【新教材精创】导数的四则运算法则（导学案）-(人教A版高二选择性必修第二册)含答案及解析

5.2.2导数的四则运算法则导学案1.掌握导数的四则运算法则，并能进行简单的应用．2.能灵活运用导数的运算法则解决函数求导．重点：导数的四则运算法则难点：运用导数的运算法则解决函数求导导数的运算法则(1)和差的导数[f(x)±g(x)]′＝______________．(2)积的导数①[f(x)·g(x)]′＝____________________；②[cf(x)]′＝________．(3)商的导数eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,gx)))′＝___________________________f′(x)±g′(x);f′(x)g(x)＋f(x)g′(x);cf′(x);eq\f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)学习导引在例2中，当p0=5时，pt=5×1.05t,这时，求p关于二、新知探究探究1：设fx=x2

，gx=x探究:2：设fx=x2

，g三、典例解析例3.求下列函数的导数（1）y=（2）y=例4.求下列函数的导数（1）y=x3求函数的导数的策略(1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数；(2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算．跟踪训练1求下列函数的导数：(1)y＝x2＋log3x；(2)y＝x3·ex；(3)y＝eq\f(cosx,x).跟踪训练2求下列函数的导数（1）y＝tanx；（2）y＝2sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)例5日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水的纯净度的提高，所需进化费用不断增加，已知将1t水进化到纯净度为x%所需费用（单位：元），为c(x)=5284100−x求进化到下列纯净度时，所需进化费用的瞬时变化率：（1）90%

；（2）98%例6(1)函数y＝3sinx在x＝eq\f(π,3)处的切线斜率为________．(2)已知函数f(x)＝ax2＋lnx的导数为f′(x)．①求f(1)＋f′(1)；②若曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围．关于函数导数的应用及其解决方法(1)应用：导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用；(2)方法：先求出函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的作用．1．已知函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，则a的值为()A．1B．eq\r(2)C．－1D．02.已知物体的运动方程为s＝t2＋eq\f(3,t)(t是时间，s是位移)，则物体在时刻t＝2时的速度为()A.eq\f(19,4)B.eq\f(17,4)C.eq\f(15,4)D.eq\f(13,4)3.如图有一个图象是函数f(x)＝eq\f(1,3)x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，且a≠0)的导函数的图象，则f(－1)＝ ()A．eq\f(1,3)B．－eq\f(1,3)C．eq\f(7,3)D．－eq\f(1,3)或eq\f(5,3)4.求下列函数的导数．(1)y＝x－2＋x2；(2)y＝3xex－2x＋e；(3)y＝eq\f(lnx,x2＋1)；(4)y＝x2－sineq\f(x,2)coseq\f(x,2).参考答案：知识梳理学习过程新知探究探究1：设y=fx∆y∆x=x+∆x2+x+∆x−(fx+gx'而fx'=2x,gx'所以fx+gx'同样地，对于上述函数，fx−g探究:2：通过计算可知，fxgx'=(x3)因此fxg典例解析例3.解：（1）y=(x3)（2）y例4.解：（1）y=(x（2）y跟踪训练1[解](1)y′＝(x2＋log3x)′＝(x2)′＋(log3x)′＝2x＋eq\f(1,xln3).(2)y′＝(x3·ex)′＝(x3)′·ex＋x3·(ex)′＝3x2·ex＋x3·ex＝ex(x3＋3x2)．(3)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(cosx,x)))′＝eq\f(cosx′·x－cosx·x′,x2)＝eq\f(－x·sinx－cosx,x2)＝－eq\f(xsinx＋cosx,x2).跟踪训练2解析：（1）y＝tanx＝eq\f(sinx,cosx)，故y′＝eq\f(sinx′cosx－cosx′sinx,cosx2)＝eq\f(cos2x＋sin2x,cos2x)＝eq\f(1,cos2x).（2）y＝2sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)＝sinx，故y′＝cosx.例5解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数；c==（1）因为c'(90)=5284

100−902（2）因为c'(98)=5284

100−982例6(1)[解析]由函数y＝3sinx，得y′＝3cosx，所以函数在x＝eq\f(π,3)处的切线斜率为3×coseq\f(π,3)＝eq\f(3,2).[答案]eq\f(3,2)(2)[解]①由题意，函数的定义域为(0，＋∞)，由f(x)＝ax2＋lnx，得f′(x)＝2ax＋eq\f(1,x)，所以f(1)＋f′(1)＝3a＋1.②因为曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，故此时切线斜率为0，问题转化为在x∈(0，＋∞)内导函数f′(x)＝2ax＋eq\f(1,x)存在零点，即f′(x)＝0，所以2ax＋eq\f(1,x)＝0有正实数解，即2ax2＝－1有正实数解，故有a<0，所以实数a的取值范围是(－∞，0)．达标检测1．解析：∵f(x)＝ax2＋c，∴f′(x)＝2ax，又∵f′(1)＝2a，∴2a＝2，∴a＝1.答案：A2.解析：∵s′＝2t－eq\f(3,t2)，∴s′|t＝2＝4－eq\f(3,4)＝eq\f(13,4).答案：D3.解析：f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1＝[x＋(a＋1)][x＋(a－1)]，图(1)与(2)中，导函数的图象的对称轴都是y轴，此时a＝0，与题设不符合，故图(3)中的图象是函数f(x)的导函数的图象．由图(3)知f′(0)＝0，由根与系数的关系得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a＋1－a－1>0，,a＋1a－1＝0，))解得a＝－1.故f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋1，所以f(－1)＝－eq\f(1,3).答案：B4.[解]