2023-2024学年七年级数学下册 三角形的有关概念与性质 压轴题（十一大题型）（解析版）

专题03三角形的有关概念与性质压轴题（十一大题型）目录：题型1：三角形中线有关的面积问题题型2：与三角形高有关的计算题题型3：三角形的高在平行线中的应用题型4：三角形的三边关系在平行线中的应用题型5：三角形个数问题题型6：与三角形角平分线有关的问题题型7：三角形的内角和与外角的性质题型8：三角形的内角和与外角的性质在平行线中的应用题型9：旋转问题题型10：定值问题题型11：角平分线、三角形的内角和与外角的性质、平行线相结合问题题型1：三角形中线有关的面积问题1．设的面积为．(1)如图1，延长的各边得到，且，，，记的面积为，则______．（用含的式子表示）(2)如图2，延长的各边得到，且，，，记的面积为，则________．（用含的式子表示）(3)如图3，P为内一点，连接、、并延长分别交边、、于点D、E、F，则把分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，则计算得到的面积________．【答案】(1)(2)(3)【分析】此题是三角形的综合题，主要考查了面积及等积变换，利用三角形同高则面积比与底边关系分别分析得出是解题关键．（1）利用三角形同高等底面积相等，进而求出即可；（2）利用三角形同高不等底面积比为底边长的比，进而求出即可；（3）利用三角形面积之间关系得出其边长比，得出关于，的方程求出即可．【解析】（1）如图,连接，,，，，同理可得出：，，故答案为:；（2）如图，连接，，根据等高两三角形的面积比等于底之比，，，，同理可得出：，∴；故答案为:；（3）如图，过点作于点，，，，即，同理，设，，，即；，，，又，，故答案为:．2．【问题情境】苏科版数学课本七年级下册上有这样一道题：如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？小旭同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知．又因为高相同，所以，于是．据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积．

【深入探究】（1）如图2，点在的边上，点在上．①若是的中线，求证：；②若，则______．【拓展延伸】（2）如图3，分别延长四边形的各边，使得点、、、分别为、、、的中点，依次连结、、、得四边形．①求证：；②若，则______．【答案】（1）①证明见解析；②；（2）①证明见解析；②【分析】（1）①根据中线的性质可得，点为的中点，推得是的中线，，即可证明；②设边上的高为，根据三角形的面积公式可得，，即可推得，同理推得，即可求得，即可证明；（2）①连接，，，根据中线的判定和性质可得，，，，推得，，即可求得，即可证明，②由①可得，同理可证得，根据，即可推得，即可求解．【解析】（1）①证明：∵是的中线，∴，点为的中点，∴是的中线，∴，∴，即；②，解：设边上的高为，则，，∵，∴，同理，则，即，∴．（2）①证明：连接，，，如图：

∵点、、、分别为、、、的中点，∴，，，分别为，，，的中位线，∴，，，，∴，∵，即；②15，解：由①可得，同理可证得，，即，∵，∴．【点睛】本题考查了中位线的判定和性质，三角形的面积公式，掌握三角形的一条中线把原三角形分成两个等底同高的三角形是题的关键．3．探索：在图至图中，已知的面积为，(1)如图，延长的边到点，使，连接若的面积为，则______用含的代数式表示(2)如图，延长的边到点，延长边到点，使，，连接若的面积为，则______用含的代数式表示(3)在图的基础上延长到点，使，连接，，得到（如图）若阴影部分的面积为，则______用含的代数式表示(4)发现：像上面那样，将各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到如图，此时，我们称向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的的面积是原来面积的______倍．(5)应用：要在一块足够大的空地上栽种花卉，工程人员进行了如下的图案设计：首先在的空地上种红花，然后将向外扩展三次图已给出了前两次扩展的图案在第一次扩展区域内种黄花，第二次扩展区域内种紫花，第三次扩展区域内种蓝花．如果种红花的区域即的面积是平方米，请你运用上述结论求出：①种紫花的区域的面积；②种蓝花的区域的面积．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)①种紫花的区域的面积420平方米，②种蓝花的区域的面积2940平方米【分析】（1）过点A作于H，如图1，由于与底相等、高相同，因此它们的面积相等，问题得以解决；（2）连接，如图2，同（1）可求出的面积，就可解决问题；（3）如图3，同（2）可求出的面积，问题得以解决；（4）根据即可得出结论（5）①利用探索与发现中的结论可得：种紫花的区域的面积等于△DEF面积的6倍，，根据条件平方米，就可解决问题；②利用探索与发现中的结论可得：种蓝花的区域的面积等于面积的6倍，，只需把代入，就可解决问题．【解析】（1）解：探索：过点A作于H，如图1，∵，，∴.故答案为a.（2）解：连接，如图2，同理可得,∴.故答案为2a.（3）解：同（2）可得,∴,故答案为；（4）解：如图3，，故答案为7；（5）解：①根据上述结论可得：（平方米），∴种紫花的区域的面积（平方米）；②同理可得：（平方米），种蓝花的区域的面积（平方米）；所以，种紫花的区域的面积420平方米，种蓝花的区域的面积2940平方米．【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，另外还考查了归纳、探究的能力，运用已有经验解决问题的能力，突出了对能力的考查．题型2：与三角形高有关的计算题4．在中，，，于D．（1）如图①，已知于E，求证：（2）如图②，P是线段AC上任意一点（P不与A、C重合），过P作于E，于F，求证：（3）在图②中，若P是AC延长线上任意一点，其他条件不变，请画出图形并直接写出PE、PF、CD之间的关系．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）画图见解析，．【分析】(1)分别以AB、BC边为底边，利用△ABC的面积的两种不同表示列式整理即可得证；(2)连接PB，根据△ABC的面积等于△ABP和△BCP的面积的和，然后列式整理即可得证；(3)作出图形，连接PB，然后根据△ABP的面积等于△ABC的面积和△PBC的面积的和，列式整理即可得解．【解析】解：（1）证明：（2）如图②，连接PB，，（3）如图③，即为图像，连接PB，作交BC的延长线于E点，，【点睛】本题综合考查了三角形的知识，把同一个三角形的面积采用不同方法列式表示出来，然后再把已知数据代入进行计算求解，所以（2）（3）两小题作出辅助线把三角形分割成两个三角形是解题的关键，面积法也是解三角形问题常用的方法之一，需熟练掌握．5．设点为内任意一点，的延长线交于点,的延长线交于点，的延长线交于点，则的值为．【答案】【分析】本题考查了三角形的面积公式，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键．过点作的延长线，交于点，根据三角形的面积公式可得，，推得，同理可得，，即可求解．【解析】解：过点作的延长线，交于点，如图：则，同理可得，即，∴，同理可得：，，∴．故答案为：．题型3：三角形的高在平行线中的应用6．已知，点，分别在直线，上，点在直线，之间，平分，交直线于点.(1)如图1，若，，求的度数；.(2)如图2，在（1）问的条件下，过点作，交直线于点，交直线于点，连接，交直线于点，过点作于点；当平分时，求的度数；.(3)如图3，已知，，点到的距离与线段的长度之比是，点到的距离等于7，求线段的长度．【答案】(1)(2)(3)线段的长度为【分析】（1）如图，过点做，证明，求出，进而求出，根据平行线的性质即可求出；（2）如图，先求出，再求出，过点做，即可求出；（3）过点做于点，过点做于点，设，，根据得到，求出，进而得到，，根据，即可求出线段的长度为．【解析】（1）解：过点做，∵，∴，∴，，∵，，∴，，∴，∵平分，∴，∴,∵，∴；（2）解：由（1）问得，∵平分，∴，∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，过点做，∴，，∴；（3）过点做于点，过点做于点，∵点到的距离与线段的长度之比是，∴，设，，∵，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，，∵点到的距离等于7，∴，∵，∴，∴，∴线段的长度为．【点睛】本题考查了利用平行线的性质进行角的计算，点到直线的距离，三角形形面积公式等知识，熟知平行线的性质定理，根据题意适当添加辅助线是解题关键，第3问利用方程思想解决问题是解题关键．题型4：三角形的三边关系在平行线中的应用7．如图，直线a∥b，点A，点D在直线b上，射线AB交直线a于点B，CD⊥a于点C，交射线AB于点E，AB＝12cm，AE：BE＝1：2，P为射线AB上一动点，P从A点开始沿射线AB方向运动，速度为1cm/s，设点P运动时间为t，M为直线a上一定点，连接PC，PD．（1）当t＝m为何值时，PC+PD有最小值，求m的值；（2）当t＜m（m为（1）中的取值）时探究∠PCM、∠PDA与∠CPD的关系，并说明理由；（3）当t＞m（m为（1）中的取值）时，直接写出∠PCM、∠PDA与∠CPD的关系．【答案】（1）m＝4时，PC+PD有最小值；（2）当t＜4时，∠PCM+∠PDA＝∠CPD，理由见解析；（3）当t＞4时，∠PCM+∠CPD+∠PDA＝360°．【分析】（1）根据P、C、D三点共线时，即点P与点E重合时PC+PD的值最小，解答即可；（2）当t＜m时，点P在AE上，过点P作PH∥a∥b，根据平行线的性质可得结论；（3）当t＞m时，点P在BE上，过点P作PH∥a∥b，根据平行线的性质可得结论．【解析】解：（1）在△PCD中，PC+PD≥CD，当取等号时，P，C，D在同一条直线上，即点P与点E重合，此时PC+PD最小，∴AP＝AE，∵AE：BE＝1：2，AB＝12cm，∴AE＝AB＝4cm，∴t＝＝4s，故m＝4时，PC+PD有最小值；（2）当t＜m即t＜4时，点P在AE上，过点P作PH//a，如图：又∵a//b，∴PH//a//b，∴∠PCM＝∠CPH，∠PDA＝∠DPH，∴∠PCM+∠PDA＝∠CPH+∠DPH，∵∠CPD＝∠CPH+∠DPH，∴∠PCM+∠PDA＝∠CPD，∴当t＜4时，∠PCM+∠PDA＝∠CPD；（3）当t＞m即t＞4时，点P在BE上，过点P作PH//a，如图：又∵a//b，∴PH//a//b，∴∠PCM+∠CPH＝180°，∠PDA+∠DPH＝180°，∴∠PCM+∠CPH+∠PDA+∠DPH＝360°，又∵∠CPD＝∠CPH+∠DPH，∴∠PCM+∠CPD+∠PDA＝360°，即当t＞4时，∠PCM+∠CPD+∠PDA＝360°．【点睛】本题主要考查平行线的性质和平行公理的推理，熟练掌握平行线的性质，正确作出辅助线，构造平行线是解题的关键．题型5：三角形个数问题8．如图，△ABC中，A1，A2，A3，…，An为AC边上不同的n个点，首先连接BA1，图中出现了3个不同的三角形，再连接BA2，图中便有6个不同的三角形，……

（1）完成下表：连接个数123456出现三角形个数36（2）若出现了45个三角形，则共连接了_____个点?若一直连接到An，则图中共有______个三角形．【答案】（1），，，；（2）8，.【分析】（1）根据图形，可以分析：数三角形的个数，其实就是数AC上线段的个数，当1个分点时，有三角形数为，当2个分点时，有三角形数为，由此可找出规律，据此即可得答案；（2）由（1）继续推导可解得若出现了45个三角形，若一直连接到An，由个分点，三角形数量为前一个分点数的三角形总数加个，可知个分点，则有个三角形．【解析】（1）由图形可得：数三角形的个数，其实就是数AC上线段的个数．所以当1个分点时，有三角形数为；2个分点时，有三角形数为；3个分点时，有；4个分点时，有；5个分点时，有；6个分点时，有；（2）若出现45=1+2+3+4+5+6+7+8+9个三角形，根据上述规律，则有8个分点；若有个分点，则有．【点睛】本题考查了三角形的扩展知识，需要注意此题数三角形的个数实际上就是数线段的条数，能够正确计算，解这类数列需要先设他们之和为，再重构一组倒序相同的数列，正序与倒序两式相加，合并可解．题型6：与三角形角平分线有关的问题9．佳琪同学在学习了三角形内角和及角平分线定义后经大量的测试实验发现，在一个三角形中，两个内角的角平分线所夹的角只与第三个角的大小有关.测量数据如下表：测量和度数测量工具量角器示意图与的平分线交于点测量数据第一次第二次第三次第四次……（1）通过以上测量数据，请你写出与的数量关系：______.（2）如图，在中，若与的平分线交于点，则与存在怎样的数量关系？请说明理由.【答案】（1）；（2），理由见解析【分析】（1）根据表格中的数据，设，利用待定系数法进行计算，即可得到答案；（2）根据角平分线的性质，得到，，然后利用外角性质，以及角的和差关系，即可得到结论成立.【解析】解：（1）根据题意，设，∴，解得：，∴.（2）.理由：∵与的平分线交于点，∴，.∵，∴.∵是的外角，∴，∴.【点睛】本题考查了角平分线定理，三角形内角和定理以及三角形外角性质，待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是掌握所学性质进行解题.10．【问题呈现】小明在学习中遇到这样一个问题：如图1，在中，，平分，于D，猜想、、的数量关系．（1）小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路．于是尝试代入∠B、∠C的值求∠EAD的值，得到下面几组对应值：/度1030302020/度7070606080/度30152030求上表中a的度数，并判断与、的数量关系；【变式应用】（2）小明继续研究，在图2中，，，其他条件不变，若把“于D”改为“F是线段上一点，于D”求的度数，并写出与、的数量关系．【答案】（1），；（2），【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用和角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理进行计算推理是解本题的关键．（1）先利用三角形内角和以及角平分线，求出和的大小，然后再求出的值，再分别用，表示出和，再由即可得出答案．（2）过点A作于点，证出，再分别求出，，再结合（1）可得到三者的关系．【解析】解：（1），，．在中，，，平分，，，即．，，，即．（2）过点A作于点G．，，，，，由（1）同理可得，，，由（1）同理可得，．题型7：三角形的内角和与外角的性质11．在中，，点，分别是边，上的两个定点，点是平面内一动点．初探：（1）如图1，若点在线段上运动，①当时，则；②，，之间的数量关系为：．再探：（2）若点运动到边的延长线上，交于，如图2，则，，之间有何关系？并说明理由．拓展：（3）当点在的内部，且，，不共线时，记，，，探究，，之间的关系，并直接写出探究结论．【答案】（1）①130度；②；（2）；（3）或【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．（1）①如图1中，连接．证明即可．②利用①中结论解决问题．（2）利用三角形的外角的性质解决问题即可．（3）利用三角形的外角的性质解决问题即可．【解析】解：（1）①如图1中，连接．，，，，，．故答案为：；②由①可知，，故答案为：．（2）结论：．理由：如图2中，，，．（3）结论：．理由：如图3中，当在内部时，，，，．当在四边形内部时，．12．如图1，直角三角板的直角边所在直线与直线重合．将该三角板绕点A逆时针旋转一定角度后，如图2所示．记，过B作直线．P为射线上异于点A的一点，从点P出发且位于直线上方的射线交直线于点Q，记．(1)若，且，求的度数；(2)①若点Q在线段上（不含端点），则与，满足的数量关系为；②若点Q在线段延长线上（不含端点），判断上述关系是否成立．若成立，请说明理由；若不成立，给出三者应满足的关系并说明理由；(3)若，且射线不经过点B，设直线分别交直线、于点R、S，直接写出当，满足什么条件时，有．【答案】(1)(2)①；②不成立，，理由见解析；(3)当时，有．【分析】（1）由题意可得，，，利用平行线的性质，得到，进而得出，再利用平行线的性质，即可求出的度数；（2）①由（1）可知，进而得出，再利用三角形外角的性质，即可得出结论；②过点作，由平行线的性质，得到，，进而即可得出结论；（3）依题意分四种情况分析：①当与线段交于点，与的延长线交于点时；②当与的延长线交于点，与线段交于点时；③当与线段交于点，与的延长线交于点时；④当与的延长线交于点，与的延长线交于点，与的延长线交于点时，利用三角形内角和定理和三角形外角的性质，分别表示出、、，即可得出结论．【解析】（1）解：，，，，，，，，，；（2）解：①由（1）可知，，是的外角，，故答案为：；②不成立，，理由如下：如图，过点作，，，，，，；（3）解：依题意有四种情况：①如图，当与线段交于点，与的延长线交于点时，，，，是的外角，，，，，，整理得：，即当时，有；②如图，当与的延长线交于点，与线段交于点时，同①理可得：，，，，整理得：，即当时，有；③如图，当与线段交于点，与的延长线交于点时，同①理可得：，是的外角，，，是的外角，，，，整理得：，即当时，有；④如图，当与的延长线交于点，与的延长线交于点，与的延长线交于点时，同③理可得：，，，，又，，整理得：，即当时，有；综上可知，当时，有．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，对顶角等知识，灵活运用相关知识找出角度之间的数量关系是解题关键．题型8：三角形的内角和与外角的性质在平行线中的应用13．如图1，点在的延长线上，已知．(1)求证：；(2)连接的平分线和的平分线所在的直线相交于点（点与点不重合）．①如图2，若，且点在平分线的反向延长线上，则______；②试探究与之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)①68；②或【分析】（1）根据平行线的判定与性质即可证明结论；（2）①设、交于点G，根据平行线的性质得出，根据角平分线定义得出，根据三角形内角和求出，根据角平分线定义求出，根据三角形内角和定理求出；②分两种情况：当点在平分线的反向延长线上时，当点在平分线上时，分别画出图形，求出结果即可．【解析】（1）证明：∵，∴，∵，∴，∴；（2）解：①设、交于点G，如图所示：∵，∴，∵平分，∴，∴，∵，又∵为的角平分线的反向延长线，∴，∴．故答案为：；②当点在平分线的反向延长线上时，如图所示：设，，∵，∴，，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴，∵，又∵为的角平分线的反向延长线，∴，∴，∴，即；当点在平分线上时，如图所示：设，，∵，∴，∴，∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，即；综上分析可知，或．【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，角平分线定义，三角形内角和定理应用，对顶角的性质．解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．14．已知，点P是直线，外一点．(1)【问题初探】如图1，点E，F分别在直线，上，连接，．求证：①；②．证明：过点P作，…，请将问题①，②的证明过程补充完整；(2)【结论应用】如图2，的角平分线交于点E，点F是射线上一动点且点F不在直线上，连接，作的角平分线与相交于点Q，问：与有怎样的数量关系？说明理由；(3)【拓展延伸】如图3，O是上一定点，．在内部作射线，使得，与相交于点F．动点P在射线上，点Q在上，连接，，若在点P的运动过程中，始终有，求n，α的值．【答案】(1)①详见解析；②详见解析(2)，详见解析(3)，【分析】（1）①过点P作，可得，再利用平行线的性质可得结论；②由，再结合平角的含义可得答案；（2）由（1）可得，结合，三角形的内角和定理可得结论；（3）先证明，，结合，可得，从而可得答案．【解析】（1）证明：①过点P作．∵，∴，∴，，∴，即．②∵，∴．（2）．理由如下：∵、分别是、的平分线，∴，，∴根据（1）②可知，．∵，∴，∴．∴．（3）∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵α，n为定值，∴为变量，要使等式恒成立，需要，∴，．【点睛】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，角平分线的定义，三角形的外角的性质的应用，角的和差运算，整式的加减运算中与某项无关的含义，本题难度大，理清思路是解本题的关键．15．探究（一）已知，P为直线所在平面上一点，平分，平分，（1）如图1，P为之间一点，若，则°；（2）如图2，P为外一点，判断之间存在怎样的数量关系？并说明理由．探究（二）已知P为所在平面上一点，平分，平分，D、E分别为上的点，点P关于的对称点为点．（3）如图3，若P在内部，，则°；（4）如图4，若P在外部，判断之间存在怎样的数量关系？并说明理由．【答案】（1）50；（2），理由见解析；（3）200；（4）．理由见解析【分析】（1）连接，由平行线的性质得出，由三角形内角和定理可得出答案；（2）设，，由平行线的性质得出，，由三角形外角的性质可得出答案；（3）连接，求出，由轴对称的性质求出，，则可得出答案；（4）由三角形内角和定理证出，则可得出结论．【解析】解：（1）连接，∵平分，平分，∴，∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，故答案为：50；（2）．理由：设，，∵，∴，∵，，∴，∴；（3）连接，∵，∴，∵，∴，∴，∵平分，平分，∴，，∴，∴，∴，∵点P关于的对称点为点，∴，∴，∴，∴，故答案为：200；（4）．理由：设，，∴，∴，∵，∴．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．题型9：旋转问题16．如图1，一块直尺和一块含的直角三角板如图放置，其中直尺和直角三角板的斜边平行，我们可以抽象出如图2的数学模型：，，，，分别交、于点、、的角平分线交于点，为线段上一动点（不与重合），连接交于点．(1)当，求证：．(2)在线段上任意移动时，求之间的关系．(3)在（1）的条件下将三角形绕着点以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为，则在旋转过程中，当三角形的其中一边与三角形的某一边平行时，求此时的值．【答案】(1)见解析(2)(3)6或12或21【分析】（1）由，得到，由角平分线得到，即可得证；（2）由得到，由即可得到结论；（3）分五种情况画图求解即可．【解析】（1）解：∵，∴，∵平分，∴，∴；（2）∵，∴，∵，∴；（3）由（1）知，，，∵，∴，，，∵，∴，，∴，如图1，当时，，∵，∴此时是旋转了，此时，；如图2，当时，∵，∴此时是旋转了，此时，（舍去）；如图3，当时，∵，∴此时是旋转了，此时，；如图4，当时，设与相交于点S，∴，∴，∴此时是旋转了，此时，；如图5，当时，∴，∴此时是旋转了，此时，（舍去）；∴当的其中一边与的某一边平行时，t为6或12或21．【点睛】此题考查了平行线的性质、三角形内角和定理、旋转等知识，分情况讨论是解题的关键．题型10：定值问题17．如图，分别在边上，的角平分线交于．(1)如图1，求的度数．(2)如图2，如果的平分线与交于点，，求的度数；(3)如图3，点是边上的一个动点（不与重合），交于点，的平分线交于点，当点在上运动时，的值是否发生变化？如果变化，说明理由；如果不变，试求出其值．【答案】(1)；(2)(3)不变，2【分析】本题考查了平行线的性质、三角形角平分线、外角的性质、三角形内角和定理，解决本题的关键是利用三角形的角平分线、外角得到角之间的关系．（1）根据，得到，再利用角平分线的性质，即可解答；（2）根据，，得到，利用外角的性质得到，再根据平分，平分，得到，，得到，利用三角形内角和为，．（3）不变，根据，，即可解答．【解析】（1）如图1，，，，，，，，，．；（2）如图2，，，，，平分，平分，，，，．（3）不变，如图3，，，．题型11：角平分线、三角形的内角和与外角的性质、平行线相结合问题18．【问题】如图，在中，平分，平分，若，则____________；若，则____________．

【探究】（）如图，在中，、三等分，、三等分，若，则____________；（）如图，是与外角的平分线和的交点，试分析和有怎样的关系？请说明理由；（）如图，是外角与外角的平分线和的交点，则与有怎样的关系？请说明理由．【答案】问题：，；（）；（），理由见解析；（），理由见解析．【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的外角性质，掌握三角形内角和定