专题04 整式的乘法与因式分解（考点清单5个考点清单+16种题型解读）原卷版-A4

第页专题04整式的乘法与因式分解（考点清单，5个考点清单+16种题型解读）【清单01】幂的运算1.同底数幂的乘法性质(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即（都是正整数）.（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）.2.幂的乘方法则(其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.要点诠释：（1）公式的推广：(，均为正整数)（2）逆用公式：，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.3.积的乘方法则(其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.要点诠释：（1）公式的推广：(为正整数).（2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：注意事项（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏.（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.【清单02】整式的乘法1.单项式乘单项式单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.要点诠释：（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成.（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.2.单项式与多项式相乘的运算法则单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即.要点诠释：（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同.（3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.3.多项式与多项式相乘的运算法则多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.要点诠释：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：.【清单03】整式的除法1．同底数幂的除法同底数幂的除法法则：一般地，我们有（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）．语言叙述：同底数幂相除，底数不变，指数相减．【拓展】（1）同底数幂的除法法则的推广：当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质，例如：（a≠0，m，n，p都是正整数，并且m>n+p）．（2）同底数幂的除法法则的逆用：（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）．2．单项式除以单项式单项式除以单项式法则：一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．式．【归纳】该法则包括三个方面：（1）系数相除；（2）同底数幂相除；（3）只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式．【注意】可利用单项式相乘的方法来验证结果的正确性．3．多项式除以单项式多式除以单项式法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．【注意】（1）多项式除以单项式是将其化为单项式除以单项式问题来解决，在计算时多项式里的各项要包括它前面的符号．（2）多项式除以单项式，被除式里有几项，商也应该有几项，不要漏项．（3）多项式除以单项式是单项式乘多项式的逆运算，可用其进行检验．【清单04】乘法公式1.平方差公式平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.要点诠释：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：（1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型（2）系数变化：如（3）指数变化：如（4）符号变化：如（5）增项变化：如（6）增因式变化：如2.完全平方公式完全平方公式：两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：3.补充公式；；；.【清单05】因式分解1.因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.要点诠释：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.2.公因式多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.要点诠释：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.3.提公因式法把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．要点诠释：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即.（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.4.公式法——平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.（2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.（3）套用公式时要注意字母a和b的广泛意义，a、b可以是字母，也可以是单项式或多项式.5.公式法——完全平方公式两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．即，.形如，的式子叫做完全平方式.要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.右边是两数的和（或差）的平方.（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.（4）套用公式时要注意字母a和b的广泛意义，a、b可以是字母，也可以是单项式或多项式.【考点题型一】幂的运算【例1】（2023秋•永春县期末）已知，，为正整数，且满足，则的取值不可能是A．5 B．6 C．7 D．8【变式1-1】（2024春•港南区期末）若，则A．3 B．4 C．5 D．6【变式1-2】（2023秋•仓山区校级期末）下列运算正确的是A． B． C． D．【变式1-3】（2023秋•郾城区期末）计算：．【考点题型二】幂的运算的逆运算【例2】（2023秋•南阳期末）在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题，例如：“若，，求的值．”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即，所以，所以．（1）若，，请你也利用逆向思考的方法求出的值；（2）下面是小豫用逆向思考的方法完成的一道作业题，请你参考小豫的方法解答下面的问题：小豫的作业计算：；解：．①小豫的求解方法逆用了幂的一条运算性质，请你用符号（字母）语言直接写出这条性质：．②计算：．【变式2-1】（2024春•唐山期末）若，，则的值是A．24 B．10 C．3 D．2【变式2-2】（2023秋•东莞市校级期末）已知，，则值为A．9 B．20 C． D．【变式2-3】（2023秋•舒兰市期末）当，则的值为A．4 B． C．6 D．8【变式2-4】（2023秋•金昌期末）已知，，、为正整数，求．【考点题型三】幂的运算的应用——比较大小【例3】（2023秋•郸城县期末）比较、、的大小A． B． C． D．【变式3-1】（2023秋•舞阳县期末）已知，，，则，，的大小关系是A． B． C． D．【变式3-2】（2023秋•藁城区期末）比较大小：．【考点题型四】整式的乘除法【例4-1】（2023秋•南陵县期末）计算：．【例4-2】（2023秋•广阳区校级期末）计算的结果是．【例4-3】（2023秋•和县期末）．【例4-4】（2023秋•雷州市期末）．【例4-5】（2023秋•汉阳区校级期末）计算：．【例4-6】（2023秋•廉江市期末）（1）已知，，求的值．（2）已知，，，求的值．【例4-7】（2023秋•于都县期末）已知多项式．化简多项式时，小明的结果与其他同学的不同，请你检查小明同学的解题过程．在标出①②③④的几项中出现错误的是，并写出正确的解答过程．小明的作业：①②③④．【变式4-1】（2023秋•黔南州期末）式子化简后的结果是A． B． C． D．【变式4-2】（2023秋•漳州期末）如果，那么、的值分别是A．， B．， C．， D．，【变式4-3】（2023秋•大连期末）下列运算正确的是A． B． C． D．【变式4-4】（2023秋•西宁期末）计算：．【变式4-5】（2023秋•松北区期末）若，，则．【变式4-6】（2023秋•雨花区期末）若，则．【考点题型五】乘法公式【例5-1】（2023秋•久治县期末）已知，，求与的值．【例5-2】（2023秋•江阳区期末）计算：．【例5-3】（2023秋•鞍山期末）运用乘法公式计算：【变式5-1】（2024春•平南县期末）已知，，则代数式的值为A．8 B．18 C．19 D．25【变式5-2】（2023秋•安康期末）计算：．【考点题型六】因式分解【例6-1】（2023秋•自贡期末）下列等式从左到右的变形，是因式分解的是A． B． C． D．【例6-2】（2024春•港南区期末）单项式与的公因式是A． B． C． D．【例6-3】（2023秋•乳山市期末）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是A． B． C． D．【例6-4】（2023秋•高青县期末）分解因式：（1）；（2）．【变式6-1】（2023秋•滨海新区期末）把多项式分解因式时，应提取的公因式是A． B． C． D．【变式6-2】（2023秋•临潼区期末）阅读下列材料：数学研究发现常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别因式分解后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．此种因式分解的方法叫做“分组分解法”．请在这种方法的启发下，解决以下问题：（1）因式分解：；（2）因式分解：．【变式6-3】（2023秋•东城区期末）利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以为未知数，、、、为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二项式系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则．根据阅读材料解决下列问题：（1）用十字相乘法分解因式：；（2）用十字相乘法分解因式：；（3）结合本题知识，分解因式：．【考点题型七】解决不含某项问题【例7】（23-24八年级·山东聊城·期末）已知多项式M=x2−3ax+6，N=x+3，且MN=A，当多项式A中不含x的2次项时，aA．−1 B．−13 C．0【变式7-1】（2023秋•楚雄州期末）如果计算的结果不含项，那么的值为A．0 B．1 C． D．【变式7-2】（2024春•广陵区期末）若的结果中不含项，则的值为A．0 B．2 C． D．【变式7-3】（2023秋•同心县校级期末）如果展开式中不含项，则．【考点题型八】解决与某个字母取值无关的问题【例8】（23-24八年级·湖南常德·期中）知识回顾：八年级学习代数式求值时，遇到过这样一类题“代数式ax−y+6+3x−5y−1的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式=a+3x−6y+5，所以a+3=0，则理解应用：(1)若关于x的多项式2m2−3x−m3−5x的值与(2)已知A=2x+13x−1−x5+3y，B=2x2−3xy+4【变式8】（23-24八年级·浙江金华·期末）若代数式x5kx−3xy−k−33x2y−4A．2 B．−2 C．−4 D．4【考点题型九】解决污染问题【例9】（2023秋•重庆期末）小明计算一道题：，的地方被钢笔水弄污了，你认为内应填写A．1 B．2 C．3 D．4【变式9-1】（23-24八年级·贵州遵义·期末）小明作业本发下来时，不小心被同学沾了墨水：24x4yA．−18x3y2 B．18x3【变式9-2】（23-24八年级·湖北十堰·期末）右侧练习本上书写的是一个正确的因式分解.但其中部分代数式被墨水污染看不清了.（1）求被墨水污染的代数式；（2）若被污染的代数式的值不小于4，求x的取值范围.【变式9-3】（2023秋•南昌期末）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：（1）求所捂的多项式；（2）若，，求所捂多项式的值．【考点题型十】解决误看问题【例10】（2023秋•浏阳市期末）小马和小虎两人共同计算一道整式乘法题：，由于小马抄错了的符号，得到的结果为；由于小虎漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果为．（1）求出，的值；（2）请你计算出这道整式乘法题的正确结果．【变式10】（2023秋•西平县期末）某同学在计算加上一个多项式时错将加法做成了乘法，得到的答案是，由此可以推断出正确的计算结果是A． B． C． D．【考点题型十一】新定义问题【例11】（2023秋•衡阳期末）对于整数、定义运算：※（其中、为常数），如3※．（1）填空：当，时，2※；（2）若1※，2※，求的值．【变式11-1】（2023秋•江汉区期末）定义一种新的运算“”，若，则．①依定义，；②若，，，，则．【变式11-2】（2023秋•攸县期末）一般地，若且，，则叫做以为底的对数，记为，即．譬如：，则4叫做以3为底81的对数，记为（即．根据对数的定义完成下列问题：（1）计算以下各对数的值：；；．（2）由（1）中计算的结果及结合三个数4；16；64之间满足的等量关系式，直接写出；；满足的等量关系式．（3）由（2）猜想一般性结论：且，，，并根据幂的运算法则：以及对数的含义证明你的猜想．【变式11-3】（2023秋•望城区期末）规定，求：（1）求；（2）若，求的值．【变式11-4】（2023秋•鲤城区期末）规定两数、之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以．根据上述规定，填空：（1）；（2）若，，则的值为．【考点题型十二】规律问题【例12】（23-24八年级·福建宁德·期末）“九章兴趣小组”开展研究性学习，对两位数乘法的速算技巧进行研究．小明发现“十位相同，个位互补”的两个两位数相乘有速算技巧．例如：24×26=100×2×342×48=100×4×5小红发现“十位互补，个位为5”的两个两位数相乘也有速算技巧．例如：45×65=100×4×6+535×75=100×3×7+5(1)请你按照小明发现的技巧，写出计算63×67的速算过程；(2)请你用含有字母的等式表示小明所发现的速算规律，并验证其正确性；(3)小颖发现：小红的速算技巧可以推广到“十位互补，个位相同”的两个两位数相乘．请你直接用含有字母的等式表示该规律．友情提示：如果两个正整数和为10，则称这两个数互补．【变式12-1】（23-24八年级·福建宁德·期中）下图揭示了(a+b)n（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律．请观察并解决问题：今天是星期五，再过7天也是星期五，那么再过514天是星期

……(a+b)……(a+b)……a+b……a+b【变式12-2】（23-24八年级·四川成都·期中）观察：下列等式x−1x+1=x2−1，x−1x2+x+1=【变式12-3】（23-24八年级·广东揭阳·期中）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2020年11月份的日历，我们任意用一个2×2的方框框出4个数，将其中4个位置上的数交叉相乘，再用较大的数减去较小的数，你发现了什么规律？(1)图中方框框出的四个数，按照题目所说的计算规则，结果为．(2)换一个位置试一下，是否有同样的规律？如果有，请你利用整式的运算对你发现的规律加以证明；如果没有，请说明理由．【考点题型十三】几何图形问题【例13】（2023秋•乾安县期末）如图，一个小长方形的长为，宽为，把6个大小相同的小长方形放入到大长方形内．（1）大长方形的宽，长（长和宽都用含，的式子来表示）．（2）求在大长方形中，阴影部分的面积（用含，的式子来表示）（3）若，大长方形面积为，大长方形内阴影部分的面积为，则．【变式13-1】（2023秋•安康期末）如图所示的是人民公园的一块长为米．宽为米的空地．预计在空地上建造一个网红打卡观景台（阴影部分）．（1）请用、表示观景台的面积．（结果化为最简）（2）如果修建观景台的费用为200元平方米．且已知（米，（米．那么修建观景台需要费用多少元？【变式13-2】（2023秋•宜州区期末）如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，角上有四个边长为米的小正方形空地，开发商计划将阴影部分进行绿化．（1）用含有、的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）；（2）物业找来阳光绿化团队完成此项绿化任务，已知该队每小时可绿化平方米，每小时收费200元，则该物业应该支付绿化队多少费用？（用含、的代数式表示）【考点题型十四】分类讨论思想【例14】（23-24八年级上·湖北荆门·期末）若是完全平方式，则．【变式】[2024杭州滨江区模拟]若x2－4xy－y2＝0(y＞0)，则xy＝【考点题型十五】数形结合思想【例15-1】（2023秋•临颍县期末）实践与探索如图1，边长为的大正方形有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．（1）上述操作能验证的等式是；（请选择正确的一个）．．．（2）请应用这个公式完成下列各题：①已知，，则．②计算：．【例15-2】（2023秋•晋江市期末）【实践探究】小青同学在学习“因式分解”时，用如图1所示编号为①②③④的四种长方体各若干块，进行实践探究：（1）现取其中两个拼成如图2所示的大长方体，请根据体积的不同表示方法，写出一个代数恒等式：；【问题解决】（2）若要用这四种长方体拼成一个棱长为的正方体，其中②号长方体和③号长方体各需要多少个？试通过计算说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，在一个棱长为的正方体中挖出一个棱长为的正方体，请根据体积的不同表示方法，直接写出因式分解的结果，并利用此结果解决问题：已知与分别是两个大小不同正方体的棱长，且，当为整数时，求的值．【变式15-1】[2023北京石景山区期末]著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微”.如图是由四个长为a，宽为b的长方形拼成的正方形，其中a＞b＞0.根据图形写出一个正确的等式，可以表示为⁠