北师大版高考数学理总复习优化方案

作业56

第9章算法初步、框图

§9.1算法与程序框图

1.（2023年高考福建卷）阅读如图所示口勺程序框图，运行对应的程序,输出rJi值等于（）

第I题第2题

A.2B.3

C.4D.5

解析：选C.当i=l时，6Z=1X2=2,.v=0+2=2,i=l+l=2;由于2>11不成立，故a

=2X22=8,s=2+8=l(),i=2+l=3;由于10>11不成立，故。=3X23=24,s=10+24

=34,Z=3+1=4：34>11成立，故输出口勺i=4.

2.（2023年高考天津卷）阅读如图所示II勺程序框图，若输出s的值为一7,则判断框内可

填写（)

A.B./<4

C.i<5D./<6

解析：选D.由题意可知i=1,s=2-^s=1,i=3f$=—2,Z=5-*s=—7,/=7,因此判

断框内应为i<6.

3.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的-I勺值是（）

第3题第4题

A.4R.5

C.6D.7

解析：选A&=0,S=0,SvlOO,S=0+2°=l;k=\,S<100,S=l+2'=3：k=2,S<100,

S=3+23=ll;k=3,S<1DO,S=11+2"=2059;k=4,S>\0（）,输出％=4.故选A.

4.（2023年高考浙江卷）某程序框图如图所示，若输出的JS=57,则判断框内为（）

A.k>4B.k>5

C.k>6D.k>7

解析：选A.第一次执行后，k=2,S=2+2=4;第二次执行后，k=3,5=8+3=11：

第三次执行后，k=4,5=22+4=26;第四次执行后，k=5,5=52+5=57,此时结束循环,

故判断框中填Q4.

5.给出如图的程序框图，那么输出的S等于（）

第5题第6题

A.2450B.2550

C.5050D.4900

解析：选A.按照程序框图计数，变量i2100时终止循环，累加变量S=0+2+4+…+

98=2450,故选A.

6.程序框图如图所示，其输出成果是

解析：由程序框图可知，a时值依次为1,3,7,15,31,63,127,故输出成果为127.

答案：127

7.(2023年高考江苏卷汝口图是•种算法流程图，则输出的S的值是

第7题第8题

解析：由算法流程图知,当〃=1时，S=l+2'=3：当〃=2时，S=3+2?=7:当〃=3

时，5=7+23=15；当〃=4时，5=154-24=31;当〃=5时，5=31+25=63>33,循环结束,

故输出S的值是63.

答案：63

logax,xN2,

8.(2023年高考北京卷)已知函数)，=、一如图表达的是给定x的值，求其对

2—x,x<2.

应附函数值)，的程序框图.①处应填写：②处应填写.

解析：由框图可知只要满足①中日勺条件则对应口勺函数解析式为y=2-x,故此处应填写

x<2,则②处应填写y=logM.

答案：x<2y=log2X

9.设｛〃”｝是斐波那契数列，则0=42=1，%=斯-]+%-2523),试画出求斐波那契数

列前20项日勺算法框图.

解：

10.已知凡i)=f-2x-3.求7(3)、/(一5)、火5),并计算1A3)+4-5)+/(5)时值.设计出处

理该问题U勺一种算法，并画出程序框图.

解：算法如下：

第一步，令x=3.

第二步，把x=3代入2x—3.

第三步，令x=-5.

第四步，把x=—5代入”=»—2x—3.

第五步，令x=5.

第六步，把x=5代入与=/—2x—3.

第七步，把y,)*第8勺值代入>=)"+>2+”.

第八步，输出y\,再，1y3,丁时值.

该算法对应日勺程序框图如下图所示：

开始

11.(探究选做)某居民区的J物管部门每月向居民按如下措施收取卫生费：3人和3人如下

的住户，每户收取5元；超过3人H勺住户，每超过1人加收1.2元.

(1)怎样设计算法，根据输入的人数计算每户应收取内费用？

(2)根据算法画出其流程图.

解：(1)算法日勺自然语言如下：

第一步：输入〃；

第二步：若〃W3,则c=5,否则c=5+1.2X(〃-3);

第三步：输出c.

⑵流程图如下所示:

/输出C/

作业57

§9.2算法基本语句、算法案例

1.(2023年安徽黄山质检)对于如图所给的算法中，执行循环的I次数是()

5=0

Fori=1To1000

S=S+i

Next

输出S

A.1000B.999

C.1001D.998

答案：A

2.给出如下四个问题：

(1)输入一种数工，输巴它的绝对值；

\1的函数值：

x+2.A<0

(3)求面积为6的正方形口勺周长；

(4)求三个数a,b,c中的最大数.

其中不需要用条件语句来描述其算法的有()

A.I个B.2个

C.3个D.4个

答案：A

3-5,x>0

在求函数丁=<

3.0,x=0时值的算法中不也许用到口勺语句或算法为（）

袋+3,xvO

A.输入语句B.复合If语句

C.输出语句D.排序

答案：D

4.给出下列程序，假如输入一10,—26,8时，那么输出的是（）

输入a,byc

Ifa>bThen

a=b

EndIf

Ifa>cThen

a=c

EndIf

输出a

End

A.-10B.-26

C.8D.0

答案：B

5.假如如下程序运行后输出H勺成果为132,那么在程序中While背面的条件体现式为

5=1

i=12

While条件体现式

$=s*i

i=i-l

Wend

Prints

End

A.i>llB.i^ll

C.iWllD.i<ll

答案：B

6.下面是求l+J+2+—+焉的程序，在横线上应填写日勺是_______.

NO1\J\Jv

i=l

S=0

Do

S=S+；

i=i+l

LoopWhile

输出S

解析：该语句是DoLoop语句，当满足条件时执行循环体，且到儡结束.

答案：iW1000

7.已知算法程序如下，则输出成果5=.

i=0

S=0

Do

i=i+2

5=5+i2

LoopWhilei<6

PrintS

解析：第一步：i=2,S=4,第二步：i=4,S=4+16,第三步：i=6,5=4+16+36

=56,因此，输出56.

答案：56

8.下面是根据所输入的lx值计算y值H勺一种算法程序，若x依次取数列｛忐-1)(〃£N

+)中口勺前200项，则所得y值中的最小值为.

Readx

IfA>0Then

y=1+x

Else

y=1-x

EndIf

Printy

解析：1W/W200,因此一1Wl,

当0<AW1时，由y=l+x,得l<yW2,

当一瑞WxWO时,由)，=1-x,得1WyW1+哥，

因此y值中日勺最小值为I.

答案：1

9.(2023年南阳调研)求1—/+；—；+…一景］值，规定用D。Loop语句实现，写出算

法语句.

解：i=l

sum=0

Do

i=i+l

LoopWhileiW20

输出sum.

1

10.现欲求1+：+：+…T的和（其中〃的值由键盘输入），己给出了其算法框图,

2n-l

请将其补充完整并用基本语句描述这个算法.

解：这是一种运用循环构造来处理求和的问题,故①，=，+1,②s=s+壮T

语句描述为:

输入n

5=0

i=0

Do

i=i+1

s=s+---

2*/-1

LoopWhileiv〃,

输出S.

11.（探究选做）某商场为促销实行优忠措施，若购物金额x在800元以上，打8折，若购

物金额x在500元以上800元如下（含800元），则打9折，否则不打折.设计算法框图，规

定输入购物金额X，能输出实际交款额，并用对应的基本语句加以描述.，解：根据题意，实

x(启500)

际交款额y与购物金额xR勺函数关系如下：,y=\o.9x(5CO<v<800),故可用选择构造设计

0.8x(Q800)

算法，用条件语句描述算法.

算法框图如图所示:

用语句描述为：

输入X

Ifx>800Then

y=0.8.v

Else

Ifx>500Then

y=0.9x

Else

y=x

EndIf

EndIf

输出y.

作业58

第10章计数原理、概率

§10.1两个计数原理

1.既有4件不一样款式的上衣和3条不一样颜色的长裤，假如一条长裤与一件上衣配成

一套，则不一样的配法种数为（）

A.7B.12

C.64D.81

答案：B

2.火车上有10名乘客,要在沿途H勺5个车站下车，问乘客下车的所有也许状况共有（）

A.51°种B.IO5种

C.50种D.以上都不对

答案：A

3.十字路口来往H勺车辆，假如不容许回头，共有不一样H勺行车路线（）

A.24种B.16种

C.12种D.10种

答案：C

4.（2023年高考广东卷）2023年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王

五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不一样工作，若其中小张和小

赵只能从事前两项工作，其他三人均能从事这四项工作，则不一样H勺选派方案共有（）

A.36种B.12种

C.18种D.48种

答案：A

5.从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则日、乙至少有1人入选，而丙没有入

选的不一样选法的种数是（）

A.85B.56

C.49D.28

答案：C

6.有四位老师，在同一年级I内4个班级中各教一种班的数学，在数学考试时，规定每位

老师均不在本班监考，则安排监考的措施总数是种.

解析：设4个班分别为一班、二班、三班、四班，任课老师分别为甲、乙、丙、丁.以

甲为例来研究监考安排，甲有三个班可供选择.若甲在二班监考，则乙有三个班可供选择.甲

在哪个班监考，对应老师均有三个班可供选择，而剩余两位老师的监考位置是确定的.由分

步耒法计数原理得，监考安排的措施有3X3X1X1=9（种）.

答案：9

7.（2023年亳州质检）假如把个位数是I,且恰有3个数字相似的四位数叫做“好数”，

那么在由1,234四个数字构成的有反复数字R勺四位数中，“好数”共有个.

解析：当相似的数字不是1时，有CJ个：当相似的数字是1时，共有个，由分类

加法计数原理得共有“好数”Cl+CjC!=12（个）.

答案：12

8.已知集合4={-1,5},8={-3,6,7},C={1,3,4）,从这三个集合中依次取一种元素

构成空间直角坐标系中点内坐标，则三个坐标都不小于零时点的个数为.

答案：6

9.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3利I分别种在不一样十质的二块十

地上，其中黄瓜必须种植，求有多少种不一样的种植措施？

解：（间接法）从4种蔬菜中选出3种，种在三块地上，有4X3X2=24（种），其中不种黄

瓜有3X2X1=6（种），故共有不一样种植措施24—6=18（种）.

10.电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱，其中放着竞猜中成绩优秀的观众口勺来

信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定名幸

运之星，再从两信箱中各确定一名幸运观众，有多少种不一样的成果？

解：分两类：

第1类，幸运之星左甲箱中抽，选定幸运之星，再在两箱中各抽一名幸运观众有

30X29X20=17400（种）；

第2类，幸运之星在乙箱中抽，有20X19X30=11400（种）.

・••共有不一样成果17400+11400=28800（种）.

11.（探究选做）将红、黄、绿、黑四种不一样的颜色涂入图中H勺五个区域内，规定相邻的

两个区域H勺颜色都不相似，则有多少种不一样的涂色措施？

解：给出区域标识号,4、6、C、D、反如图），则A区城有4种不一样的涂色措施，5区

域有3种，。区域有2种，。区域有2种，但E区域H勺涂色依赖于8与。

所涂8勺颜色，假如8与。颜色相似，有2种，假如不相似，则只有一种，

因此应先分类后分步.

（1）当B与。同色时，有

4X3X2X1X2=48011）;

（2）当B与D不一样包时，有

4X3X2X1X1=24519.

故共有48+24=72（柏不一样R勺涂色措施.

作业59

§10.2排列、组合

1.（2023年高考四川卷）由1、2、3、4、5构成没有反复数字且1、2都不与5相邻H勺五

位数日勺个数是（）

A.36B.32

C.28D.24

答案：A

2.将标号为12345,6H勺6张卡片放入3个不一样的信封中，若每个信封放2张，其中

标号为1,2H勺卡片放入同一信封，则不一样的放法共有（）

A.12种B.18种

C.36种D.54种

答案：B

3.（2023年高考大纲全国卷I）某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从

中共选3门.若规定两类课程中各至少选一门，则不一样的选法共有（）

A.30种B.35种

C.42种D.48种

答案:A

4.某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日（端午节假期）值班，每天安排2人，

每人值班1天.若6位员工中的甲不值14日,乙不值16日，则不一样R勺安排措施共有（）

A.30种B.36种

C.42种D.48种

答案：C

5.（2023年高考天津卷）如图，用四种不一样颜色给图中的A,B,4p

C,D,E,”六个点涂色，规定每个点涂一种颜色，且图中每条线段日勺E\

两个端点涂不一样颜色，则不一样的涂色措施共有（）

A.288种B.264种

C.240种D.168种

答案：B

6.（2023年高考江西卷）将5位志愿者提成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴世

博会的三个不祥场馆服务，不祥的分派方案有种（用数字作答）.

10X3X6

解析：分派方案有用==90（种）.

A?.2

答案：90

7.要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各一节的课程表.规

定数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不一样的排法种数为（用数字作答）.

解析：先在前3节律中选一节安排教学，有A1种安排措施；

在除了数学课与第6节课外日勺4节课中选一节安排英语课，有A1种安排措施；

其他4节课无约束条件，有闻种安排措施.根据分步乘法计数原理，不一样的排法种

数为Aj-Al-Al=288.

答案：288

8.将4名入学生分派到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不一样的分派方案有

种（用数字作答）.

解析:选出两人当作整体，再全排列，有aAg=36（种）方案.

答案：36

9.某校为庆祝2023年元旦，安排了一场文艺演出，其中有3个舞蹈节目和4个小品节

目，按下面规定安排节目单，有多少种措施？

（1）3个舞蹈节目互不相邻；

（2）3个舞蹈节目和4个小品节目彼此相间.

解：（1）先安排4个小品节目，有A1种排法，4个小品节目中和两头共5个空，将3个舞

蹈节目插入这5个空中，共有AS种排法.

因此共有AtAg=1440（种）排法.

（2）由于舞蹈节目与小品节目彼此相间,故小品只能排在1,3,5,7位，舞蹈排在2,4,6位,

安排时可分步进行.

先安排3个舞蹈节目在2,4,6位，有AS种排法；再安排4个小品节目在1,357位,共

A1种排法,故共有Apd=144（种）排法.

10.某地发生了区域性的“手足口病”，某疾病防控中心从10名医疗专家中抽调6名奔

赴该地区，其中这10名专家中有4名是皮肤科专家.

(1)抽调H勺6名专家中哈有2名是皮肤科专家欧I抽调措施有多少种？

(2)至少有2名皮肤科专家的I抽调措施有多少种？

(3)至多有2名皮肤科专家口勺抽调措施有多少种？

解：(1)分步：首先从4名皮肤科专家中任选2名，有CW种选法，再从除皮肤科专家口勺6

人中选用4人，有C2种选法，因此共有CR^=90(种)抽调措施.

(2)(间接法)不考虑与否有皮肤科专家，共有C%种选法，考虑选用I名皮肤科专家参与，

有CJ•以种选法；没有皮肤科专家参与，有以种选法，因此共有：

C%—C1C—C=185(种)抽调措施.

(3)“至多2名”包括“没有”、“有1名”、“有2名”三种状况，分类解答.

①没有皮肤科专家参与，有C2种选法；

②有1名皮肤科专家参与，有C1CN种选法；

③有2名皮肤科专家参与，有C乐C材中选法.

因此共有a+aa+ac=i以种)抽调措施.

ii.(探究选做)用〃种不一样颜色为下侧两块广告牌着色(如图甲、乙所示)，规定在①、

②、③、④四个区域中相邻(有公共边界)的区域不用同一种颜色.

(1)若〃=6,为甲着色时共有多少种不一样措施？

(2)若为乙着色时共有120种不一样措施，求几

解：完毕着色这件事，共分四个环节，可依次考虑为①、②、③、④着色时各自的措施

数，再由分步计数原理确定总口勺着色措施数，因此:

(1)为①着色有6种措泡，为②着色有5种措施，为③着色有4种措施，为④着色也只有

4种措施.

・•・共有着色措施6X5X4X4=480（种）.

（2）与（I”勺区别在于与④相邻的区域由两块变成了三块，同理，不一样8勺着色措施数是

酒〃一1）（〃一2）（〃一3）.

由〃（〃一1）（〃一2）（〃-3）=120,

（n2—3n）（n2—3n+2）—120=0,

即（/-3〃）2+2（/—3八）一12X10=0,

/.n2—3n—10=0,

・・・〃=5.

作业60

§10.3二项式定理

1.（2023年高考陕西卷）（x+S'CiVR）展开式中V的系数为10,则实数。等于（）

A.—1B.z

C.1D.2

答案：D

2.。一,产展开式中时常数项为（）

羽

A.-1320B.1320

C.-220D.220

答案：C

3.若…+CW?能被7整除，则x,〃的值也许为（）

A.x=4,n=3B.x=4,n=4

C.x=5,〃=4D.x=6,〃=5

答案：c

4.在二项式（x2—5）5的展开式中，含的项的系数是（）

A.-10B.10

C.-5D.5

答案：R

5.（l+or+处）"展开式中不含x的项欧I系数绝对值的和为243,不含y的项Fl勺系数绝对

值的）和为32,则《、b、〃的值也许是（）

A.。=2,b=—\,n=5B.a=-2,h=—\,〃=6

C.a=~\,b=2,〃=6D.4=1,b=Ln=5

答案：D

6.（2023年高考湖北卷）在（l—f严的展开式中，/的系数为.

解析：展开式的通项。+]=001°一。（一0=（2缶（一1）42/，由2r=4得/*=2,・・・f口勺系

数为C?o•（—1>=45.

答案：45

2

7.（2023年高考四川卷）（x—孑的展开式中的常数项为.（用数字作答）

人

2

解析：。+尸（2那）（一7），=（一2）©/一2;当r=2时，第3项为常数项，T=（-2）2-Cl=24.

人3

答案：24

8.（2023年高考安徽卷）（崇一十）6日勺展开式中，A3的系数等于______

7y巾

t.-6r

解析：设含一项为第（r+1）项,则7ki=CHh为5

r/•-6

=C6-A6-，•一]•——•（一），）「,

・・・6-小=3,即r=2,

:.73—Cs-x3-^-^—Cs-x3,

系数为&=空=15.

答案：15

9.^(3x-1)7=«7X74-n6X6H----Faix+ao，求：

(DS+MH----Fai；

(2)47+45+43+0：

(3)。6+。4+。2+ao;

(4)|s|+|俏|H---Haol.

解：⑴令x=0,则的=-1

令x=l,则公+砒-1---1~«|+«()=27=128,①

a-}~\ra(y-\----\-a\—129.

(2)令x=-I

则-47+46-45+44-03+42-0+40=(-4)7.②

由器露：

47+。$+〃3+41=5口28—(-4乃=8256.

⑶由亨得:

〃6+。4+。2+〃0=：［128+(—4)1=—8128.

(4)：(3x—1)7展开式中，。7、45、。3、均不小于零，而〃6、。4、。2、〃0均不不小于零,

Vn\+MH----Haol

=(0+43+05+47)-(的)+。2+«4+46)

=8256-(-8128)=16384.

10.在（31一“）2。欧J展开式中，求:

(1)二项式系数最大的项；

(2)系数绝对值最大的项；

(3)系数最大日勺项.

解：(I)二项式系数最大的项是第11项.

rii=C18-3,0.(-2),0x,0v,0=C18-6,0.x,0y,0.

⑵设系数绝对值最大的项是第，•+1项，于是

C5o-320-r-2r>C5o,-3,9-/-2r+,

3(/+l)>2(20-r)

化简得，

2(21-r)>3r

解之得72W8|.

由于r£N,因此r=X,

即^=C!O-3I2-28A-12/是系数绝对值最大口勺项.

(3)由于系数为正口勺项为奇数项，故可设第27•一1项系数最大(r£N"),于是

c5&-2.322-2r22r-2^C^-4.324-2r22r-4

*c5&-2.322-2r22r-2^CJ?320-2r.22r'

10r+143/—1077^0

化简得,.、，

[10/+163,•一92420

解之得，.=5,即第2X5—1=9项系数最大.

4=(2%-3凡2832f.

II.(探究选做)求6+：+也户的展开式口勺常数项.

解：6+异也)』("烂马

_[(%+的用_(1+型严

(2x)5=(2Y)5-

因此本题可以转化为二项式问题,即将求本来式子时常数项,转化为求分子a+S严中

含.Fa勺项的系数.而分子中含X5。勺项为7；=CW-（V2）5.

因此常数项为Go•铲"但

作业61

§10.4随机事件的概率

1.（2023年焦作质检）在一对事件A、B中，若事件A是必然事件，事件8是不也许事件,

那么A和仇）

A.是互斥事件，不是时立事件

B.是对立事件，但不是互斥事件

C.既是互斥事件，又是对立事件

D.既不是互斥事件，又不是对立事件

答案：C

2.既有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书R勺概

率为（）

A.|B]

JJ

c-D-

C5u5

答案：C

3.将一枚骰了•抛掷两次，若先后出现的点数分别为从c,则方程/+加+c=。有实根

的概率为（）

19卜1

AA-36B2

-5r17

C.§D-36

答案：D

4.（2023年高考湖北卷）投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”

为事件A,“骰子向上的点数是3”为事件B,则事件4,8中至少有一件发生的概率是()

A12B5

C-f2D4

答案：A

5.已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%.现采用随机模拟的措施估计该运助员三

次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值日勺随机数，指定123,4表

达命中，5,67890表达不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的成果.经随机模

拟产生了如下20组随机数：

907966191925271932812458569683

431257393027556488730113537989

据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为()

A.0.35B,0.25

C.0.20D.0.15

答案：B

6.抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有123,4II勺正四面体，其底面落于桌面,

记所得日勺数字分别为x,V则:为整数的概率是.

解析：将抛掷甲、乙两枚质地均匀的正四面体所得的数字占y记作有序实数对。，)，)，

V

共包括16个基本领件，其中；为整数8勺有：(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(2J),(3,1),(4,1),(4,2),

y

Q1

共8个基本领件，故所求概率为余专.

答案：|

7.(2023年亳州质检)甲盒子中装有3个编号分别为1,2,3的小球，乙盒子中装有5个编

号分别为123,4,5的小球，从甲、乙两个盒子中各随机取一种小球，则取出两小球编号之积

为奇数的概率为.

解析：从甲、乙两个金子中各随机取一种小球，共有3义5=15(种)取法.记取出两小球

编号之积为奇数为事件A,则A包括2义3=6(个)基本领件，故P(A)=£=,.

2

答案：

8.既有5根竹竿，它们日勺长度(单位：m)分别为2.5,2.6,2.72829,若从中一次随机抽取

2根竹竿，则它们口勺长度恰好相差0.3m的概率为.

解析：从5根竹竿中一次随机抽取2根D勺状况是：(25,2.6),(2.5,2.7),(2.5,2.8),(2.5,2.9),

(2.6,2.7),(2.6,2.8),(2.6,2.9),(2.7,2.8),(2.7,2.9),(2.8,2.9),即基本领件总数为10,它们的

长度恰好相差0.3m的事件数为2,分别是：(2.5,2.8),(2.6,2.9),故从中一次随机抽取2根竹

2

竿，则它们日勺长度恰好相差0.3m的概率为方=02

答案：0.2

9.(2023年南阳质检)某学校篮球队、羽毛球队、乒乓球队的某

些队员不止参与了一支球队，详细状况如图所示，现从中随机抽取(X央1手球)

一名队员，求：下不二^7

(乒乓球/

(1)该队员只属于一支球队日勺概率；、J/

(2)该队员最多属于两支球队的概率.

I?3

解：⑴设“该队员只属于一支球队”为事件A,则事件A口勺概率P(A)=荒弓.

一?

(2)设“该队员最多属于两支球队”为事件8,则事件8H勺概率为尸(8)=LP(B)=1一行

9

=To-

10.从1、2、3、4、5、8、9这7个数中任取三个数，共有35种不一样的取法(两种取

法不一样，指的是一种取法中至少有一种数与另一种取法中的三个数都不相似).

(1)求取出日勺三个数可乂构成等比数列的概率；

(2)求取出FI勺三个数的乘积能被2整除的概率.

解：⑴从1、2、3、4、5、8、9这7个数中任取三人数，每一种不一样H勺取法为一种基

本领件，由题意可知共有35个基本领件.设取出口勺三个数能构成等比数列H勺事件为A,A包

括(1,2,4)、(2,4,8)、(139)43个基本领件.

由于每个基本领件出现口勺也许性相等，因此P(4)=5.

(2)设取出的三个数的装积能被2整除的事件为凡其对主事件为。,。包括(1,3,5)、(1,3,9)、

(1,5,9)、(3,5,9)共4个基本领件.

4

由于每个基本领件出现的也许性相等，因此P(C)=苦.

431

因此P(B)=1一P©=1一行=*

11.(探究选做)甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指头，若和为偶

数算甲赢，否则算乙赢.

(1)若以4表达和为6时事件，求P(A).

(2)现连玩三次，若以8表达甲至少赢一次的事件，C表达乙至少赢两次的事件，试问8

与。与否为互斥事件？为何？

(3)这种游戏规则公平吗？试阐明理由.

解：(1)基本领件与点集5={(《)，)|x£N+,)，£N+,l〈xW5,lWyW5}中H勺元素——对应.

由于S中点口勺总数为5X5=25(个)，因此基本领件总数为〃=25.事件A包括的基本领件

数共5个：(1,5)、(2,4)、(3,3)、(4,2)、(5,1),因此P(A)=£=£.

(2)3与C不是互斥事件，由于事件8与C可以同步发生，如甲嬴一次，乙赢两次的事件.

13

(3)这种游戏规则不公平.由(1)知和为偶数的基本领件数为13个；因此甲赢。勺概率为京,

乙嬴的概率为1箕2

因此这种游戏规则不公平.

作业62

§10.5古典概型、几何概型

1.（2023年宿州质检）如图，正方形人8c。的边长为2,△E8C为正三角形.若向正方形

ABCD内随机投掷一种质点，则它落在△E8C内H勺概率为（）

W

A近

B坐

c.1D4

答案：B

2.甲、乙两人随意入住两间空房，则甲、乙两人同住一间房的概率是（）

A-4B.y

C.1D.j

答案：C

3.（2023年宿州联考）连掷两次骰子分别得到点数小〃，则向量（〃?，〃）与向量（一1』）11勺

夹角少＞90。的J概率是（）

A.1

Bi2

号D.；

答案；C

4.平面上有一组平行线，且相邻平行线间的距离为3cm,把一枚半径为1cm的硬币任

意投掷在这个平面上，则硬币不与任何一条平行线相碰时概率是（）

A-4B-3

cjD.|

答案：A

5.（2023年高考安徽卷）考察正方体6个面的中心，从中任意选3个点连成三角形，再把

剩余口勺3个点也连成三角形，则所得的J两个三角形全等的概率等于（）

A.IB,^

C.|D.U

答案：A

6.已知集合4=3—8={.在1>0},在集合4中任取一种元素x,则事件。

的概率是.

解析：由题意得4=3一1々<5},£?={x|2<r<3},由几何概型知：在集合4中任取一种

元素X,则CB8勺概烝为P=1.

答案"

7.（2023年高考浙江卷）有20张卡片,每张卡片上分别标有两个持续口勺自然数匕HH,

其中％=0,12….19.从这20张卡片中任取一张.记事件“该卡片上两个数的各位数字之和

（例如：若取到标有9,10时卡片，则卡片上两个数日勺各位数字之和为9+1+0=10）不不不小

于14”为A,则P（A）=.

解析：不小于14H勺点数有5种技况，即7,8;8,9;I6J7;17,18;18,19,而基本领件有

20种，因此P（4）=；.

答案"

8.（2023年高考课标全国卷）设），=/（x）在区间［0,1］上的持续函数，且恒有OW/U）W1,可

以用随机模拟措施近似计算积分J；风立民先产生两组（每组N个升区间［0.1］上时均匀随机数

X1，12，…，XN和V，»…，加，由此得到N个点（H，》）（I•=1,2,…，N）.再数出其中满足

yW./3）（i=l,2,…，N州勺点数N\,那么由随机模拟措施可得积分—。心）山•的近似值为

[04W1,

解析：由题意可知它所围成口勺区域面枳为S=l,结合积分日勺几何意义和几

OWyWl,

1危）匕M

何概型可知，——=带，

O/V

即104M=*.

答案:1

9.（2023年高考福建卷）袋中有大小、形状相似的红、黑球各一种，现依次有放回地随机

摸取3次，每次摸取一种球.

（1）试问：一共有多少种不一样H勺成果？请列出所有也许的成果；

（2）若摸到红球时得2分,摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率.

解：（1）一共有8种不一样的成果，列举如下：

（红、红、红）、（红、红、黑）、（红、黑、红）、（红、黑、黑）、（黑、红、红）、（黑、红、

黑）、（黑、黑、红）、（黑、黑、黑）.

（2）记“3次摸球所得总分为5”为事件4.

事件4包括口勺基本领件为：（红、红、黑）、（红、黑、红）、（黑、红、红），共3种.

由（1）可知，基本领件总数为8,

3

因此事件A。勺概率为P（A）=tO

10.投掷一种质地均匀口勺、每个面上标有一种数字的正方体玩具，它的六个面中，有两

个面标日勺数字是0,两个面标的数字是2,两个面标的J数字是4,将此玩具持续抛掷两次，以

两次朝上一面FI勺数字分别作为点PH勺横坐标和纵坐标.

（1）求点2落在区域CY+VWIO内的概率：

（2）若以落在区域C上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域在区域C上随机撒

一粒豆子，求豆子落在区域M上的概率.

解：(1)以0、2、4为横、纵坐标的点P共有(0,0)、(0,2)、(0,4)、

(2,0)、(2,2)、(2,4)、(4,0)、(4,2)、(4,4)9个，而这些点中，落在区

域C内时点有：(0,0)、(0,2)、(2,0)、(2,2)4个，

4

.,・所求概率为Pi=§.

(2)如图所示，:区域M(阴影部分川勺面积为4,而区域C的面积为10兀，

49

.・・所求概率为p尸而『肃

11.(探究选做)为了理解某市工厂开展群众体育活动的状况，拟采用分层抽样的措施从A,

B,C三个区中抽取7个工厂进行调查，已知4,B,C区中分别有18,27,18个工厂.

(1)求从A,B,。区中应分别抽取的工厂个数；

(2)若从抽得的7个工厂中随机地抽取2个进行调查成果的对比，用列举法计算这2个工

厂中至少有1个来自A区的概率.

解：(1)工厂总数为18+27+18=63,样本容量与总体中8勺个体数比为*g,因此从A,

B,C三个区中应分别抽取的工厂个数为2,3,2.

(2)设4,4为在A区中抽得8勺2个工厂，B_3为在B区中抽得8勺3个工厂，G,

C2为在C区中抽得口勺2个工厂，在这7个工厂中随机根取2个，所有也许口勺成果有：(4,

甸,Ui,Bi),(Ai,B2),(AI,&),Ui,Ci),(A1,C2),(A2fBi),(A2f%),(A2f&),(A2t

Ci),(A2,C2),®B2),(BI,B3)(BI,CI),Ci,C2),(&,&),(%,Ci),(&,C),(心,

Ci),(夕，C'2),(Ci,C-2),共布21种.

随机地抽取口勺2个工厂至少有1个来自4区的成果(记为事件X)有：(Ai,4),(A,,Bi),

(A,82),(Ai,B3),(Aj,Ci),(Ai,C2),(A2,Bi),(Az,&),(A2,83),(Az,C\),(Ai,Ci),

共有