难点探究：数轴上的动点问题压轴题六种模型全攻略(原卷版)

专题09难点探究专题：数轴上的动点问题压轴题六种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一数轴上的动点中求运动的时间问题】 1【考点二数轴上的动点中求定值问题】 6【考点三数轴上的动点中找点的位置问题】 13【考点四数轴上的动点中几何意义最值问题】 18【考点五数轴上的动点规律探究问题】 23【考点六数轴上的动点新定义型问题】 25【典型例题】【考点一数轴上的动点中求运动的时间问题】例题：（2022秋·山东滨州·七年级统考期末）已知数轴上点A表示的数为8，点B是数轴上在点A左侧的一点，且A、B两点间的距离为12．动点P、Q分别从点A、B出发，沿数轴向左匀速运动，点P的速度为每秒4个单位长度，点Q的速度为每秒3个单位长度，设运动时间为t(t＞0)秒．(1)数轴上点B表示的数是_____，当点P运动到AB的中点时，它所表示的数是______．(2)若点P、Q同时出发：①当点P运动多少秒时，点P追上点Q？②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为6个单位长度．【变式训练】1．（2022秋·吉林松原·七年级统考期末）如图，已知数轴上点表示的数为，点与点距离个单位，且在点的左边，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．(1)数轴上点表示的数为___________，点表示的数为___________（用含的式子表示）；(2)动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点，同时出发．①求点运动多少秒追上点？②求点运动多少秒时与点相距个单位？并求出此时点表示的数．2．（2023·全国·七年级专题练习）如图已知数轴上点、分别表示、，且与互为相反数，为原点.（1）______，______；（2）将数轴沿某个点折叠，使得点与表示－10的点重合，则此时与点重合的点所表示的数为______；（3）若点、分别从点、同时出发，点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，到点后立刻原速返回，设运动时间为秒.①点表示的数是______（用含的代数式表示）；②求为何值时，；③求为何值时，点与相距3个单位长度.3．（2023·全国·七年级专题练习）如图1，在数轴上有，两点，点表示的数为4，点在点的左边，且，若有一动点从数轴上点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动．若点，分别从，两点同时出发，设运动时间为秒．(1)写出数轴上点表示的数为______，P所表示的数为_______（用含的代数式表示）．(2)问点运动多少秒与相距3个单位长度．(3)如图2，分别以和为边，在数轴上方作正方形和正方形，如图所示，求当为何值时，两个正方形的重叠部分面积是正方形面积的一半，请直接写出结论．______秒．【考点二数轴上的动点中求定值问题】例题：点在数轴上对应的数分别为，且满足．(1)如图，求线段的长；(2)若点C在数轴上对应的数为x，且x是方程的根，在数轴上是否存在点P使，若存在，求出点P对应的数，若不存在，说明理由；(3)如图，点P在B点右侧，的中点为为靠近于B点的四等分点，当P在B的右侧运动时，有两个结论：①的值不变；②的值不变，其中只有一个结论正确，请判断正确的结论，并求出其值．【变式训练】1．阅读下面的材料：如图①，若线段在数轴上，A，B点表示的数分别为a，b，则线段的长（点A到点B的距离）可表示为．请用上面材料中的知识解答下面的问题：如图②，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动1cm到达A点，再向左移动2cm到达B点，然后向右移动7cm到达C点，用1个单位长度表示1cm．(1)请你在数轴上表示出、、三点的位置，并直接写出线段的长度；(2)若将点A向右移动cm，请用代数式表示移动后的点表示的数？(3)若点B以每秒2cm的速度向左移动至点，同时点A，点C分别以每秒1cm和4cm的速度向右移动至点，点，设移动时间为t秒，试探索：的值是否会随着t的变化而变化？请说明理由．2．（2023春·湖南衡阳·七年级校考期末）如图，有两条线段，（单位长度），（单位长度）在数轴上，点A在数轴上表示的数是，点D在数轴上表示的数是15．(1)点B在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是；(2)若线段以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动，同时线段以2个单位长度秒的速度也向左匀速运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，点B与点C之间的距离为1个单位长度？(3)若线段、线段分别以1个单位长度/秒、2个单位长度/秒的速度同时向左匀速运动，与此同时，动点P从出发，以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动．设运动时间为t秒，当时，的值是否发生变化？若不变化，求出这个定值，若变化，请说明理由．3．（2023秋·福建泉州·七年级统考期末）如图，已知点O为数轴的原点，点A、B、C、D在数轴上，其中A、B两点对应的数分别为、3．(1)填空：线段的长度______；(2)若点A是的中点，点D在点A的右侧，且，点P在线段上运动．问：该数轴上是否存在一条线段，当P点在这条线段上运动时，的值随着点P的运动而没有发生变化？(3)若点P以1个单位/秒的速度从点O向右运动，同时点E从点A以5个单位/秒的速度向左运动、点F从点B以20个单位/秒的速度向右运动，M、N分点别是、的中点．点P、E、F的运动过程中，的值是否发生变化？请说明理由．【考点三数轴上的动点中找点的位置问题】例题：已知在纸面上有一数轴（如图所示）．(1)操作一：折叠纸面，使表示数1的点与表示数﹣1的点重合，则此时表示数4的点与表示数的点重合；(2)操作二：折叠纸面，使表示数6的点与表示数﹣2的点重合，回答下列问题：①表示数9的点与表示数的点重合；②若这样折叠后，数轴上的A，B两点也重合，且A，B两点之间的距离为10（点A在点B的左侧），求A，B两点所表示的数分别是多少？③在②的条件下，在数轴上找到一点P，设点P表示的数为x．当PA+PB＝12时，直接写出x的值．【变式训练】1．已知在数轴上A，B两点对应数分别为﹣2，6．(1)请画出数轴，并在数轴上标出点A、点B；(2)若同一时间点M从点A出发以1个单位长度/秒的速度在数轴上向右运动，点N从点B出发以3个单位长度/秒的速度在数轴上向左运动，点P从原点出发以2个单位长度/秒的速度在数轴上运动．①若点P向右运动，几秒后点P到点M、点N的距离相等？②若点P到A的距离是点P到B的距离的三倍，我们就称点P是【A，B】的三倍点．当点P是【B，A】的三倍点时，求此时P对应的数．2．如图，已知为数轴上的两个点，点表示的数是，点表示的数是20．(1)直接写出线段的中点对应的数；(2)若点在数轴上，且，直接写出点对应的数；(3)若熊大从点出发，在数轴上每秒向右前进8个单位长度；同时熊二从点出发，在数轴上每秒向左前进12个单位长度它们在点处相遇，求点对应的数；(4)若熊大从点出发，在数轴上每秒向左前进8个单位长度；同时熊二从点出发，在数轴上每秒向左前进12个单位长度，当它们在数轴上相距20个单位长度时，求熊大所在位置点对应的数．3．（2023秋·山东滨州·七年级统考期末）如图，已知A，为数轴上的两个点，点A表示的数是，点表示的数是30．(1)直接写出线段的中点对应的数；(2)若点在数轴上，且，直接写出点对应的数；(3)若李明从点A出发，在数轴上每秒向右前进8个单位长度；同时王聪从点出发，在数轴上每秒向左前进12个单位长度它们在点处相遇，求点对应的数；(4)若李明从点A出发，在数轴上每秒向左前进8个单位长度；同时王聪从点出发，在数轴上每秒向左前进12个单位长度，当它们在数轴上相距20个单位长度时，求李明所在位置点对应的数．【考点四数轴上的动点中几何意义最值问题】例题：（2023春·湖北武汉·七年级校联考阶段练习）数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离．(1)探究问题：如图，数轴上，点A，B，P分别表示数，2，x．

填空：因为的几何意义是线段与的长度之和，而当点P在线段上时，，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，．所以的最小值是______；(2)解决问题：①直接写出式子的最小值为_______；②直接写出不等式的解集为_______；③当a为_______时，代数式的最小值是2．（直接写出结果）【变式训练】1．（2022秋·全国·七年级专题练习）阅读下面材料：点、在数轴上分别表示实数、，、两点之间的距离表示为，当、两点中有一点在原点时，不妨设在原点，如图1，，当、两点都不在原点时，①如图2，点、都在原点的右边；②如图3，点、都在原点的左边，③如图4，点、在原点的两边，；综上，数轴上、两点之间的距离．回答下列问题：（1）数轴上表示和的两点之间的距离是_____，数轴上表示和的两点和之间的距离是______，如果，那么为______．（2）若表示一个有理数，则当在什么范围内时，有最小值？请写出的范围及的最小值．（3）若表示一个有理数，则当在什么范围内时，有最小值？请写出的范围及的最小值．图1图2图3图42．（2022秋·江苏·七年级期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与－1所对应的点之间的距离．（ⅰ）发现问题：代数式的最小值是多少？（ⅱ）探究问题：如图，点A、B、P分别表示数－1、2、x，AB＝3∵的几何意义是线段PA与PB的长度之和，∴当点P在线段AB上时，PA＋PB＝3，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA＋PB＞3∴的最小值是3请你根据上述自学材料，探究解决下列问题：(1)的最小值是______；(2)利用上述思想方法解不等式：；(3)当a为何值时，代数式的最小值是2【考点五数轴上的动点规律探究问题】例题：（2022秋·河北沧州·七年级统考期末）一电子跳蚤落在数轴上的某点k0处，第一步从k0向左跳一个单位到k1，第二步从k1向右跳2个单位到k2，第三步由k2处向左跳3个单位到k3，第四步由k3向右跳4个单位k4…按以上规律跳了100步后，电子跳蚤落在数轴上的数是0，则k0表示的数是（）A．0 B．100 C．50 D．﹣50【变式训练】1．（2022秋·广东佛山·七年级校考阶段练习）一只跳蚤在数轴上从0点开始，第1次向右跳2个单位，紧接着第2次向左跳4个单位，第3次向右跳6个单位，第4次向左跳8个单位，…，依此规律跳下去，当它跳第100次落下时，落点处表示的数为．2．（2022秋·湖南长沙·七年级校考阶段练习）如图，在数轴上，点表示，现将点沿数轴做如下移动：第一次将点向左移动个单位长度到达点，第次将点向右平移个单位长度到达点，第次将点向左移动个单位长度到达点则第次移动到点时，点在数轴上对应的实数是；按照这种规律移动下去，至少移动次后该点到原点的距离不小于．3．（2022秋·七年级课时练习）如图，数轴上、两点的距离为4，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处，按照这样的规律继续跳动到点(，是整数)处，问经过这样2021次跳动后的点与点的距离是．【考点六数轴上的动点新定义型问题】例题：（2022秋·江苏·七年级期末）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点．例如：如图1，点A表示的数为－1，点B表示的数为2.表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点．如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为－7，点N所表示的数为2(1)点E，F，G表示的数分别是－3，6.5，11，其中是【M，N】美好点的是；写出【N，M】美好点H所表示的数是．(2)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点？【变式训练】1．（2022秋·江苏·七年级专题练习）【概念提出】数轴上不重合的三个点，若其中一点到另外两点的距离的比值为n（n≥1），则称这个点是另外两点的n阶伴侣点．如图，O是点A、B的1阶伴侣点；O是点A、C的2阶伴侣点；O也是点B、C的2阶伴侣点．【初步思考】（1）如图，C是点A、B的阶伴侣点；（2）若数轴上两点M、N分别表示－1和4，则M、N的阶伴侣点所表示的数为；【深入探索】（3）若数轴上A、B、C三点表示的数分别为a、b、c，且点C是点A、B的n阶伴侣点，请直接用含a、b、n的代数式表示c．2．（2022秋·山东德州·七年级校考阶段练习）对于平面内的两点M、N，若直线MN上存在点