中考数学复习专题6二次函数与几何综合课件

专题六二次函数与几何综合例1：【一题多解】已知抛物线y＝x2＋2x－n与x轴交于点A，B，抛物线y＝x2－2x－n与x轴交于C，D两点，其中n＞0，若AD＝2BC，则n的值为______.[2022福建4分]类型1二次函数与线段－2◀思路引导▶联系根与系数的关系求AD与BC的关系.步骤一：画草图，设A(x1，0)，B(x2，0)，C(x3，0)，D(x4，0).步骤二：联想根与系数的关系：x1＋x2＝______①，x3＋x4＝_______②.同时，考虑到AD＝x4－______________，BC＝_______.于是由②－①可得：(x4－________)－(x2－______)＝4，即AD－BC＝4.步骤三：根据条件中AD＝2BC，结合前面所得AD－BC＝4，可得BC＝4，于是B(________，0)，C(______，0).步骤四：由抛物线y＝x2＋2x－n过点B，即可解得n＝______.2x1x2－x3x1x3

2－288【拓展解题思路】思路一：利用二次函数图象的对称性，设参表示各点，代入AD＝2BC求解；思路二：直接利用求根公式求交点，代入距离公式求解.

(1)求抛物线的解析式和A，B两点的坐标；

(2)若点P是抛物线上B，C两点之间的一个动点(不与点B，C重合)，过点P作x轴的垂线交直线BC于点D，求PD的最大值以及此时点P的坐标；

(3)在(2)的条件下，在对称轴上找一点Q，使得QP＋QB的值最小，则点Q的坐标为__________.(3，5)◀思路引导▶[1]利用对称轴为直线x＝3求出a的值，再令y＝0求得点A、B的横坐标，最后根据B点在A点右侧确定坐标；[2]求PD的最大值，可转化为求以动点P的横坐标为自变量，PD长为因变量的二次函数最值；[3]由(2)可知点P的坐标，求出直线AP的解析式，证明AP与对称轴直线x＝3的交点即为点Q，且此时QB＋QP的值最小.

2.已知二次函数y＝a(x－m)2＋n，当x＝1时，y有最小值－4，且当x＝－1时y＝0.其图象与x轴相交于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，连接BC.(1)求二次函数的解析式；解：∵二次函数y＝a(x－m)2＋n，当x＝1时，y有最小值－4，∴m＝1，n＝－4，又∵当x＝－1时，y＝0，∴0＝a(－1－1)2－4，解得a＝1，∴二次函数的解析式为y＝(x－1)2－4.(2)动点M在该函数的对称轴上，当△MAC周长最小时，求点M的坐标；解：由函数y＝(x－1)2－4可知，该函数图象的对称轴为直线x＝1，连接MB.由题意可知，A，B关于对称轴对称，∴MA＝MB.∵AC为定值，∴要使△MAC周长最小，只需MC＋MA最小，

(3)动点N在线段BC上，过点N作x轴的垂线交抛物线于点Q，当线段NQ最长时，求N点的坐标.

例3：如图，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A(－2，0)，C(0，－2).类型2二次函数与面积(1)求二次函数的解析式；

(2)若P是二次函数图象上的一点，且点P在第二象限，线段PC交x轴于点D，△PDB的面积是△CDB的面积的2倍，求点P的坐标；

由已知，得CO＝2，∴n＝2CO＝4.由m2＋m－2＝4，解得m1＝－3，m2＝2(舍去)，∴点P的坐标为(－3，4).(3)在(2)的条件下，若点Q是二次函数图象上位于线段PC下方的一点，求点Q的坐标，使得△PQC的面积最大，并求出最大值.[2024福建改编]解：如图，过点Q作QE∥y轴，交PC于点E.设Q(t，t2＋t－2)，其中－3＜t＜0，设直线PC的解析式为y＝kx＋q(k≠0)，∵P(－3，4)，C(0，－2)，

◀思路引导▶(1)求函数的解析式的关键是确定有几个待定系数，就需要找几个已知点，代入解方程组即可.(2)观察发现△PDB和△CDB存在公共边BD，并且这个公共边恰好在x轴上，因此两个三角形的面积之比可转化为点P的纵坐标与OC之比，从而问题获解.

②有时可以使用割补法将不规则图形的面积转化为规则图形的面积之和或差.分析可得：S△BCP＝S△OBP＋S△OCP－S△OBC.此题通过选择合适的方法即可得到S△PQC与Q点的横坐标的关系式，进而用函数的知识求得最值.

(1)求抛物线的解析式；

∵C(0，－2)，∴CN∥x轴，∴∠PCN＝∠PBM，∠PNC＝∠PMB，∴△PCN∽△PBM，即△PCN与△BPM相似.(3)若动点P的横坐标记为t，连接BN，CM，△CBN的面积记为S1，△CBM的面积记为S2，且S＝S1－S2，写出S与t的函数关系式，并判断S是否有最大值，若有，请求出；若没有，请说明理由.[2024厦门第一中学二模12分]

例4：如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2＋2x－3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，点P是该抛物线上位于第三象限上的点，连接AC，PC，并延长PC，交x轴于点D.类型3二次函数与角(1)求A，B，C三点的坐标；解：当x2＋2x－3＝0时，解得x1＝－3，x2＝1，可得点A的坐标为(－3，0)，点B的坐标为(1，0).将x＝0代入抛物线，得y＝－3，则点C的坐标为(0，－3).(2)若存在点P，使得∠PCA＝2∠CAO，求点P的坐标.[2024莆田一检改编]解：根据题意可知∠CAO＝∠ACO＝45°，可得∠PCA＝2∠CAO＝90°，∴∠OCD＝180°－∠PCA－∠ACO＝45°，∴OD＝OC＝3，∴点D的坐标为(3，0).设直线PC的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，

◀思路引导▶第(2)问根据(1)中的坐标，推导△OAC的形状，从而求得∠CAO，进而求得∠PCA，再推导出点D的坐标，并求得直线CD的解析式，P点即为直线CD与抛物线的其中一个交点.4.如图，抛物线L：y＝－x2＋2x＋3经过点A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)，连接AC，在y轴上取一点P，使得∠ABP＝∠ACO，求点P的坐标.

例5：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2－4x＋3与x轴分别交于点A(1，0)、点B(3，0)，与y轴交于点C(0，3)，连接BC，点P在线段BC上，直线BC的解析式为y＝kx＋3，设点P的横坐标为m.如果以P为顶点的新抛物线经过原点，△PAB是以PA为腰的等腰三角形，求新抛物线的解析式.[2023莆田一模改编]类型4二次函数与特殊图形解：将点B的坐标代入y＝kx＋3中，得k＝－1，即直线BC的解析式为y＝－x＋3.∵△PAB是以PA为腰的等腰三角形，分以下两种情况讨论：第一种情况，当PA＝PB时，AB为等腰三角形PAB的底边，如答图①.

◀思路引导▶分PA＝PB与PA＝AB两种情况讨论，根据等腰三角形的性质和直线BC的解析式，求得点P的坐标，设出顶点式，再根据经过原点的条件，求得抛物线的解析式.方法拓展：等腰三角形单动点存在性问题解题步骤：①几何法.分类画图↓设相关点的坐标↓坐标表示线段↓根据腰相等建立方程↓确定点的坐标②代数法.设出点的坐标