第四章 三角形压轴题（8个类型72题）-【常考压轴题】七年级数学下册压轴题攻略（北师大版）（原卷版）

第四章三角形压轴题内容导航一、全等三角形判定方法的应用类型一、用SSS证明三角形全等类型二、用SAS证明三角形全等类型三、用ASA和AAS证明三角形全等二、几何模型类型一、倍长中线模型类型二、一线三垂直模型类型三、旋转模型类型四、三条线段数量关系的证明三、与作图有关的几何问题四、全等三角形的综合问题一、全等三角形判定方法的应用类型一、用SSS证明三角形全等1．如图，已知，，那么判定的依据是（

）A． B． C． D．2．如图，△ABC中，AB=BC=5，AC=8，将△ABC绕点C顺时针方向旋转60°得到△DEC，连接BD，则BD的长度为.3．农科所有一块五边形的试验田如图所示,已知在五边形ABCDE中,∠ABC=∠AED=90°,AB=CD=AE=BC+DE=20m,求这块试验田的面积.4．小明和小亮在学习探索三角形全等时，碰到如下一题：如图1，若AC=AD，BC=BD，则△ACB与△ADB有怎样的关系？（1）请你帮他们解答，并说明理由．（2）细心的小明在解答的过程中，发现如果在AB上任取一点E，连接CE、DE，则有CE=DE，你知道为什么吗？（如图2）（3）小亮在小明说出理由后，提出如果在AB的延长线上任取一点P，也有第2题类似的结论．请你帮他画出图形，并证明结论．5．【问题背景】如图1，在四边形中，，分别是上的点，且，试探究图中线段之间的数量关系．【初步探索】小亮同学认为：如图1，延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论______；【探索延伸】如图2，在四边形中，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由．【结论运用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离．【灵活变通】如图4，已知在四边形中，，若点在的延长线上，点在的延长线上，仍然满足【初步探索】中的结论，请直接写出与的数量关系．

图1

图2

图3

图4类型二、用SAS证明三角形全等6．如图，已知，，为平面内一动点，，为上一点，，上两点，，．下面能表示最小值的线段是（

）A．线段 B．线段 C．线段 D．线段7．如图，在中，，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下结论，①；②；③；④；⑤．其中结论正确的个数是（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个8．如图，分别是四边形的边上的点，，连接交于点，交于点，以下结论正确的有（

）①的周长为4；②；③；④

A．① B．①② C．①②③ D．①②③④9．某校八年级（1）班数学兴趣小组在一次活动中进行了试验探究活动，请你和他们一起活动吧．【探究与发现】(1)如图1，是的中线，延长至点E，使，连接，写出图中全等的两个三角形：__________；【理解与运用】(2)如图2，是的中线，若，，设，求的取值范围；(3)如图3，是的中线，，点Q在的延长线上，，求证：．

10．（问题情境）（1）如图1，在四边形中，，，．点E，F分别是和上的点，且，试探究线段，，之间的关系．小明同学探究此问题的方法是：延长到G，使，连接．先证明，再证明，进而得出．你认为他的做法；（填“正确”或“错误”）．（探索延伸）（2）如图2，在四边形中，，，，，点E，F分别是和上的点，且，上题中的结论依然成立吗？请说明理由．（思维提升）（3）小明通过对前面两题的认真思考后得出：如图3，在四边形中，若，，，那么．你认为正确吗？请说明理由．11．如图1，在四边形ABCD中，BA=BC，∠ABC=60°，∠ADC=30°，连接对角线BD．（1）将线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接AE．①依题意补全图1；②试判断AE与BD的数量关系，并证明你的结论；（2）在（1）的条件下，直接写出线段DA、DB和DC之间的数量关系；（3）如图2，F是对角线BD上一点，且满足∠AFC=150°，连接FA和FC，探究线段FA、FB和FC之间的数量关系，并证明．12．如图，在中，，点D，E分别在边上，连接交于点F，．

(1)说明：；(2)若平分，，求的面积；(3)判断之间的数量关系，并加以说明．13．为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小红在组内做了如下尝试：如图①，在中，是边上的中线，延长到，使，连接．【探究发现】（1）如图①，与的数量关系是，位置关系是；【初步应用】（2）如图②，在中，若，，求边上的中线的取值范围；【探究提升】（3）如图③，是的中线，过点分别向外作、，使得，，延长交于点，判断线段与的数量关系和位置关系，请说明理由．

14．在平面直角坐标系中，点在轴的负半轴上点在轴的负半轴上，，．

(1)如图①，若点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限，点的坐标______；(2)在（1）的条件下，若轴于点，点在轴上，，连接并延长，交于点，求的长；(3)如图②，若点的坐标为，点在的延长线上，过点（，）作轴于点，连接，写出线段，，之间的数量关系，并证明．15．如图，在中，是边上的高，是边上的高，相交于点，且．

(1)求证：．(2)动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，两点同时出发，当点到达点时，两点同时停止运动．设点的运动时间为秒①点是线段上的一点（不与点重合），当时，__________（用含的代数式表示）；设，则__________（用含的代数式表示）②点是直线上的一点且．是否存在值，使以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的值；若不存在，请说明理由．类型三、用ASA和AAS证明三角形全等16．如图，在四边形中，平分，，，，则面积的最大值为（

）

A． B． C． D．17．如图，在中，为边上的点，且，连接，过作，并截取，连接交于，则下列结论：①；②为的中点；③；④；其中正确的结论共有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个18．如图，在中，是的中线，延长点，使，．

(1)求证：；(2)如图，平分交于点，交于点，若，试探究的数量关系，并说明理由．19．（1）如图1，，E是的中点，平分，求证：平分．（2）如图2，，和的平分线并于点E，过点E作，分别交于B、D，请猜想三者之间的数量关系，请直接写出结论，不要求证明．（3）如图3，，和的平分线交于点E，过点E作不垂直于的线段，分别交于B、D点，且B、D两点都在的同侧，（2）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．20．如图，∠MAN是一个钝角，AB平分∠MAN，点C在射线AN上，且AB＝BC，BD⊥AC，垂足为D．(1)求证：；(2)动点P，Q同时从A点出发，其中点Q以每秒3个单位长度的速度沿射线AN方向匀速运动；动点P以每秒1个单位长度的速度匀速运动．已知AC＝5，设动点P，Q的运动时间为t秒．①如图②，当点P在射线AM上运动时，若点Q在线段AC上，且，求此时t的值；②如图③，当点P在直线AM上运动时，点Q在射线AN上运动的过程中，是否存在某个时刻，使得APB与BQC全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说出理由．21．在等边中，点是边上的两个动点（不与重合），点在点的左侧，且(1)若，则_______________；(2)在图1中，求证：(3)如图2，点在边上，，点为的中点，连接并延长交于点，连接．猜想的形状是_______________，并说明理由．22．如图所示，在中，，点是线段延长线上一点，且，点是线段上一点，连接，以为斜边作等腰，连接，且．

(1)过点作，垂足为．①求证：②求证：；(2)如图2，若点是线段延长线上一点，其他条件不变，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由．23．如图，等腰中，，，，点为射线上一动点，连接，作且．

(1)如图，过点作交于点，求证：；(2)如图，在（1）的条件下，连接交于点，若，求证：点为中点；(3)如图，当点在的延长线上时，连接与的延长线交于点，若，则________．24．【模型呈现】如图（1）和（2）所示，，，直线经过点（不与，重合），过点作的垂线，垂足分别为，则有，．

（1）请你针对图（1）给出证明．【模型应用】在图（1）的基础上，在射线上取一点，把线段绕点逆时针转得到，连接，交直线于点．

（2）如图（3），当点与点重合时，与的数量关系为___________；（3）如图（4），当点在的延长线上时，请判断与的数量关系，并给出证明；（4）如图（5），当点在线段上时，的值为___________．25．定义：如图（1），若分别以的三边，，为边向三角形外侧作正方形，和，则称这三个正方形为的外展三叶正方形，其中任意两个正方形为的外展双叶正方形．(1)作的外展双叶正方形和，记，的面积分别为和；①如图（2），当时，求证：；②如图（3），当时，与是否仍然相等，请说明理由．(2)已知中，，，作其外展三叶正方形，记，，的面积和S，请利用图（1）探究：当的度数发生变化时，的值是否发生变化？若不变，求出的值；若变化，求出的最大值．二、几何模型类型一、倍长中线模型26．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1所示，延长到点，使，连接．请根据小明的思路继续思考：(1)由已知和作图能证得，得到，在中求得的取值范围，从而求得的取值范围是______________．方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系；(2)如图2，是的中线，，试判断线段与的数量关系，并加以证明；(3)如图3，在中，是的三等分点．求证：．27．阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在中，，，边上的中线的取值范围．(1)小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：①延长到Q使得；②再连接把集中在中；③利用三角形的三边关系可得，则的取值范围是____．感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．(2)请写出图1中与的关系并证明；(3)思考：已知，如图2，是的中线，，，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明．

28．（1）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在中，，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：

①延长到Q，使得；②再连接，把集中在中；③利用三角形的三边关系可得，则AD的取值范围是．感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．（2）请你写出图1中与的位置关系并证明．（3）思考：已知，如图2，是的中线，，，．试探究线段与的数量和位置关系并加以证明．

29．（1）阅读理解：

如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点使，再连接，这样就把，，集中在中，利用三角形三边的关系可判断线段的取值范围是；则中线的取值范围是；（2）问题解决：如图②，在中，是边的中点，于点，交于点，交于点，连接，此时：与的大小关系，并说明理由．（3）问题拓展：如图③，在四边形中，，，，以为顶点作，边，分别交，于，两点，连接，此时：、与的数量关系30．如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围，小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考：(1)由已知和作图能得到的理由是______．(2)求得的取值范围是______．(3)如图2，在中，点是的中点，点在边上，点在边上，若，求证：．31．已知ABC．(1)如图1，按如下要求用尺规作图：①作出ABC的中线CD；②延长CD至E，使DE＝CD，连接AE；（不要求写出作法，但要保留作图痕迹．）(2)在（1）中，直线AE与直线BC的关系是；(3)如图2，若∠ACB＝，CD是中线．试探究CD与AB之间的数量关系，并说明理由；(4)如图3，若∠ACB＝，AC＝BC，CD是ABC的中线，过点B作BE⊥AC于E，交CD于点F，连接DE．若CF＝4，则DE的长是．32．阅读下列材料，完成相应任务．数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，已知中，是边上的中线．

求证：．智慧小组的证法如下：证明：如图2，延长至，使，

∵是边上的中线∴在和中∴（依据一）∴在中，（依据二）∴．任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：依据1：______________________________________________；依据2：______________________________________________．归纳总结：上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．任务二：如图3，，，则的取值范围是_____________；

任务三：如图4，在图3的基础上，分别以和为边作等腰直角三角形，在中，，；中，，．连接．试探究与的数量关系，并说明理由．

33．阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求证：AB＝CD．分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．（1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明．①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF；②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G．（2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明．类型二、一线三垂直模型34．已知：中，，，为射线上一动点，连接，在直线右侧作，且．连接交直线于，若，则的值为．

35．如图，在中，，，．点P从点A出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发．分别过P、Q两点作于E，于F，设运动时间为t，当与全等时，t的值为．

36．如图，已知中，，满足，点P从A点出发沿A→C→B路径向终点B运动：点Q从B出发沿B→C→A路径向终点A运动；点P，Q的速度分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度同时开始运动，两个点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过P，Q作于E，于F．设运动时间为t秒，当以P，E，C为顶点的三角形与以Q，F，C为顶点的三角形全等时，t的值为（不考虑两三角形重合的情况）．37．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：(1)如图1，点A在直线l上，，过点B作于点C，过点D作交于点E．得．又，可以推理得到．进而得到结论：_____，_____．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型；(2)如图2，∠于点C，于点E，与直线交于点，求证：．38．如图，已知中，，，是过的一条直线，且，在，的同侧，于，于．（1）证明：；（2）试说明：；（3）若直线绕点旋转到图位置（此时，在，的异侧）时，其余条件不变，问与，的关系如何？请证明；（4）若直线绕点旋转到图位置（此时，在，的同侧）时其余条件不变，问与，的关系如何？请直接写出结果，不需说明理由．39．【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题(1)【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B摆放在线段上时，过点A作，垂足为点M，过点C作，垂足为点N，易证，若，，则______；(2)【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点C作，垂足为点P，猜想，，的数量关系，并说明理由；(3)【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若，，连接，则的面积为______．40．直角三角形中，，直线过点．(1)当时，如图，分别过点，作于点，于点．求证：．(2)当，时，如图，点与点关于直线对称，连接，，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿边向终点运动，同时动点从点出发，以每秒3个单位的速度沿向终点运动，点，到达相应的终点时停止运动，过点作于点，过点作于点，设运动时间为秒．①______，当在路径上时，______．（用含的代数式表示）②直接写出当与全等时的值．41．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：【模型呈现】（1）如图，，，过点作于点，过点作交的延长线于点．由，得．又，，可以推理得到，进而得到＝______，＝______．（请完成填空）我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型．【模型应用】（2）①如图，，，，连接、，且于点，与直线交于点，求证：点是的中点；②如图，若点为轴上一动点，点为轴上一动点，点的坐标为，是否存在以、、为顶点且以为斜边的三角形为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．类型三、旋转模型42．如图，在四边形中，是的平分线，且．若，则四边形的周长为（

）A． B． C． D．43．综合与探究数学活动课上，同学们以对角互补的四边形为活动主题，开展了如下探究．(1)如图1，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且．请探究线段之间的数量关系．下面是学习委员琳琳的解题过程，请将余下内容补充完整．解：延长EB到G，使得，连接AG在和中∴，∴∴∴，∴……

(2)班长李浩发现在如图2所示的四边形中，若，E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论仍然是成立的，请你写出结论并说明理由．

(3)如图3，在四边形中，，E，F分别是边延长线上的点，且，请判断线段之间的数量关系，并说明理由．

44．已知，在四边形中，分别是边上的点，且．

(1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时．小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接．请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路．小明的解题思路：先证明______；再证明了______，即可得出之间的数量关系为．(2)请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由．(3)如图3，若分别是边延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段之间的数量关系为______．（不用证明）45．综合与实践问题提出如图1，在中，平分，交于点D，且，则，，之间存在怎样的数量关系？并说明理由．方法运用

（1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，延长至点E，使得，连接，……，请判断，，之间的数量关系并补充完整解题过程．（2）以上方法叫做“补短法”．我们还可以采用“截长法”，即通过在上截取线段构造全等三角形来解题．如图3，在线段上截取，使得①______，连接②______．请补全空格，并在图3中画出辅助线．延伸探究（3）小明发现“补短法”或“截长法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在五边形中，，，，若，求的度数．46．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是直线AB上一点（点D不与点A、B重合），连接DC并延长到E，使得CE＝CD，过点E作EF⊥直线BC，交直线BC于点F．(1)如图1，当点D为线段AB上的任意一点时，用等式表示线段EF、CF、AC的数量关系，并证明；(2)如图2，当点D为线段BA的延长线上一点时，依题意补全图2，猜想线段EF、CF、AC的数量关系是否发生改变，并证明．(3)如图3，当点D在线段AB的延长线上时，直接写出线段EF、CF、AC之间的数量关系．47．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如：如图1，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．易证得．大致证明思路：如图2，将绕点顺时针旋转，得到，由可得、、三点共线，，进而可证明，故．任务：如图3，在四边形中，，，，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．48．【问题提出】（1）如图1，在四边形ABCD中，，，，E、F分别是BC、CD上的点，探究当为多少度时，使得成立．小亮同学认为：延长FD到点G，使，连接AG，先证明，再证明，则可求出∠EAF的度数为______；【问题探究】（2）如图2，在四边形ABCD中，，，E、F分别是BC、CD上的点，当∠EAF与∠BAD满足怎样的数量关系时，依然有成立，并说明理由．【问题解决】（3）如图3，在正方形ABCD中，，若的周长为8，求正方形ABCD的面积．类型四、三条线段数量关系的证明49．问题1：在数学课本中我们研究过这样一道题目：如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥MN，AD⊥MN，垂足分别为E、D．图中哪条线段与AD相等？并说明理由．问题2：试问在这种情况下线段DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出来，不需要说明理由．问题3：当直线CE绕点C旋转到图2中直线MN的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并说明理由．50．如图1，点A和点B分别在y轴正半轴和x轴负半轴上，且OA=OB，点C和点D分别在第四象限和第一象限，且OC⊥OD，OC=OD，点D的坐标为（m，n），且满足+|n﹣2|=0．（1）求点D的坐标；（2）求∠AKO的度数；（3）如图2，点P，Q分别在y轴正半轴和x轴负半轴上，且OP=OQ，直线ON⊥BP交AB于点N，MN⊥AQ交BP的延长线于点M，判断ON，MN，BM的数量关系并证明．51．（1）如图1，已知中，，，直线l经过点O，直线l，直线l，垂足分别为点C，D．依题意补全图l，并写出线段BC，AD，CD之间的数量关系为______；（2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，，C，O，D三点都在直线l上，并且有，请问（1）中结论是否成立?若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，在中，，，点A的坐标为，点C的坐标为，请直接写出点B的坐标．52．已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F．（1）当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图1），求证：△ABE≌△CBF．（2）当∠MBN绕点B旋转到AE≠CF时，如图2，猜想线段AE，CF，EF有怎样的数量关系，并证明你的猜想．（3）当∠MBN绕点B旋转到图3这种情况下，猜想线段AE，CF，EF有怎样的数量关系，并证明你的猜想．53．在图1、图2，图3中．点E、F分别是四边形边上的点；下面请你根据相应的条件解决问题．特例探索（1）在图1中，四边形为正方形（正方形四边相等，四个内角均为直角），，延长至G，使．则__________．在图2中，，，，，，；则__________．归纳证明（2）在图3中，，．且，请你观察（1）中的结果，猜想图3中线段之间的数量关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式．实际应用（3）图4是某公路筑建工程平面示意图，指挥中心设在O处，A处、B处分别是甲、乙两公路起点，它们分别在指挥中心的北偏东和南偏东的方向上．且A、B两处分别与指挥中心O的距离相等：其中甲公路是从A处开始沿正东方向筑建，乙公路是从B处开始沿北偏东40方向筑建：甲、乙两公路的路基筑建速度分别是每天150米、180米，当两公路同时开工后的第五天收工时，分别筑建到C、D处，经测量．试求C与D两处之间的距离．54．已知在数轴上，从左往右依次有四个点A，，，，其中点A，对应的数分别为和9．

(1)利用直尺和圆规作图：如图1，已知线段，，，在数轴上方，求作，使得，（只保留作图痕迹）；(2)在（1）的条件下，在数轴上找一点，直接作出直线，使得直线平分的周长；(3)如图2，在中，点为中点，过点的直线交于，交的延长线于，若，求证：直线平分的周长；(4)如图3，若，点在边上，点在边上，且平分的周长．请问线段的长是否为定值？若是定值，请说明理由；若不是定值，当与满足什么关系时，线段最短，并说明理由．三、与作图有关的几何问题55．阅读下面材料，完成相应的任务：(1)小明在研究命题①时，在图1的正方形网格中画出两个符合条件的四边形，由此判断命题①是命题(填“真”或“假”)；(2)小彬经过探究发现命题②是真命题，请你结合图2证明这一命题；(3)小颖经过探究又提出了一个新的命题：“若AB＝A′B′，BC＝B′C′，CD＝C′D'，，则四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，请在横线上填写两个关于“角”的条件，使该命题为真命题．56．阅读下面材料：小强遇到这样一个问题：试作一个直角△ABC，使∠C=90°，AB=7，AC+BC=9．小强是这样思考的：如图1，假定直角△ABC已作出，延长AC到点D，使CD=CB，则AD=9，∠D=45°，因此可先作出一个辅助△ABD，再作BD的垂直平分线分别交AD于点C，BD于点E，连接BC，所得的△ABC即为所作三角形．具体做法小强是利用图2中1×1正方形网格，通过尺规作图完成的．（1）请回答：图2中线段AB等于线段．（2）参考小强的方法，解决问题：请在图3的菱形网格中（菱形最小内角为，边长为a），画出一个△ABC，使∠C=，AB=6b，AC+BC=8b．（在图中标明字母，不写作法，保留作图痕迹）．57．数学活动课上，同学们探究了角平分线的作法．下面给出三个同学的作法：小红的作法如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，再过点O作MN的垂线，垂足为P，则射线OP便是∠AOB的平分线．小明的作法如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线．小刚的作法如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，再分别过点M，N作OA，OB的垂线，交点为P，则射线OP便是∠AOB的平分线．请根据以上情境，解决下列问题(1)小红的作法依据是．(2)为说明小明作法是正确的，请帮助他完成证明过程．证明：∵OM＝ON，OC＝OC，，∴△OMC≌△ONC()(填推理的依据)(3)小刚的作法正确吗?请说明理由58．如图，由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点都在格点处，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图．（保留连线痕迹）

(1)在图1中，画线段，使；(2)在图2中，画中边上的高；(3)在图3中，以和的长度为边画（M，N均在格点处，与不全等），使．59．我们通过“三角形全等的判定”的学习，可以知道“两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等”是一个基本事实，用它可以判定两个三角形全等；而满足条件“两边和其中一边所对的角分别相等”的两个三角形却不一定全等．下面请你来探究“两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等”．探究：已知，求作一个，使，，（即两边和其中一边所对的角分别相等）．

(1)动手画图请用尺规作图的方法完成下面的作图过程：①画；②在线段的上方画；③画．(2)观察观察你画的图形，你会发现满足条件的三角形有______个；其中三角形______（根据自己作图标注的字母填三角形的名称）与明显不全等；(3)小结经历以上探究过程，可得结论：______．60．李老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．有以下结论：①当，时，可得到形状唯一确定的；②当，时，可得到形状唯一确定的；③当，时，可得到形状唯一确定的；④当，时，可得到形状唯一确定的，其中所有正确结论的序号是．四、全等三角形的综合问题61．在等边的顶点，处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以相同的速度由向和由向爬行，经过分钟后，它们分别爬行到，处，请问：

(1)如图1，爬行过程中，和的数量关系是________；(2)如图2，当蜗牛们分别爬行到线段，的延长线上的，处时，若的延长线与交于点，其他条件不变，蜗牛爬行过程中的大小将会保持不变，请你证明：；(3)如图3，如果将原题中“由向爬行”改为“沿着线段的延长线爬行，连接交于”，其他条件不变，求证：．62．如图，在中，，，为射线上一点（不与点重合），连接并延长到点，使得，连接．过点作的垂线交直线于点．

(1)如图1，点在线段上，且．①请补全图形；②判断，，之间的数量关系，并证明．(2)如图2，若点在线段的延长线上，请画出图形，直接写出，，之间的数量关系．(3)基于上面的题目，请提出一个变式或拓展探究性的问题．63．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线交轴的正半轴交于点A，交轴的正半轴于点，且，．(1)求点A、B的坐标；(2)点是线段上的一点（与点、A不重合），其横坐标为，点在第四象限内的直线上，且的纵坐标为，点在轴的负半轴上，线段的长为，连接、、，当时，求与之间的关系式；(3)在（2）的条件下，连接，交线段于点，点在线段上，连接，若，，求点的横坐标．64．问题提出（1）如图1，已知：，，探究：和的数量关系并加以证明；问题探究（2）如图2，在中，，过点C作射线，连结交边于点，点在边上，连接，若，探究和的数量关系并加以证明；问题拓展（3）如图3，锐角中，，过点C作直线，点E为边上一点，连接并延长交直线于点，点在边上，若，直接写出和的数量关系．________________．

65．已知：平面直角坐标系中，点的坐标满足．(1)如图1，求证：是第一象限的角平分线；(2)如图2，过作的垂线，交轴正半轴于点，点分别从两点同时出发，在线段上以相同的速度相向运动(不包括点和点)，过作交轴于点，连，猜想与之间有何确定的数量关系，并证明你的猜想；(3)如图3，是轴正半轴上一个动点，连接，过点作交轴正半轴于点，连接，过点点作的角平分线交于点，过点作轴于点，求的值．66．已知是经过顶点C的一条直线，．E、F分别是直线上两点，且．(1)若直线经过的内部，且E、F在射线上，请解决下面两个问题：①如图1，若，，则；（填“＞”，“＜”或“=”）；②如图2，若，请添加一个关于与关系的条件，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立；(2)如图3，若直线经过的外部，，请写出三条线段、、的数量关系的合理猜想（不要求证明）．(3)拓展应用：如图④，在中，，．点D在边上，，点E、F在线段上，．若的面积为，与的面积之和是．67．【阅读理解】倍长中线是初中数学一种重要的数学思想．小聪在学习过程中，遇到这样一个问题：如图，中，，求边上的中线的取值范围，经过和小组同学的探讨，共同得到了这样的解决办法：延长到点E，使．请根据小聪的方法解决