几何综合（一）专题训练-A4

答案第=page11页，共=sectionpages22页几何综合（一）??2024.11未命名一、解答题1．如图，是等腰直角三角形，，，是的中点，连接，过作于点，与交于点．

(1)求的值；(2)是线段上一点，且，过点作的垂线交于点，请在图中补全图形，用等式表示和的数量关系，并证明．2．已知正方形，将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接，射线交于点F．(1)如图1，当时，求；(2)在延长线上取点G使，连接并延长，交延长线于点H．①在图2中补全图形；②试判断线段的数量关系，并证明．3．如图，在中，边绕点B顺时针旋转（）得到线段，边绕点C逆时针旋转得到线段，连接，点F是的中点．

(1)以点F为对称中心，作点C关于点F的对称点G，连接．①依题意补全图形，并证明；②求证：；(2)若，且于H，直接写出用等式表示的与的数量关系．4．如图，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（不与点B、C重合），延长AE到点F，连接BF，且∠AFB＝45°，G为DC边上一点，且DG＝BE，连接DF，点F关于直线AB的对称点为M，连接AM、BM．（1）依据题意，补全图形；（2）求证：∠DAG＝∠MAB；（3）用等式表示线段BM、DF与AD的数量关系，并证明．5．在正方形ABCD中，点P是边BC上一动点（不包含端点），线段AP的垂直平分线与AB、AP、BD、CD分别交于点M、E、F、N．(1)过点B作BGMN交DC于G，求证：△BGC≌△APB；(2)若AB＝9，BP＝3，求线段MN的长度；(3)请你用等式表示线段ME，EF和FN的数量关系，并证明你的结论．6．如图，在等腰中，．点D是边的延长线上一点，连接，作点D关于直线的对称点E，作直线，交的延长线于点F，过点E作直线的垂线，交的延长线于G、交的延长线于H．(1)依题意补全图形；(2)设，求的大小（用含α的式子表示）；(3)用等式表示，，之间的数量关系，并证明．7．已知正方形，将线段绕点旋转（），得到线段，连接，．(1)如图1，当点在正方形的内部时，若平分，，则______°，四边形的面积为______；(2)当点在正方形的外部时，①在图2中依题意补全图形，并求的度数；②作的平分线交于点．交的延长线于点，连接．用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．8．在中，，，M为的中点，D为线段上的动点，连接，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，连接，．(1)如图1，点D在线段上，求证：；(2)如图2，点D在线段上，连接，取的中点F，连接并延长交的延长线于点G，若，用等式表示线段的数量关系，并证明．9．在中，，D为内一点，连接，，延长到点，使得(1)如图1，延长到点，使得，连接，，若，求证：；(2)连接，交的延长线于点，连接，依题意补全图2，若，用等式表示线段与的数量关系，并证明．10．如图1，在正方形中，点E是边上一点，且点E不与C、D重合，过点A作的垂线交延长线于点F，连接．(1)计算的度数；(2)如图2，过点A作，垂足为G，连接．用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．11．如图在中，，过点A作的垂线．垂足为D，E为线段上一动点（不与点C，点D重合），连接．以点A为中心，将线段逆时针旋转得到线段，连接，与线段交于点G．(1)求证：；(2)用等式表示线段与的数量关系，并证明．12．如图1，P为正方形ABCD边BC上任一点，BG⊥AP于点G，在AP的延长线上取点E，使AG=GE，连接BE，CE．（1）如图2，∠CBE的平分线交AE于N点，连接DN，则∠ANB=．（2）如图2，用等式表示线段BN，DN，AN之间的数量关系，并证明．（提示：过点A作AE的垂线，交NB的延长线于点F）（3）若正方形的边长为2，当P点为BC的中点时，依照题意补全图3，并直接写出CE的长．13．如图1，为正方形边上任一点，于点，在的延长线上取点，使，连接，．(1)如图2，的平分线交于点，连接，则___________．(2)如图2，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．（提示：过点作的垂线，交的延长线于点）14．如图，在正方形中，点E，F分别在，的延长线上，且，的延长线交于点G．(1)求的度数；(2)在线段EG上取点H，使得，连接，．①依题意补全图形；②用等式表示线段与的数量关系，并证明．15．如图，在正方形中，为对角线上一点，连接并延长，交于点，过点做，交于点．(1)用等式表示和的数量关系，并证明；(2)求证：；(3)连接，用等式表示线段，，的数量关系，并证明．16．如图，等边中，点D在边上，且，点E在边上，且，连接，交于点F；(1)求的度数；(2)在线段上截取，连接交于点H，根据题意在图2中补全图形，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明；(3)若等边是的边长是2，直接写出线段的最小值．17．如图1，P是正方形边上一点，线段与关于直线对称，连接并延长交直线于点F，连接．

(1)补全图形，求的大小；(2)用等式表示线段之间的数量关系，并证明；(3)连接，G是的中点，，若点P从点B运动到点C，直接写出的最大值．18．已知AB=BC，∠ABC=90°，直线l是过点B的一条动直线（不与直线AB，BC重合），分别过点A，C作直线l的垂线，垂足为D，E．(1)如图1，当45°＜∠ABD＜90°时，①求证：CE+DE=AD；②连接AE，过点D作DH⊥AE于H，过点A作AF∥BC交DH的延长线于点F．依题意补全图形，用等式表示线段DF，BE，DE的数量关系，并证明；(2)在直线l运动的过程中，若DE的最大值为3，直接写出AB的长．19．如图1，E为正方形对角线上一点（不与B，D重合），F为中点，作于G，连接，．

(1)直接写出线段与的数量关系和位置关系，不必证明；(2)将绕点B逆时针旋转（）．①如图2，若，（1）中的结论是否还成立，若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；②如图3，若，连接且满足，直接用等式表示线段，，之间的数量关系，不必证明．20．如图，在正方形中，点是边上一动点（点与点、不重合），连接，过点作的垂线交延长线于点，连接．(1)依据题意，补全图形；(2)求的度数；(3)连接交于点，若，用含的等式表示线段和之间的数量关系，并说明理由．21．在正方形ABCD中，E是CD边上一点（CE>DE），AE，BD交于点F．（1）如图1，过点F作GH⊥AE，分别交边AD，BC于点G，H．求证：∠EAB=∠GHC；（2）AE的垂直平分线分别与AD，AE，BD交于点P，M，N，连接CN．①依题意补全图形；②用等式表示线段AE与CN之间的数量关系，并证明．22．在正方形中，将边绕点A逆时针旋转得到线段，过B作交于点G，连接．(1)如图1，求证：；(2)当时，依题意补全图2，用等式表示线段，之间的数量关系，并证明．23．如图，在中，为边上一点（不与点A，C重合），点D关于直线的对称点为，连接，将线段绕点旋转，使点的对应点恰好在线段的延长线上．(1)求证：；(2)连接，过点作的垂线，分别交于点G，H．①依题意补全图形；②用等式表示与的数量关系，并证明．24．如图，等边，将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接．(1)依题意补全图形，并求的度数．(2)取的中点，连接并延长，交的延长线于点①用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．②若等边的边长为，点在边上且，直接写出线段的最小值．25．已知：线段，点C是线段的中点，点D在线段上，线段绕点C顺时针旋转得到线段，过B作交的延长线于点F，交直线于点G．(1)如图，补全图形，设，求的度数(可以用α表示)；(2)在（1）中补全图形中，求与的数量关系；(3)在（1）中补全图形中，用等式表示、、的数量关系，并证明．26．已知在中，，D为线段上一点，且．点E在线段上（不与端点重合），以为斜边向右侧作，连接并延长，交线段的延长线于G．(1)如图1，若，直接用等式表示线段与之间的数量关系；(2)如图2，若，①依题意补全图形；②用等式表示线段与之间的数量关系并证明．27．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90点P在线段BC上，延长BC至点Q，使得CQ=CP，连接AP，AQ．过点B作BD⊥AQ于点D，交AP于点E，交AC于点F．K是线段AD上的一个动点(与点A，D不重合)，过点K作GN⊥AP于点H，交AB于点G，交AC于点M，交FD的延长线于点N．(1)依题意补全图1；(2)求证：NM=NF；(3)若AM=CP，用等式表示线段AE，GN与BN之间的数量关系，并证明．28．已知正方形，将线段绕点B旋转，得到线段，连接，．

(1)如图1，当点E在正方形的内部时，若平分，，则________；(2)当点E在正方形的外部时．①在图2中依题意补全图形，并求的度数；②作的平分线交于点G，交的延长线于点F，连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．29．在中，，，D是的中点，E为边上一动点（不与点A，C重合），连接，点A关于直线的对称点为F，过点F作于点H，交射线于点G．(1)如图1，当时，写出与的大小关系；(2)如图1，当时，用等式表示线段与的数量关系，并证明；(3)如图2．当时，依题意补全图2，用等式表示线段，，之间的数量关系（不需证明）．30．如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A、B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．（1）求证：GF=GC；（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．31．如图，四边形是正方形，点E是边上的点，连接，，过点D作，垂足为F，延长到点G，使，连接，，延长交的延长线于点H．(1)依题意补全图形；(2)用含α的式子表示；(3)直接写出的度数；(4)用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．32．正方形ABCD边长为2，点E、F在CB、DC延长线上，且BE=CF，AE与BF延长线交于点G．(1)如图1，求证AE⊥BF；(2)如图2，点M是FG延长线上一点，MG=BG，∠MAD的平分线交BF于点N，连接CN．试探究AN、CN、BN三条线段的数量关系，并证明；(3)如图3，G为BC上一点，过G作GH⊥DG交AB于H点，当BG=____，BH达到最大值，最大值是____．33．正方形，点E、F在、延长线上，且，与延长线交于点G．(1)如图1，求证；(2)如图2，点M是延长线上一点，，的平分线交于点N，连接．试探究、、三条线段的数量关系，并证明；(3)如图3，E为上一点，，F是的中点，G为上一动点，以为边在正方形内作等边，若，则的最小值是．34．已知，点，分别在射线，上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线交射线于点.

(1)如图1，当点在射线上时，求证：是的中点；(2)如图2，当点在内部时，作，交射线于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明。35．【问题】在中，，为内一点，连接，，延长到点，使得．（1）如图，延长到点，使得，连接，．若，求证：；（2）依题意补全图，连接，交的延长线于点，连接．若，用等式表示线段与的数量关系，并证明．【问题】如图，在中，，如果点为线段上一动点，点为线段上一动点，且，连接、，且，，请直接写出的最小值为________．参考答案：1．(1)；(2)．见解析【分析】（1）证和相似得，由点为的中点及得，设，，则，，进而得，由此可得的值；（2）先证为等腰直角三角形得，，再由得，则，设，由（1）可知，，，则，，进而可求出，，再证和相似得，即，由此得，据此可得和的数量关系．【详解】（1）解：，，，又，，，即，点为的中点，，，，，设，，在中，，，由勾股定理得：，，在中，，，由勾股定理得：，；（2）解：补全图形如下图所示，，证明如下：

，，为等腰直角三角形，，，，，，设，由（1）可知：，，，，，在中，，，则，由勾股定理得：，在中，，由勾股定理得：，，，，，，又，，，即，，，，．【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，理解等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键．2．(1)(2)①画图见解析；②，证明见解析【分析】（1）先根据正方形的性质得到，再由旋转的性质得到，进而推出，，是等边三角形，利用等腰三角形的性质和等边三角形的性质求出的度数即可得到答案；（2）①根据题意补全图形即可；②如图所示，在上取一点M使得，连接，证明，得到，，根据等边对等角得到，据此可证，得到，则，即可证明．【详解】（1）解：∵四边形是正方形，∴，由旋转的性质可得，∴，，是等边三角形，∴，∴；（2）解：①如图所示，即为所求；②，证明如下：如图所示，在上取一点M使得，连接，∵四边形是正方形，∴，又∵，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质与判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键．3．(1)①补全图形见解析，证明见解析；②见解析(2)【分析】（1）①依题意补全图形如图所示，先证明，推出，然后结合旋转的性质可得结论；②设，则，在四边形中，由全等三角形的性质得到，进而可证明，再证明即可证明；根据对称的性质可证明，可得结论；（2）连接，如图，根据等边三角形的性质结合（1）②的结论可得是等边三角形，可得，再根据等边三角形的性质、30度角的直角三角形的性质以及三角函数即可得出结论．【详解】（1）①依题意补全图形如图所示：证明：∵点F是的中点，∴，∵点C关于点F的对称点为G，∴，又∵，∴，∴，由旋转的性质可得：，∴；

②证明：设，则，在四边形中，

，由（1）①得，∴，∴，∴，又∵，∴∴；（2）解：连接，如图，由题意得，∵，∴，∴，∵，∴是等边三角形，∴，∵点F是的中点，∴，∴，∵，，∴；∴与的数量关系是．【点睛】本题考查了对称变换、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、30度角的直角三角形的性质以及三角函数等知识，熟练掌握相关图形的判定和性质是解题的关键．4．(1)详见解析;(2)详见解析;(3)BM2+DF2＝2AD2；证明见解析.【分析】（1）由题意画出图形即可；（2）由SAS证明△ABE≌△ADG得出∠BAE=∠DAG，由对称的性质得出∠BAE=∠MAB，即可得出∠DAG=∠MAB；（3）连接BD，延长MB交AG的延长线于点N，由SAS证明△BAN≌△DAF得出∠N=∠AFD=45°，得出∠BFD=90°，由勾股定理得出BF2+DF2=BD2，即可得出结论．【详解】（1）如图1所示：（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABC＝∠BAD＝∠ADG＝90°，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE＝∠DAG，∵点F关于直线AB的对称点为M，∴∠BAE＝∠MAB，∴∠DAG＝∠MAB；（3）BM2+DF2＝2AD2；理由如下：连接BD，延长MB交AG的延长线于点N，如图2所示：∵∠BAD＝90°，∠DAG＝∠MAB，∴∠MAN＝90°，由对称性可知：∠M＝∠AFB＝45°，∴∠N＝45°，∴∠M＝∠N，∴AM＝AN，∵AF＝AM，∴AF＝AN，∵∠BAE＝∠DAG，∴∠BAN＝∠DAF，在△BAN和△DAF中，，∴△BAN≌△DAF（SAS），∴∠N＝∠AFD＝45°，∴∠BFD＝90°，∴BF2+DF2＝BD2，∵BDAD，BM＝BF，∴BM2+DF2＝2AD2．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解题的关键．5．(1)见解析(2)(3)ME+FN＝EF，证明见解析【分析】(1)过点B作BG∥MN交DC于G，利用AAS即可得△BGC≌△APB（AAS）；(2)由△BGC≌△APB，得到BG＝AP，证明四边形BMNG是平行四边形，由平行四边形的性质得MN＝BG＝AP，由勾股定理AP的长度，即可得到结果．(3)过P作PH∥AB交MN于H，过F作ST∥AB交BC于S，交AD与T，连接AF，PF，通过△AME≌△PHE，得到ME＝HE，再由矩形的性质和三角形全等得到BS＝AT，FS＝AT，由Rt△FPS≌Rt△ATF，得到PS＝TF，可得PS＝TD，再根据平行线分线段成比例定理即可证明．【详解】（1）证明：如图，过点B作BG∥MN交DC于G，∴BG⊥AP，∴∠CBG+∠BPA＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCG＝90°，∴∠CBG+∠CGB＝90°，∴∠CGB＝∠BPA，在△BGC与△APB中，，∴△BGC≌△APB（AAS），（2）解：∵△BGC≌△APB，∴BG＝AP，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∵BG∥MN，∴四边形BMNG是平行四边形，∴MN＝BG＝AP，在Rt△ABP中，AB＝9，BP＝3，∴，∴MN＝；（3）解：ME+FN＝EF．理由如下证明：如图，过P作PH∥AB交MN于H，过F作ST∥AB交BC于S，交AD与T，连接AF，PF，∵MN垂直平分AP，∴AE＝PE，AF＝PF，∵PH∥AB，∴∠MAE＝∠HPE，在△AME与△PHE中，，∴△AME≌△PHE（ASA），∴ME＝HE，∵∠TDF＝∠FBP＝45°，∴TD＝TF，FS＝BS，∵四边形ABST是矩形，∴BS＝AT，∴FS＝AT，t在Rt△FPS与Rt△ATF中，，∴Rt△FPS≌Rt△ATF（HL），∴PS＝TF，∴PS＝TD，∵四边形TSCD是矩形，∴TD＝SC，∴PS＝SC，∵PH∥TS∥CD，∴HF＝FN，∴ME+FN＝EF．【点睛】此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定和垂直平分线的性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解决问题关键，属于中考常考题型．6．(1)见详解(2)(3)，理由见解析【分析】（1）根据题意补全图图形即可．（2）有等腰三角形的性质求出的度数，进一步得出，由轴对称的性质可得出垂直平分，进一步得出，，根据三角形的外角性质可得出．（3）在直线上截取，结合已知条件可得出垂直平分，由垂直平分线的性质可得出，，再证明，，，利用证明，由全等三角形的性质可得出，由勾股定理得出，等量代换可得出．【详解】（1）解：补全图形如图如下：（2）在等腰中，，∴，∴，∵，∴，∵点D、点E关于直线的对称，∴垂直平分，∴，，，∵，∴，∴．（3）判断关系∶在直线上截取，∵，即，∴垂直平分，∴，，∵，∴，∴，，∴，，∵，∴，∴，在中，，∴，∴【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，轴对称的性质三角形外角的定义和性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定以及性质，勾股定理等知识，掌握这些性质是解题的关键．7．(1)；(2)①见解析，；②【分析】（1）由旋转的性质得出，证明，由全等的性质得出，可求出，过点作于点，求出的面积即可得到答案；（2）①由题意画出图形，由旋转的性质及等腰三角形的性质可得出答案；②过点作交的延长线于点，证明，由全等三角形的性质得出，由等腰直角三角形的性质可得出结论．【详解】（1）解：将线段绕点旋转，得到线段，，，正方形，，平分，，，，，过点作于点，，，，四边形的面积；（2）①解：将线段绕点旋转，得到线段，，，，，；②解：．过点作交的延长线于点，平分，垂直平分，，，，，，，，，，，，，，，，．【点睛】本题是四边形综合题，考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，找到正确的全等三角形是解题的关键．8．(1)见解析(2)，证明见解析【分析】（1）由旋转性质和斜边的中线等于斜边的一半可证为等边三角形，进而可证，即可证明结论；（2）在上截取，连接，利用证明，由等边三角形的性质和全等三角形的性质可证由平行线的性质可证进而可证明结论；【详解】（1）证明：∵将线段绕点C逆时针旋转得到线段，，，，∵M为的中点，，，为等边三角形，，，，，，，，；（2），

证明：如图，在上截取，连接，∵F是的中点，，，，，为等边三角形，，，，，，又，，．【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，斜边的中线等于斜边的一半，解题关键是熟练掌握以上知识点，正确作出辅助线；9．(1)见解析(2)；证明见解析【分析】（1）先利用已知条件证明，得出，推出，再由即可证明；（2）延长BC到点M，使CM＝CB，连接EM，AM，先证，推出，通过等量代换得到，利用平行线的性质得出，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得到．【详解】（1）证明：在和中，，∴，∴，∴，∵，∴．（2）解：补全后的图形如图所示，，证明如下：延长BC到点M，使CM＝CB，连接EM，AM，∵，CM＝CB，∴垂直平分BM，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，∵，∴，∴．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，平行线的判定与性质，勾股定理的逆用，直角三角形斜边中线的性质等，第二问有一定难度，正确作辅助线，证明是解题的关键．10．(1)(2)，证明见解析【分析】（1）先证明，再利用等腰直角三角形的性质得出结论；（2）连接，先证明，得出，取的中点M，连接，证明，从而得出结论．【详解】（1）解：四边形是正方形，，，，，，，，，，，是等腰直角三角形；（2）．理由：如图，取的中点，连接，，

是等腰直角三角形，，是的中点，，同理，在中，，，，，，，，；∵，为的中位线，，，，在中，，为等腰三角形，，，，，，．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，作出合适的辅助线是解题的关键．11．(1)见解析(2)线段与的数量关系是．证明见解析【分析】（1）由题意知，故．（2）过点A作的垂线，可证得，由全等三角形性质知，由相似三角形的性质即可推导得．【详解】（1）∵，∴，∵，∴，∴（2）连接．在和中，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴∵，∴【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，由相似的性质得另外两边与中位线的交点为中点．12．（1）45°；（2）BN+DN=2AN，理由见解析；（3）补全图见解析，【分析】（1）由线段垂直平分线上性质可得AB=BE=BC，由等腰三角形的性质可得∠EBG=∠ABE=（∠ABC+∠CBE），由等腰三角形的性质可得∠NBE=∠CBN=∠CBE，即可求解；（2）只要证明△BGN，△DHN都是等腰直角三角形即可解决问题；（3）由勾股定理可求AP，由面积法可求BG，通过证明△BPG≌△CNP，可得CN=BG，即可求解．【详解】（1）证明：∵BG⊥AP，AG=GE，∴BG垂直平分线段AE，∴AB=BE，又∵AG=GE，∴∠EBG=∠ABE=（∠ABC+∠CBE），在正方形ABCD中，AB=BC，∴BE=BC，又∵BN平分∠CBE，∴∠NBE=∠CBN=∠CBE，∴∠GBN=∠GBE-∠NBE=（∠ABC+∠CBE）-∠CBE=∠ABC=45°，∵BG⊥AE，∴∠ANB=45°，故答案为：45°；（2）BN+DN=2AN，理由如下：过点D作DH⊥AE于H，连接AC．∵∠ANB=45°=∠NBG，∴BG=GN，BN=2GN，∵DH⊥AP，∠DAB=90°，∴∠DAH+∠ADH=∠DAH+∠BAD=90°，∴∠ADH=∠BAH，∵∠AHD=∠AGB=90°，AD=AB，∴△ADH≌△BAG（AAS），∴AH=BG=GN，DH=AG，∴HN=HG+GN=HG+AH=AG，∴DH=HN，∵∠DHN=90°，∴DN=HN=2AG，∴BN+DN=2GN+2AG=2AN；（3）如图3，连接CN，根据勾股定理，AP==，∵S△ABP=•AB•BP=•AP•BG，∴BG==，∵BC=BE，∠CBN=∠EBN，BP=BP，∴△CBN≌△EBN（SAS），∴CN=CE，∠BNE=∠BPC，∵∠ANB=45°，∴∠BNE=∠135°=∠BNC，∴∠CNP=90°=∠CNE，∵BP=PC，∠BGP=∠CNP=90°，∠BPG=∠CPN，∴△BPG≌△CNP（AAS），∴CN=BG，∴CE=2CN=2×=．【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，证明三角形全等是解决问题的关键．13．(1)(2)，证明见解析【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得，由等腰三角形的性质可得，，即可求解；（2）过点作的垂线，交的延长线于点，利用全等三角形的性质及等腰直角三角形的性质即可解决问题．【详解】（1）证明：，，垂直平分线段，，又，，在正方形中，，，又平分，，，，，故答案为：；（2）解：，理由如下：过点作的垂线，交的延长线于点，，，由（1）得，得，，，，，，，．【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．14．(1)(2)，证明见解析【分析】本题考查了正方形的性质，平行线的性质，三角形的全等判定，等腰直角三角形的性质，熟练的掌握它们的性质和判定，作出合理的辅助线是解决问题的关键．（1）根据题意可得，，，，由此可证，得到，再根据，，即可得到．（2）依据题意补充图形后，过点作交于点，根据，，可得到、为等腰直角三角形，再证，即可得到线段与的数量关系．【详解】（1）解：如图所示，为正方形，，，，，，，，，，，．．（2）解：①如图所示，在线段EG上取点H，使得，连接，，②过点作交于点，如图所示，，，为等腰直角三角形，，，，，为等腰直角三角形，，，即，（第一问已证），，又，，，为等腰直角三角形，，．15．(1)，理由见解析(2)见解析(3)，理由见解析【分析】（1）根据四边形内角和求解即可得出答案；（2）过作于，过作于，先根据正方形性质得出平分，然后根据角平分线的性质得出，然后根据证明即可；（3）过作交延长线于点，连接，先根据证明，得出，，然后根据证明，得出，然后根据线段的和差关系即可得出结论．【详解】（1）解：．理由：∵四边形是正方形，∴，∵，∴，四边形内角和为，∴，即；（2）证明：过作于，过作于，∵四边形是正方形，∴平分，∴，∵，，∴，又，∴（），∴；（3）解∶．理由∶如图，过作交延长线于点，连接，，∵四边形是正方形，∴，，∴，，∴，又，∴（），∴，，∵，，∴，∴，又，∴，∴，又，，∴（），∴，又，，∴【点睛】本题考查了正方形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，添加合适的辅助线进行解答是解题的关键．16．(1)(2)画图见解析，，证明见解析(3)【分析】（1）根据是等边三角形得到，结合即可得到，得到，根据三角形外角关系即可得到答案；（2）如图所示，延长到M，使得，连接，则是等边三角形，，先证明，得到，再证明，即可证明；（3）如图所示，连接，取的中点N，连接，由全等三角形的性质得到，即点H为的中点，则，推出点H在以为直径的圆上运动，故当三点共线时，有最小值，求出，则．【详解】（1）解：∵是等边三角形，∴，在和中，∴，∴，∵，∴；（2）解：，证明如下：如图所示，延长到M，使得，连接，∵，，∴是等边三角形，，∴，∵是等边三角形，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴；（3）解：如图所示，连接，取的中点N，连接，∵，∴，即点H为的中点，∵是等边三角形，∴，即，∴点H在以为直径的圆上运动，∴当三点共线时，有最小值，∵是等边三角形，N是的中点，∴，，∴，∴．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，圆外一点到圆上一点的最值问题，勾股定理等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．17．(1)(2)，证明见解析(3)【分析】（1）补全图形如图1，由线段与关于直线对称，可知，，则，，根据，计算求解即可；（2）如图2，连接，，连接交于，由对称的性质可得，，，，则，，是等腰直角三角形，，，，由，证明，则，计算求解即可；（3）如图3，连接，，交点为，则，，是的中位线，，由题意知，在以为圆心，以2为半径的的圆上运动，则在以为圆心，以1为半径的的圆上运动，如图3，当三点共线时，最大，根据，计算求解即可．【详解】（1）解：补全图形如图1，

∵线段与关于直线对称，∴，，∴，∵，∴，∴为；（2）解：，证明如下：如图2，连接，，连接交于，

由对称的性质可得，，，，∴，，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，即，又∵，∴，∴，解得，∴；（3）解：如图3，连接，，交点为，

由正方形的性质可得，，为的中点，∴，，又∵是的中点，∴是的中位线，∴，由题意知，在以为圆心，以2为半径的的圆上运动，∴在以为圆心，以1为半径的的圆上运动，如图3，∴当三点共线时，最大，∴，∴最大值为．【点睛】本题考查了轴对称的性质，正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定与性质，中位线，圆，余弦等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．18．(1)①见解析；②补全图形见解析；线段DF，BE，DE的数量关系为．证明见解析；(2)【分析】（1）①根据ASA证明△ABD≌△BCE，推出AD=BE，BD=CE，由此得到．

②利用同角的余角相等推出∠ABD=∠DAF．利用三角形外角性质推出∠HED=∠ADF．进而证明△ADF≌△BEA．得到DF=AE．利用勾股定理证得，由此得到．

（2）当直线l在∠ABC外部时，由（1）知△ABD≌△BCE．得到DE=DB+BE=DB+AD，设AD=x，则BE=x，DB=DE-BE=3-x，推出AB2=，根据函数的性质解答【详解】（1）①证明：∵∠ABC=90°，∴∠ABD+∠CBD=90°．∵CE⊥l，∴∠CEB=90°．∴∠CBD+∠C=90°．∴∠ABD=∠C．

∵AD⊥l，∴∠ADB=90°=∠CEB．∵AB=BC，∴△ABD≌△BCE．∴AD=BE，BD=CE．∵，∴．

②补全图形如图：线段DF，BE，DE的数量关系为．

证明如下：∵AF∥BC，∴∠BAF+∠ABC=180°．∵∠ABC=90°，∴∠BAF=90°．∴∠BAD+∠DAF=90°．∵AD⊥l，∴∠ADB=90°．∴∠BAD+∠ABD=90°．∴∠ABD=∠DAF．∵DF⊥AE于H，∴∠DHE=90°．∴∠HDE+∠HED=90°．∵∠ADE=∠ADF+∠HDE=90°，∴∠HED=∠ADF．∵由（1）中全等，有AD=BE，∴△ADF≌△BEA．∴DF=AE．∵在中，，∴．（2）当直线l在∠ABC外部时，由（1）知△ABD≌△BCE．∴AD=BE，BD=CE，∴DE=DB+BE=DB+AD，设AD=x，则BE=x，DB=DE-BE=3-x，∴==∴当x=时，AB2有最小值，即AB=．故当DE取最大值3时，AB为【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数的性质，熟记全等三角形的判定与性质定理是解题的关键．19．(1)，(2)①（1）中的结论成立，证明见解析；②【分析】（1）如图1，延长到M，使，连接，，，分别证明和，得到，，则是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得结论；（2）①如图2，延长到M，使，连接，，，同（1）中方法，分别证明和，得到，，则是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得结论；②如图3，延长到M，使，连接，，，同①中方法，可证得，，利用勾股定理可得关系式．【详解】（1）解：，．理由：如图1，延长到M，使，连接，，，

∵四边形是正方形，∴，，，∵F为中点，∴，又，∴，∴，，∴，∵，，∴，，∴，C、D、M共线，则，在和中，，∴，∴，，∴，则是等腰直角三角形，又，∴，；（2）解：①（1）中的结论，即，．证明：如图2，延长到M，使，连接，，，

同（1），∵，又，，∴，∴，，∴，∵绕点B逆时针旋转，结合（1）中的，∴绕点D逆时针旋转，则，∴在和中，，∴，∴，，∴，则是等腰直角三角形，又，∴，；②如图3，延长到M，使，连接，，，

同①中方法，可证得，，∴，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、旋转性质、勾股定理等知识，添加辅助线构造全等三角形，结合等腰直角三角形的性质探究线段之间的关系是解答的关键．20．(1)见解析(2)45°(3)，见解析【分析】（1）根据已知补全图形即可；（2）由四边形是正方形，得，，而，可证明，即得是等腰直角三角形，故；（3）过作于，过作于，根据四边形是正方形，可得是等腰直角三角形，从而，由，可知，，即得，，故．【详解】（1）解：补全图形如下：（2）解：四边形是正方形，，，，，，，，是等腰直角三角形，；（3）解：过作于，过作于，如图：四边形是正方形，，是等腰直角三角形，，，，，四边形是正方形，，，，，，，，，，，而，，即．【点睛】本题考查四边形综合应用，涉及等腰直角三角形的性质及判定，全等三角形的性质及判定，相似三角形的判定及性质等，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形转化线段比．21．（1）详见解析；（2）①补全图形，如图所示．②．详见解析【分析】（1）根据正方形的性质，有AD∥BC，∠BAD=90°，得到∠AGH=∠GHC，再根据GH⊥AE，得到∠EAB=∠AGH，即可证明．（2）①根据垂直平分线的作法步骤进行即可．②连接AN，连接EN并延长，交AB边于点Q，根据正方形的性质，得到NA=NC，∠1=∠2，再根据垂直平分线的性质，得到NA=NE，进而得到NC=NE，∠3=∠4，在正方形ABCD中，BA∥CE，∠BCD=90°，得到∠AQE=∠4，∠1+∠AQE=∠2+∠3=90°，∠ANE=∠ANQ=90°，最后在Rt△ANE中，即可求解．【详解】（1）证明：在正方形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，∴∠AGH=∠GHC．∵GH⊥AE，∴∠EAB=∠AGH．∴∠EAB=∠GHC．（2）①补全图形，如图所示．②．证明：连接AN，连接EN并延长，交AB边于点Q．∵四边形ABCD是正方形，∴点A，点C关于BD对称．∴NA=NC，∠1=∠2．∵PN垂直平分AE，∴NA=NE．∴NC=NE．∴∠3=∠4．在正方形ABCD中，BA∥CE，∠BCD=90°，∴∠AQE=∠4．∴∠1+∠AQE=∠2+∠3=90°．∴∠ANE=∠ANQ=90°．在Rt△ANE中，∴．【点睛】此题主要考查正方形的性质、垂直平分线的性质和勾股定理，熟练掌握性质就解题关键．22．(1)证明见解答过程；(2)补全图形见解析；，理由见解答过程．【分析】（1），得到，由绕点A逆时针旋转α得到线段，得到，，由正方形性质得到，得到；（2）按照题意补全图形即可，在上取，连接交于M，交于P，连接，，利用、、证明A、H、M、B共圆，从而可得，，再证明，即可得到．【详解】（1）证明：∵边绕点A逆时针旋转得到线段，∴，∵正方形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵正方形，∴，∴，∴；（2）解：补全图2如下：

线段，，理由如下：在上取，连接交于M，交于P，连接，，如图：

∵正方形，∴，，又，∴，∴，，∵，∴∠DAN+∠AHB＝90°，∴，∴，由（1）知，且，∴，∴，而，，∴，∴，∴A、H、M、B共圆，∴，∴，∴，∵，，∴四边形是平行四边形，∴，∵，∴，∴，∵，∴．【点睛】本题考查正方形性质应用及全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定与性质，圆周角定理，难度较大，解题的关键是构造辅助线，将转化为．23．(1)见解析(2)①图见解析②，证明见解析【分析】（1）连接，过于点，证明，得到，，证明，得到，进而得到，得到，即可得证；（2）①根据题意，补全图形即可；②过点作交的延长线于点，交于点，证明，得到，推出两点重合，进而得到，平行线的性质，对顶角相等，推出，进而得到，进而推出，证明，即可得出结论．【详解】（1）证明：连接，过于点，则：，∵点D关于直线的对称点为，∴，又∵，∴，∴，，∵旋转，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；（2）①补全图形如图：②，证明如下：过点作交的延长线于点，交于点，∵，∴，∵，，∴，∴，由（1）知：，∴，∴点重合，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴．【点睛】本题考查轴对称，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识点，正确的添加辅助线，构造特殊三角形和全等三角形，是解题的关键．24．(1)(2)①；②【分析】（1）根据题意作出图形，根据圆周角定理以及等边三角形的性质即可求解；（2）①过点作于点，证明，根据含30度角的直角三角形的性质即可求解；②证明，可得共圆，过点作于点，取的外心点，连接，勾股定理求得，当三点共线时，最小，根据即可求解．【详解】（1）解：如图，∵是等边三角形∴∵，∴在以为半径，为圆心的圆上运动，∴；（2）①如图，过点作于点，∵∴，,∵为的中点，,∴,∴,∴,即,即；②∵∴∵∴∴垂直平分∴∴∴∴由①可得∴∴共圆如图，过点作于点，取的外心点，连接∴∴，∵∴在中，；当三点共线时，最小，此时．【点睛】本题考查了圆周角定理，等边三角形的性质，同弧所对的圆周角相等，旋转的性质，正确的添加辅助线是解题的关键．25．(1)图形见解析，；(2)，理由见解析；(3)，证明见解析．【分析】（1）根据题意补全图形，利用旋转的性质得到，推出，利用直角三角形性质，得到，结合对顶角性质和角的运算得到，再利用直角三角形性质即可得到的度数；（2）连接，根据题意得到，推出，记，则，利用三角形内角和得到，进而得到，利用等腰三角形性质得到，最后进行等量代换，即可解题；（3）过B作交于点H，根据等腰直角三角形的性质结合解直角三角形，进行等量代换，即可解题．【详解】（1）解：根据题意补全图形如下：，线段绕点C顺时针旋转得到线段，，，，，，，，；（2）解：，理由如下：连接，点C是线段的中点，，是的垂直平分线，，，记，，，由（1）可知，，，，；（3）解：，证明如下：过B作交于点H，如图，由（2）可知，，，，，，同理，，，，，整理可得．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，直角三角形性质，旋转的性质以及对顶角性质等知识，掌握等腰三角形的判定与性质是解答本题的关键．26．(1)(2)①见解析，②，证明见解析【分析】（1）延长至点，使得，连接，证明，再利用角度的转换和圆周角定理，得到，最后证明，即可解答；（2）①根据题意补全图形即可；②由角边角可证，可得，由角角边可证，可得，即可证明．【详解】（1）证明：如图，延长至点，使得，连接，，，，，，，，，，设，，，，在中，，，，，，即，四点共圆，，，，，，．（2）①如图，补全图形；②证明：如图，过点C作交的延长线于点H，在上截取，连接．∵，∴，∵，∴，，∵，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴点A、E、C、H四点共圆，∴，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等，作出正确的辅助线，仔细耐心地对角度进行转换是解题的关键．27．（1）见解析；（2）见解析；（3）BN=AE+GN，见解析.【分析】（1）根据题意补全图1即可；（2）根据等腰三角形的性质得到AP=AQ，求得∠APQ=∠Q，求得∠MFN=∠Q，同理，∠NMF=∠APQ，等量代换得到∠MFN=∠FMN，于是得到结论；（3）连接CE，根据线段垂直平分线的性质得到AP=AQ，求得∠PAC=∠QAC，得到∠CAQ=∠QBD，根据全等三角形的性质得到CP=CF，求得AM=CF，得到AE=BE，推出直线CE垂直平分AB，得到∠ECB=∠ECA=45°，根据全等三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）依题意补全图1如图所示；（2）∵CQ=CP，∠ACB=90°，∴AP=AQ，∴∠APQ=∠Q，∵BD⊥AQ，∴∠QBD+∠Q=∠QBD+∠BFC=90°，∴∠Q=∠BFC，∵∠MFN=∠BFC，∴∠MFN=∠Q，同理，∠NMF=∠APQ，∴∠MFN=∠FMN，∴NM=NF；（3）连接CE，∵AC⊥PQ，PC=CQ，∴AP=AQ，∴∠PAC=∠QAC，∵BD⊥AQ，∴∠DBQ+∠Q=90°，∵∠Q+∠CAQ=90°，∴∠CAQ=∠QBD，∴∠PAC=∠FBC，∵AC=BC，∠ACP=∠BCF，∴△APC≌△BFC（AAS），∴CP=CF，∵AM=CP，∴AM=CF，∵∠CAB=∠CBA=45°，∴∠EAB=∠EBA，∴AE=BE，∵AC=BC，∴直线CE垂直平分AB，∴∠ECB=∠ECA=45°，∴∠GAM=∠ECF=45°，∵∠AMG=∠CFE，∴△AGM≌△CEF（ASA），∴GM=EF，∵BN=BE+EF+FN=AE+GM+MN，∴BN=AE+GN．【点睛】本题考查了三角形的综合题，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．28．(1)(2)①补全图形见解析，；②，证明见解析【分析】（1）由旋转的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出，即可求出；（2）①由题意可画出图形，由旋转的性质及等腰三角形的性质可得出答案；②过点B作交的延长线于点H，证明，由全等三角形的性质得出，由等腰直角三角形的性质可得出结论．【详解】（1）解：∵将线段绕点B旋转，得到线段，，，∵四边形是正方形，，，∵平分，，在和中，，∴，，，，，故答案为：；（2）解：①补全图形如图2，

∵将线段绕点B旋转，得到线段，，，，，，；②，证明如下：证明：过点B作交的延长线于点H，如图3，

，平分，垂直平分，，，由①知，，，，，，，∴，，，，，，在和中，，，，，．【点睛】本题是四边形综合题，考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．29．(1)，证明见解析(2)，证明见解析(3)，补图见解析【分析】（1）利用四边形内角和与平角，得到，利用对顶角相等，进而得到，利用等腰直角三角形和对称点性质，得到，再利用三角形内角和即可得出结论；（2）由（1）可得，得到，又因为是中点，即可得到结论；（3）延长到点，使得，得到，由（1）（2）同理可得，再利用勾股定理，即可得出结论．【详解】（1）解：，，，，，，，，，，点F是点A关于直线的对称点，，，，，，，；（2）解：由（1）可知，在和中，，，，是中点，，，，，；（3）解：补图如下图所示，延长到点，使得，是中点，是中位线，由（1）（2）同理可证，，，，，在中，由勾股定理得：，．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，中点性质，对称点性质，四边形内角和，勾股定理，熟练掌握相似三角形的对应角相等，对应边成比例是解题关键．30．（1）证明见解析；（2）BH=AE，理由见解析【分析】（1）连接．根据对称的性质可得．．证明，根据全等三角形的性质得到．进而证明≌，即可证明；（2）在上取点使得，连接．证明≌，根据等腰直角三角形的性质即可得到线段与的数量关系．【详解】（1）证明：连接．∵，关于对称．∴．．在和中，∴，∴．∵四边形是正方形，∴．，∴，∴，∴，∵，，∴．在和中．∴≌，∴．（2）．证明：在上取点使得，连接．∵四这形是正方形．∴，．∵≌，∴．同理：，∴∵，∴，∴，∴．∴．∵，∴．∵，∴，∴．∵，，∴．在和中，∴≌，∴，在中，，．∴，∴．【点睛】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等知识，此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．31．(1)见解析(2)(3)(4)，证明见解析【分析】（1）画线段的延长线与线段的延长线相交于点H即可．（2）如下图，过点A作，交的延长线于点M，由得，再根据四边形是正方形可得，从而得