种文具袋标价每个10元，请认真阅读结账时老板与小明的对话图，求小明原计划购买文具袋多少个？(2)小明第二次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品，其中钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元．经过沟通，这次老板给予8折优惠，钢笔和签字笔合计288元，问小明购买了钢笔和签字笔各多少支？(3)如果小明用48元去购买单价为3元的铅笔，单价为8元的钢笔，单价为5元的笔记本若干（三样都要买，把48元恰好用完），问有哪几种购买方案？【答案】(1)小明原计划购买文具袋13个(2)小明购买了30支钢笔，20支签字笔(3)一共有7种购买方案，见解析【分析】（1）设小明原计划购买文具袋x个，利用总价单价数量，结合多买一个反而省11元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）设小明购买了m支钢笔，n支签字笔，利用总价单价数量，结合购买两种笔共50支且共花费288元，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论；（3）设小明购买了a支铅笔，b支钢笔，c本笔记本，根据单价可列方程为，最后结合题意进行讨论即可．【详解】（1）设小明原计划购买文具袋x个，依题意得：，解得：．答：小明原计划购买文具袋13个．（2）设小明购买了m支钢笔，n支签字笔，依题意得：，解得：．答：小明购买了30支钢笔，20支签字笔．（3）设小明购买了a支铅笔，b支钢笔，c本笔记本，由题意得，∵三样都要买，且把48元恰好用完，∴有如下方案：①当时，把48元恰好用完；②当时，把48元恰好用完；③当时，把48元恰好用完；④当时，把48元恰好用完；⑤当时，把48元恰好用完；⑥当时，把48元恰好用完；⑦当时，把48元恰好用完，综上所述，一共有7种购买方案．【点睛】本题考查了一元一次方程与二元一次方程组的实际应用，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．19．（2023春·七年级课时练习）阅读理解：已知实数x，y可满足……①，……②，求和值，仔细观察未知数系数之间的关系，如由可得，由可得．这就是通常说的“整体思想”．尝试利用“整体思想”，解决下列问题：(1)已知二元一次方程组，则___________，___________；(2)买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，求购买5支铅笔、5块橡皮5本日记本共需多少元？(3)对于实数x，y，定义新运算：，其中a，b，c是常数，等式右边是实数运算．已知，，求的值．【答案】(1)；6(2)购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元(3)【分析】（1）利用可得出的值，利用可得出的值；（2）设铅笔的单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元，根据“买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元”，即可得出关于，，的三元一次方程组，由可得出的值，再乘5即可求出结论；（3）根据新运算的定义可得出关于，，的三元一次方程组，由可得出的值，即的值．【详解】（1）解：，由可得：，由可得：．故答案为：；6．（2）解：设铅笔的单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元，依题意，得：，由可得，．答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元．（3）解：依题意，得：，由可得：，，即．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及三元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）运用“整体思想”求出，的值；（2）（3）找准等量关系，正确列出三元一次方程组．20．（2023春·浙江·七年级专题练习）为了推动我市消费市场快速回暖，加快消费水平复苏和振兴，市人民政府决定，举办“春暖瓯越•温享生活”消费券多次投放活动，每期消费券共可减68元，共5张，其中A型1张，B型2张，C型2张，如下表：A型B型C型满168元减38元满50元减10元满20元减5元在此次活动中，小明父母领到多期消费券．(1)若小明妈妈用三种不同类型的消费券共减了199元，已知她用了3张A型消费券，5张B型的消费券，则用了张C型的消费券．(2)若小明父母使用消费券共减了230元．①若他们用12张三种不同类型的消费券消费，已知C型比A型的消费券多1张，请求出他们用这三种不同类型的消费券各多少张？②若他们共领到6期消费券（部分未使用），用A，B，C型中的两种不同类型的消费券消费，直接写出他们使用哪两种消费券各多少张．【答案】(1)7(2)①A型消费券5张，B型消费券1张，C型消费券6张；②A型消费券5张，B型消费券4张或A型消费券5张，C型消费券8张【分析】（1）根据小明妈妈用三种不同类型的消费券共减了199元，列出算式计算即可求解；（2）①设A型消费券x张，B型消费券y张，C型消费券z张，根据等量关系列出方程组计算即可求解；②6期消费券有A型6张，B型12张，C型12张，找到用A，B，C型中的两种不同类型的消费券消费共减了230元的情况即可求解．【详解】（1）解：（张），故用了7张C型的消费券．故答案为：7；（2）解：①设A型消费券x张，B型消费券y张，C型消费券z张，依题意得：，解得，故A型消费券5张，B型消费券1张，C型消费券6张；②6期消费券有A型6张，B型12张，C型12张，∵（元），（元），∴A型消费券5张，B型消费券4张或A型消费券5张，C型消费券8张．【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程．1．（2022·重庆·统考中考真题）特产专卖店销售桃片、米花糖、麻花三种特产，其中每包桃片的成本是麻花的2倍，每包桃片、米花糖、麻花的售价分别比其成本高20%、30%、20%．该店五月份销售桃片、米花糖、麻花的数量之比为1∶3∶2，三种特产的总利润是总成本的25%，则每包米花糖与每包麻花的成本之比为_________．【答案】4：3【分析】设每包麻花的成本为x元，每包米花糖的成本为y元，桃片的销售量为m包，则每包桃片的成本为2x元，米花糖的销售量为3m包，麻花的销售量为2m包，根据三种特产的总利润是总成本的25%列得，计算可得．【详解】解：设每包麻花的成本为x元，每包米花糖的成本为y元，桃片的销售量为m包，则每包桃片的成本为2x元，米花糖的销售量为3m包，麻花的销售量为2m包，由题意得，解得3y=4x，∴y：x=4：3，故答案为：4：3．【点睛】此题考查了三元一次方程的实际应用，正确理解题意确定等量关系是解题的关键．2．（2021·重庆·统考中考真题）盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过程中的趣味体验，也为商家实现销售额提升拓展了途径．某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，搭配为A，B，C三种盲盒各一个，其中A盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱；B盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为3：2；C盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱．经核算，A盒的成本为145元，B盒的成本为245元（每种盲盒的成本为该盒中