第五章 生活中的轴对称（6个类型51题）-【常考压轴题】七年级数学下册压轴题攻略（北师大版）（原卷版）

第五章生活中的轴对称压轴题专练内容导航一、折叠问题类型一、角的折叠类型二、三角形的折叠类型三、长方形的折叠二、简单的轴对称图形类型四、角平分线性质的应用类型五、线段垂直平分线的应用类型六、等腰三角形的性质一、折叠问题类型一、角的折叠1．如图，把一个角沿过点O的射线对折后得到的图形为，现从点O引一条射线，使，再沿把角剪开．若剪开后再展开，得到的三个角中，有且只有一个角最大，最大角是最小角的三倍，则的值为（

）A． B． C．或 D．或2．如图1，点是直线上一点，射线从开始以每秒的速度绕点顺时针转动，射线从开始以每秒的速度绕点逆时针转动，当、相遇时，停止运动；将、分别沿、翻折，得到、，设运动的时间为（单位：秒）(1)如图2，当、重合时，_______；(2)当时，_______，当时，_______；(3)如图3，射线在直线的上方，且，在运动过程中，当射线、、其中一条射线是另外两条射线组成角的平分线时，求出的值3．如图1，已知两条直线被直线所截，分别交于点、点，交于点，，且．

(1)当时，______．(2)证明：平分．(3)如图2，点是射线上一动点（不与点重合），平分交于点，过点做于点．在点的运动过程中，、、之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由．4．如图1，直线，的平分线交于点．（1）求证：；（2）如图2，过点作于点，交于点，探究与之间的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，在（2）的条件下，的平分线交延长线于点，为延长线上一点，，将沿直线翻折，所得直线交于，交于，若，求的度数．5．已知，射线、在的内部（OC与OD不重合），且．将射线沿直线翻折，得到射线；将射线沿直线翻折，得到射线（与不重合）．(1)如图①，若，则______°，______°；(2)若，请画出不同情形的示意图，并分别求出和的度数；(3)设，请直接写出与之间的数量关系及相应的的取值范围．类型二、三角形的折叠6．如图，等腰中，，于D，的平分线分别交，于E，F两点，M为的中点，延长交于点N，连接．则下列结论：①，②，③，④；其中正确的是（

）A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④7．如图，和均为等腰直角三角形，且，点A、D、E在同一条直线上，平分，连接．以下结论：①；②；③；④，正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．如图，在三角形中，点D，E是边上两点，点F在边AB上，将三角形沿折叠得三角形，交于点H，将三角形沿折叠恰好得到三角形，且．下列四个结论：①；②；③；④若，则．其中正确的结论是（填写序号）．

9．在直角三角形ABC中，，点D，E分别在上，将沿翻折，得到．(1)如图①，若，则______；

(2)如图②，的平分线交线段于点G.若，求证．

(3)已知，的平分线交直线于点G.当的其中一条边与平行时，直接写出的度数（可用含的式表示）．

10．如图，在中，，，射线，的夹角为，过点作于点，直线交于点，连接．

(1)如图1，射线，都在的内部．①设，则（用含有的式子表示）；②作点关于直线的对称点，则线段与图1中已有线段的长度相等；(2)如图2，射线在的内部，射线在的外部，其他条件不变，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．11．阅读理解如图1，中，沿的平分线折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿的平分线折叠，剪掉重叠部分；……；将余下部分沿的平分线折叠，点与点重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，我们就称是的好角．

情形一：如图2，沿等腰三角形顶角的平分线折叠，点与点重合；

情形二：如图3，沿的的平分线折叠，剪掉重叠部分；将余下的部分沿的平分线折叠，此时点与点重合．

探究发现（1）中，，经过两次折叠，问的好角（填写“是”或“不是”）；（2）若经过三次折叠发现是的好角，请探究与（假设）之间的等量关系；根据以上内容猜想：若经过次折叠是的好角，则与（假设）之间的等量关系为；应用提升：（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为，，，发现是此三角形的好角；（4）如果一个三角形的最小角是，且满足该三角形的三个角均是此三角形的好角；则此三角形另外两个角的度数．类型三、长方形的折叠12．如图1所示为一条足够长的长方形纸带，其中PN∥QM，点A、B分别在PN、QM上，记∠ABM＝α（0＜α＜90°）；如图2，将纸带第一次沿BR1折叠成图2，使BM与BA重合；如图3，将纸条展开后第二次再折叠，使BM与BR1重合，第三次沿AR2折叠成图4，第四次沿BR2折叠成图5，按此操作，最后一次折叠后恰好完全盖住∠AR2B，整个过程共折叠了9次，则α＝°．13．有一长方形纸带，E、F分别是边，上一点，度（），将纸带沿折叠成图1，再沿折叠成图2．(1)如图1，当度时，度；(2)如图2，若，求α的值；(3)作平分交直线与点P，请直接写出与的数量关系．14．如图1，将一条两边互相平行的纸袋折叠．（1）若图中，则；（2）在图1的基础上继续折叠，使得图1中的边与边重合（如图2），若继续沿边折叠，边恰好平分，则此时的度数为度．15．已知，直线、被直线所截（、、不交于同一点），若直线、所成的四个角中有一个角与直线、所成的四个角中的一个角相等，则称直线是直线、的等角线．如图1，直线、被直线所截，若，则直线是直线、的等角线．(1)如图2中，直线是直线、的等角线的是______；（填序号）(2)如图3，点、分别为长方形的边、的点，且点不与点、重合，点不与点、重合，将长方形沿折叠后，点、分别落在点、的位置，的延长线交直线于点．①直线中，直线是直线与直线的等角线，并请说明理由；②直线与直线交于点，当直线、、中，其中一条直线是另两条直线的等角线，请直接写出的度数．16．综合与实践问题情境：数学课上，同学们以“长方形纸带的折叠”为主题开展数学活动，已知长方形纸带的边，将纸片沿折痕折叠，点，分别为点，，线段与交于点（说明：折叠后纸带的边始终成立）

操作探究：(1)如图，若，则的度数为______°．(2)如图，改变折痕的位置，其余条件不变，小彬发现图中始终成立，请说明理由；(3)改变折痕的位置，使点恰好落在线段上，然后继续沿折痕折叠纸带，点，分别在线段和上．①如图，点的对应点与点重合，点的对应点为点若，直接写出的度数．②如图，点，的对应点分别为点，，点，均在上方，若，，当时，直接写出与之间的数量关系．17．如果两个角之差的绝对值等于60°，则称这两个角互为“互优角”，即若|∠α﹣∠β|＝60°，则称∠α和∠β互为“互优角”．（本题中所有角都是大于0°且小于180°的角）(1)若∠1和∠2互为“互优角”，当∠1＝90°时，则∠2＝；(2)如图1，将一长方形纸片沿着EP对折，（点P在线段BC上，点E在线段AB上），使点B落在B′若∠EPB′与∠CPB′互为“互优角”，则∠BPE的度数为；(3)再将纸片沿着PF对折（点F在线段CD或AD上），使点C落在C′．①如图2，若点E，C′，P在同一直线上，且∠B′PC′与∠EPF互为“互优角”，求∠EPF的度数（对折时，线段PB′落在∠EPF内部）；②若∠B′PC′与∠EPF互为“互优角”，则∠BPE与∠CPF应满足什么样的数量关系（直接写出结果即可）．18．如图1所示，有一条足够长的纸条，满足，，点E是边上的点．将沿着折痕折叠，使得射线与射线重合，折痕交于点F；将沿着折痕折叠，使得射线与射线重合，折痕交于点G．（1）求的度数；（2）若左右平移点E，那么的比值是否随之发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个比值．（3）如图2，若，点P是边上的动点，连结，将三角形沿着折痕折叠，得到三角形，折痕交于点P，在点P的移动过程中，当平行于三角形的其中一边时，求的度数．19．（1）填空①把一张长方形的纸片按如图①所示的方式折叠，，为折痕，折叠后的点落在或的延长线上，那么的度数是________；②把一张长方形的纸片按如图②所示的方式折叠，点与点重合，，为折痕，折叠后的点落在或的延长线上，那么的度数是_______．（2）解答：①把一张长方形的纸片按如图③所示的方式折叠，，为折痕，折叠后的点落在或的延长线上左侧，且，求的度数；②把一张长方形的纸片按如图④所示的方式折叠，点与点重合，，为折痕，折叠后的点落在或的延长线右侧，且，求的度数．（3）探究：把一张四边形的纸片按如图⑤所示的方式折叠，，为折痕，设，，，求，，之间的数量关系．类型四、角平分线性质的应用20．如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，CD⊥BD于点D，AC＝5，BC－AB＝2，则△ADC面积的最大值为（

）A．2 B．2.5 C．4 D．521．如图，在中，和的平分线，交于点，交于点，交于点，连接．过点作于点，若，，，，现给出以下结论：①；②；③；④当时，；⑤当时，；其中，正确结论的个数是（

）A．2 B．3 C．4 D．522．如图所示，直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，且，是轴负半轴上一点，连接．(1)如图1，若于点，且交于点，求证：；(2)如图2，在（1）的基础上，连接，求证：；(3)若，点为的中点，点为轴上一动点，连接，过作交轴于点，当点在轴上运动的过程中，，，之间有何数量关系？为什么？23．如图1，在平面直角坐标系中，点点P为x轴正半轴上一点，直线直线，垂足为C，直线与y轴交于点E，设P点的横坐标为m．(1)求证：；(2)求E点坐标(用含m的代数式表示)；(3)如图2，连接，作点O关于的对称点D，连接与轴交于点F．①求证：当时，平分；②试探索三条线段长度之间的数量关系，直接写出结论．24．如图1，在中，牛分平分与交于点．

图1

图2(1)如图1，若．①求的度数；②作于点，探究之间的数量关系并说明理由；(2)如图2，若，则的值为________________．25．如图，已知点P在的平分线上，点分别在射线、上，连接，(1)当，时，与的数量关系；(2)当，且时，（1）中的数量关系还成立吗？请说明理由；(3)在（2）条件下，若，则．26．【母体呈现】人教版八年级上册数学教材56页第10题，如图的三角形纸片中，，，．沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为．求的周长．解：是由折叠而得到

，

的周长为：【知识应用】在中，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，过点作的平分线交于点连接．（1）如图1，若，，求的面积；（2）如图2，求证平分；【拓展应用】如图3，在中，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，过点作的平分线交于点连接，过点作．（3）若，，，直接写出长；（4）若，求证．类型五、线段垂直平分线的应用27．如图，在四边形中，点E，F分别在，边上，将沿折叠，使点落在点处，连接，．有下面四个结论：①；②直线是线段的垂直平分线；③；④．所有正确结论的序号为(

)A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①②③④28．在和中，，，．(1)如图，当点、、在同一条直线上时，求证：；(2)如图，当点，、不在同一条直线上时，与交于点，交于点，求证：；(3)如图，在（）的条件下，连接并延长交于点，是一个固定的值吗？，若是，求出的度数；若不是，请说明理由，29．如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C分别在x轴上，平分与y轴交于D点，．(1)求证：；(2)在（1）中点C的坐标为，点E为上一点，且，如图2，求的长；(3)在（1）中，过D作于点，点H为上一动点，点G为上一动点，（如图3），当点H在上移动、点G在上移动时，始终满足，试判断、、这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明．30．如图，为的外角平分线上一点并且在的垂直平分线上，过作于，交的延长线于，则下列结论：；；；．其中正确的结论是（

）A．个 B．个 C．个 D．个31．如图，中，，是边的垂直平分线，交于G，过点F作于点E，平分交于F，连接，．下列结论：①②③④．其中正确的结论是（

）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④32．如图，直线与直线相交于点，并且互相垂直，点和点分别是直线和上的两个动点，且线段长度不变，点是关于直线的对称点，连接，若，则的度数是．33．阅读理解，自主探究：“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形．(1)问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，求证：；(2)问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，，，求的长；(3)拓展延伸：在平面直角坐标系中，，点B在第一、第三象限的角平分线l上．点C在y轴上，为等腰直角三角形；①如图3，当时，求点C的坐标；②直接写出其他符合条件的C点的坐标．34．八年级的同学在一次探究试验活动中发现，解决几何问题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线（延长的线段等于中线长）或延长过中点的线段，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中，进而使得问题得以解决．(1)如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围；(2)如图2，在中，点D是的中点，点M在边上，点N在边上，若．求证：；(3)如图3，和均为等腰直角三角形，且，连接，，点D为边的中点，连接．请直接写出与的数量关系和位置关系．35．在中，，，射线，的夹角为，过点作于点，直线交于点，连接．(1)如图1，射线，都在内部．①若，，则；②作点关于直线的对称点，在图1中找出与线段相等的线段，并证明．(2)如图2，射线在的内部，射线在的外部，其它条件不变，探究线段之间的数量关系，并证明．36．已知在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点P是第一象限内一动点．

(1)①如图1．若动点满足，求点P的坐标．②如图2，在第（1）问的条件下，且，将逆时针旋转至如图所示位置，求的值．(2)如图3，若点A与点关于x轴对称，且，若动点P满足，问：的值是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变化．请求出其值．37．如图，在△ABC中，CA＝CB，过点A作射线AP∥BC，点M、N分别在边BC、AC上（点M、N不与所在线段端点重合），且BM＝AN，连结BN并延长交射线AP于点D，连结MA并延长交AD的垂直平分线于点E，连结ED．【猜想】如图①，当∠C＝30°时，可证△BCN≌△ACM，从而得出∠CBN＝∠CAM，进而得出∠BDE的大小为______度．【探究】如图②，若∠C＝β．（1）求证：△BCN≌△ACM．（2）∠BDE的大小为______度（用含β的代数式表示）．【应用】如图③，当∠C＝120°时，AM平分∠BAC，若AM、BN交于点F，DE＝DF，DE＝1，则△DEF的面积为______．类型六、等腰三角形的性质38．如图所示，已知，，，…，以此规律操作下去，若，则的度数为（

）A． B． C． D．39．如图，是一个钢架结构，在角内部最多只能构造5根等长的钢条，且满足，设，则x的取值范围是．

40．如图1，在平面直角坐标系中，点，分别在y轴和x轴上，点C为第二象限内一点，且，，a，b满足．(1)求点A，B的坐标；(2)如图2，若点F在x轴的正半轴上，且满足，轴于点D，交的延长线于点E，求证：；(3)在（2）的条件下，请探究线段，，之间的数量关系，并加以证明．41．问题背景：如图，在中，．在的延长线上取点E，C，作，使．(1)探究一：当时．①若，求的度数；②若，则的度数用含α的式子表示为______°，的度数为_____°．(2)探究二：若，直接写出的度数．42．已知在中，，且，作等腰，使得．

(1)如图1，若与互余，则___________；（用含的代数式表示）(2)如图2，若与互补，过点C作于点H，求证：；(3)若与的面积相等，请直接写出的度数．（用含的式子表示）43．以的、为边作和，且，，与相交于M，．(1)如图1，求证：；(2)在图1中，连接，则________，________；（都用含的代数式表示）(3)如图2，若，G、H分别是、的中点，求的度数．44．已知在中，，，分别过A、B向过点C的直线做垂线，垂足分别是D、E．(1)如图1，若，直接写出、、之间的等量关系_______．(2)如图2，若，的延长线交于点F，交于G，若F是中点，求证：(3)在（2）的条件下，若，，求的面积．45．在和中，，，．(1)如图1，将，延长，延长线相交于点O．①求证：；②用含的式子表示的度数（直接写出结果）；(2)如图2，当时，连接，，N是的中点，连接并延长与交于点M，求证：46．在中，，，点D为边的中点，动点P以2个单位的速度从点B出发在射线上运动，点Q在边上，设点P运动时间为t秒．(1)用含t的代数式表示线段的长．(2)当，点P在线段上．若和全等，求t的值；(3)当，为等腰三角形时，请直接写出的度数．47．已知，在中，，．(1)如图1，点D、点E分别是线段上两点，连接、，若，且，求的度数；(2)如图2，点D、点E分别是线段上两点，连接、，过点B作交延长线于F，连接，若，求证：；(3)如图3，