《第六章幂函数、指数函数和对数函数-知识要点整合》章末复习

2/2《第六章幂函数、指数函数和对数函数》章末复习知识网络建构知识要点整合一、函数的图象指数函数、对数函数、幂函数是中学数学中重要的函数，它们的图象是考查的重点，应熟练掌握图象的画法及形状，特别要注意指数函数与对数函数的底数在取不同值时，对图象的影响.指数函数、对数函数及幂函数图象的对比：（1）指数函数与对数函数的图象都与底数a的取值密切相关，而幂函数的图象与指数密切相关.底数相同的指数函数、对数函数互为反函数其单调性相同，图象关于直线对称.（2）指数函数图象过定点，对数函数图象过定点，幂函数图象过定点，并且在指数时过.例1、当时，不等式恒成立，则a的取值范围是（）A.B.C.D.解析如图所示，设，要使当时，不等式恒成立，只需在上的图象在的下方即可，当时显然不成立.当时，如图，要使在上，的图象在的下方，只需，即，故选C.答案C例2、若函数的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（）A.B.C.D.解析由已知函数图象可得，，所以.A项，函数解析式为，在R上单调递减，与图象不符；C项中函数解析式为，当时，，这与图象不符；D项中函数解析式为，在上为单调递减函数，与图象不符；B项中对应函数解析式为，与图象相符，故选B.答案B二、指数函数、对数函数的性质1.研究函数的性质要树立定义域优先的原则.2.含有指数式、对数式的函数最值的求法：解决含有指数式、对数式的函数的最值问题，首先要考虑函数的定义域，在函数定义域的制约之下，利用换元法将问题转化为一个函数在一个区间上的最值问题.换元法的作用是利用整体代换，将问题转化为常见问题该类问题中，常设或，转化为一元二次方程、二次函数等问题.要注意换元后u的取值范围.3.含有指数式、对数式的函数的奇偶性需要根据定义进行证明，先确定定义域是否关于原点对称，再结合指、对数的运算性质，可以转化为计算或进行判断.其单调性的证明也需要根据定义进行.无论奇偶性还是单调性，都需要掌握一些基本函数的奇偶性和单调性，然后判断经过四则运算后函数的性质.例3、（1）已知函数，则（）A.在上单调递增，在上单调递减B.在上单调递减，在上单调递增C.是奇函数D.是偶函数（2）已知且，若函数在区间上的最大值与最小值之差为1.①求a的值；②若，求函数的值域.解析（1）易知的定义域为，不关于原点对称，故为非奇非偶函数，C，D错误.又.令，则在上单调递增，在上单调递减.又在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减，故选A.（2）①先判断函数在定义域上的单调性，再根据条件列出方程求出参数的值；②先将所求函数化简成二次函数形式，再利用换元法求值域.答案（1）A（2）①因为，所以在上为增函数.又在上的最大值与最小值之差为1，所以，即，所以.②函数.令，因为，所以，即.所以，所以所求函数的值域为.例4、（1）已知函数，判断其奇偶性；（2）把例3（2）②中的函数改为“”，求其最小值.解析（1）根据判断函数奇偶性的方法直接判断即可；（2）先换元，再表示成二次函数的形式求最小值.答案（1）其定义域为R.又，，为奇函数.（2）由题意可知，令，因，则.，当时，该函数有最小值，最小值为.三、函数性质的简单应用—比较大小和解不等式比较几个数的大小和解不等式是指数函数、对数函数和幂函数性质的重要应用，最基本的方法是将需要比较大小的实数看成某类函数的函数值，然后利用该类函数的单调性进行比较.解含有幂函数、指数函数和对数函数的不等式问题关键是借助函数的单调性，在求解过程中化为左右两边同底或同指数是关键，要注意函数的定义域，求解后要验根，不要出现增解.1.比较两数大小常用的方法有单调性法、图象法、中间值法等.2.当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、幂函数或对数函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较.3.比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点然后在各部分内再利用函数性质比较大小.4.含参数的问题，要根据参数的取值进行分类讨论.5.解指数不等式时，一般可先转化为下列形式，再求解：当时，；当时，令，得先求使这个一元二次不等式成立的正解u的范围，然后求使在这个范围内成立的x的值的集合，就是原不等式的解集.6.解对数不等式时，一般可先转化为下列形式，再求解：当时，当时，令，得先求使这个一元二次不等式成立的u的范围，然后求使在这个范围内成立的x的值的集合，就是原不等式的解集.例5、若，则（）A.B.C.D.解析因为，则对于A，函数在R上单调递增，故，A错误；对于B，根据底数a对对数函数的影响：当时，在上“底小图高”，因为，所以，B错误；对于C，函数在上单调递增，故，C正确；对于D函数在R上单调递减，故，D错误.答案C例6、设，则（）A.B.C.D.解析，则，故选C.答案C例7、已知定义域为R的函数是奇函数.（1）求a的值；（2）判断并证明该函数在定义域R上的单调性；（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围.解析（1）定义域为R，可根据奇函数必有求解；（2）用定义法证明；（3）利用奇偶性和单调性转化为关于t的一元二次不等式求解.答案（1）由题意得..经验证，为奇函数，.（2）减函数.证明：任取，且，则，.，，即，该函数在定义域R上是减函数.（3）由，得.是奇函数，.由（2）知，是减函数，原问题转化为，即对任意恒成立，，解得.四、指数函数模型的实际应用在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示通常可以表示为（其中N为基础数，p为增长率，x为时间）的形式.例8、一种放射性元素，最初的质量为500g，按每年10%衰减.（1）求t年后，这种放射性元素的质量w的表达式；（2）由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期（结果精确到0.1）.解析（1）根据经过1年、2年后，这种放射性元素的质量w的表达式归纳t年后，这种放射性元素的质量w的表达式；（2）根据（1）的表达式转化为求质量为250g对应的年数.答案（1）最初的质量为500g，经过1年，；经过2年，；由此推知，t年后，.（2）由题意得，即，两边同时取以10为底的对数，得，即，所以.即这种放射性元素的半衰期约为6.6年.例9、某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？（已知：）解析根据题意列出杂质含量的表达式，解不等式即可.答案设过滤n次能使产品达到市场要求，依题意，得，即.两边取常用对数，则有，故，考虑到，故，即至少要过滤8次才能达到市场要求.五、分类讨论思想所谓分类讨论，实质上是“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略.分类讨论时应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧，做到确定对象的全面，明确分类的标准，不重不漏地分类讨论.在初等函数中，分类讨论的思想得到了重要的体现，可根据函数的图象和性质，依据函数的单调性分类讨论，使得求解得以实现.分类讨论思想在指数函数和对数函数中的应用：（1）原理：底数大于1时，指数函数与对数函数均是增函数；底数大于0小于1时，指数函数与对数函数均是减函数.（2）解含参的指数、对数函数问题的步骤：①确定底数的大小；②根据底数的大小，依据单调性及定义域列出不等式（组）；③解所列出的不等式（组）求得参数的范围.例10、已知函数为偶函数，且.（1）求m的值，并确定的解析式；（2）若在上为增函数，求实数a的取值范围.解析（1）结合，与函数的奇偶性，分类讨论确定m的值及的解析式；（2）由为增函数，结合a讨论，求出a的取值范围.答案（1）由，得，.为R上的减函数，，解得.或1.当时，为奇函数，不合题意；当时，为偶函数.综上，，此时.（2）由（1）知，，则在上为增函数.令.①当时，在其定义域内单调递减，要使在上单调递增，则需在上单调递减，且.无解；②当时，在其定义域内单调递增，要使在上单调递增，则需在上单调递增，且.解得.实数a的取值范围为.例11、设，如果，试比较的大小.解析讨论a的取值范围，根据对数函数和指数函数的单调性比较大小.答案当时，有，则.又当时，在上单调递减，，即；当时，有，则.又当时，在上单调递增，，即.综上可得.六、函数与方程思想1.函数与方程的关系.（1）函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题；（2）方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解；（3）通过函数与方程的互相转化，达到解决问题的目的.2.应用函数思想的几种常见题型：（1）遇到变量，构造函数关系解题；（2）有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；（3）含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系.例12、若有两个实数根，则实数a的取值范围是（）A.B.C.D.解析若有两个实数根，即有两个实数根，转化为函数与图象有两个不同的交点，为此只要画出的图象即可