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文档简介

2025届湖南省宁乡一中高三压轴卷数学试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.如图,在圆锥SO中,AB,CD为底面圆的两条直径,AB∩CD=O,且AB⊥CD,SO=OB=3,SE.,异面直线SC与OE所成角的正切值为()A. B. C. D.2.若复数是纯虚数,则实数的值为()A.或 B. C. D.或3.已知函数,其中表示不超过的最大正整数,则下列结论正确的是()A.的值域是 B.是奇函数C.是周期函数 D.是增函数4.已知直四棱柱的所有棱长相等,,则直线与平面所成角的正切值等于()A. B. C. D.5.执行如图所示的程序框图,若输入,,则输出的()A.4 B.5 C.6 D.76.若函数的图象过点,则它的一条对称轴方程可能是()A. B. C. D.7.已知定义在上的奇函数满足:(其中),且在区间上是减函数,令,,,则,,的大小关系(用不等号连接)为()A. B.C. D.8.已知集合,B={y∈N|y=x﹣1,x∈A},则A∪B=()A.{﹣1,0,1,2,3} B.{﹣1,0,1,2} C.{0,1,2} D.{x﹣1≤x≤2}9.《易·系辞上》有“河出图,洛出书”之说,河图、洛书是中华文化,阴阳术数之源,其中河图的排列结构是一、六在后,二、七在前,三、八在左,四、九在右,五、十背中,如图,白圈为阳数,黑点为阴数,若从阴数和阳数中各取一数,则其差的绝对值为5的概率为A. B. C. D.10.已知集合,,且、都是全集(为实数集)的子集,则如图所示韦恩图中阴影部分所表示的集合为()A. B.或C. D.11.《周易》是我国古代典籍,用“卦”描述了天地世间万象变化.如图是一个八卦图,包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦(每一卦由三个爻组成,其中“”表示一个阳爻,“”表示一个阴爻).若从含有两个及以上阳爻的卦中任取两卦,这两卦的六个爻中都恰有两个阳爻的概率为()A. B. C. D.12.执行如下的程序框图,则输出的是()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知双曲线()的左右焦点分别为,为坐标原点,点为双曲线右支上一点,若,,则双曲线的离心率的取值范围为_____.14.设,则除以的余数是______.15.边长为2的菱形中,与交于点O,E是线段的中点,的延长线与相交于点F,若,则______.16.在直三棱柱内有一个与其各面都相切的球O1,同时在三棱柱外有一个外接球.若,,,则球的表面积为______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)某市为了鼓励市民节约用电,实行“阶梯式”电价,将该市每户居民的月用电量划分为三档,月用电量不超过度的部分按元/度收费,超过度但不超过度的部分按元/度收费,超过度的部分按元/度收费.(I)求某户居民用电费用(单位:元)关于月用电量(单位:度)的函数解析式;(Ⅱ)为了了解居民的用电情况,通过抽样,获得了今年1月份户居民每户的用电量,统计分析后得到如图所示的频率分布直方图,若这户居民中,今年1月份用电费用不超过元的占,求,的值;(Ⅲ)在满足(Ⅱ)的条件下,若以这户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率,且同组中的数据用该组区间的中点代替,记为该居民用户1月份的用电费用,求的分布列和数学期望.18.(12分)如图,在平面直角坐标系中,椭圆的离心率为,且过点.求椭圆的方程;已知是椭圆的内接三角形,①若点为椭圆的上顶点,原点为的垂心,求线段的长;②若原点为的重心,求原点到直线距离的最小值.19.(12分)每年的寒冷天气都会带热“御寒经济”,以交通业为例,当天气太冷时,不少人都会选择利用手机上的打车软件在网上预约出租车出行,出租车公司的订单数就会增加.下表是某出租车公司从出租车的订单数据中抽取的5天的日平均气温(单位:℃)与网上预约出租车订单数(单位:份);日平均气温(℃)642网上预约订单数100135150185210(1)经数据分析,一天内平均气温与该出租车公司网约订单数(份)成线性相关关系,试建立关于的回归方程,并预测日平均气温为时,该出租车公司的网约订单数;(2)天气预报未来5天有3天日平均气温不高于,若把这5天的预测数据当成真实的数据,根据表格数据,则从这5天中任意选取2天,求恰有1天网约订单数不低于210份的概率.附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为:20.(12分)如图,在中,点在上,,,.(1)求的值;(2)若,求的长.21.(12分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为:(其中为参数),直线的参数方程为(其中为参数)(1)以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求曲线的极坐标方程;(2)若曲线与直线交于两点,点的坐标为,求的值.22.(10分)如图,正方形所在平面外一点满足,其中分别是与的中点.(1)求证:;(2)若,且二面角的平面角的余弦值为,求与平面所成角的正弦值.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

可过点S作SF∥OE,交AB于点F,并连接CF,从而可得出∠CSF(或补角)为异面直线SC与OE所成的角,根据条件即可求出,这样即可得出tan∠CSF的值.【详解】如图,过点S作SF∥OE,交AB于点F,连接CF,则∠CSF(或补角)即为异面直线SC与OE所成的角,∵,∴,又OB=3,∴,SO⊥OC,SO=OC=3,∴;SO⊥OF,SO=3,OF=1,∴;OC⊥OF,OC=3,OF=1,∴,∴等腰△SCF中,.故选:D.【点睛】本题考查了异面直线所成角的定义及求法,直角三角形的边角的关系,平行线分线段成比例的定理,考查了计算能力,属于基础题.2、C【解析】试题分析:因为复数是纯虚数,所以且,因此注意不要忽视虚部不为零这一隐含条件.考点:纯虚数3、C【解析】

根据表示不超过的最大正整数,可构建函数图象,即可分别判断值域、奇偶性、周期性、单调性,进而下结论.【详解】由表示不超过的最大正整数,其函数图象为选项A,函数,故错误;选项B,函数为非奇非偶函数,故错误;选项C,函数是以1为周期的周期函数,故正确;选项D,函数在区间上是增函数,但在整个定义域范围上不具备单调性,故错误.故选:C【点睛】本题考查对题干的理解,属于函数新定义问题,可作出图象分析性质,属于较难题.4、D【解析】

以为坐标原点,所在直线为x轴,所在直线为轴,所在直线为轴,建立空间直角坐标系.求解平面的法向量,利用线面角的向量公式即得解.【详解】如图所示的直四棱柱,,取中点,以为坐标原点,所在直线为x轴,所在直线为轴,所在直线为轴,建立空间直角坐标系.设,则,.设平面的法向量为,则取,得.设直线与平面所成角为,则,,∴直线与平面所成角的正切值等于故选:D【点睛】本题考查了向量法求解线面角,考查了学生空间想象,逻辑推理,数学运算的能力,属于中档题.5、C【解析】

根据程序框图程序运算即可得.【详解】依程序运算可得:,故选:C【点睛】本题主要考查了程序框图的计算,解题的关键是理解程序框图运行的过程.6、B【解析】

把已知点坐标代入求出,然后验证各选项.【详解】由题意,,或,,不妨取或,若,则函数为,四个选项都不合题意,若,则函数为,只有时,,即是对称轴.故选:B.【点睛】本题考查正弦型复合函数的对称轴,掌握正弦函数的性质是解题关键.7、A【解析】因为,所以,即周期为4,因为为奇函数,所以可作一个周期[-2e,2e]示意图,如图在(0,1)单调递增,因为,因此,选A.点睛:函数对称性代数表示(1)函数为奇函数,函数为偶函数(定义域关于原点对称);(2)函数关于点对称,函数关于直线对称,(3)函数周期为T,则8、A【解析】

解出集合A和B即可求得两个集合的并集.【详解】∵集合{x∈Z|﹣2<x≤3}={﹣1,0,1,2,3},B={y∈N|y=x﹣1,x∈A}={﹣2,﹣1,0,1,2},∴A∪B={﹣2,﹣1,0,1,2,3}.故选:A.【点睛】此题考查求集合的并集,关键在于准确求解不等式,根据描述法表示的集合,准确写出集合中的元素.9、A【解析】

阳数:,阴数:,然后分析阴数和阳数差的绝对值为5的情况数,最后计算相应概率.【详解】因为阳数:,阴数:,所以从阴数和阳数中各取一数差的绝对值有:个,满足差的绝对值为5的有:共个,则.故选:A.【点睛】本题考查实际背景下古典概型的计算,难度一般.古典概型的概率计算公式:.10、C【解析】

根据韦恩图可确定所表示集合为,根据一元二次不等式解法和定义域的求法可求得集合,根据补集和交集定义可求得结果.【详解】由韦恩图可知:阴影部分表示,,,.故选:.【点睛】本题考查集合运算中的补集和交集运算,涉及到一元二次不等式和函数定义域的求解;关键是能够根据韦恩图确定所求集合.11、B【解析】

基本事件总数为个,都恰有两个阳爻包含的基本事件个数为个,由此求出概率.【详解】解:由图可知,含有两个及以上阳爻的卦有巽、离、兑、乾四卦,取出两卦的基本事件有(巽,离),(巽,兑),(巽,乾),(离,兑),(离,乾),(兑,乾)共个,其中符合条件的基本事件有(巽,离),(巽,兑),(离,兑)共个,所以,所求的概率.故选:B.【点睛】本题渗透传统文化,考查概率、计数原理等基本知识,考查抽象概括能力和应用意识,属于基础题.12、A【解析】

列出每一步算法循环,可得出输出结果的值.【详解】满足,执行第一次循环,,;成立,执行第二次循环,,;成立,执行第三次循环,,;成立,执行第四次循环,,;成立,执行第五次循环,,;成立,执行第六次循环,,;成立,执行第七次循环,,;成立,执行第八次循环,,;不成立,跳出循环体,输出的值为,故选:A.【点睛】本题考查算法与程序框图的计算,解题时要根据算法框图计算出算法的每一步,考查分析问题和计算能力,属于中等题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

法一:根据直角三角形的性质和勾股定理得,,,又由双曲线的定义得,将离心率表示成关于的式子,再令,则,令对函数求导研究函数在上单调性,可求得离心率的范围.法二:令,,,,,根据直角三角形的性质和勾股定理得,将离心率表示成关于角的三角函数,根据三角函数的恒等变化转化为关于的函数,可求得离心率的范围.【详解】法一:,,,,,,设,则,令,所以时,,在上单调递增,,,.法二:,,令,,,,,,,,,.故答案为:.【点睛】本题考查求双曲线的离心率的范围的问题,关键在于将已知条件转化为与双曲线的有关,从而将离心率表示关于某个量的函数,属于中档题.14、1【解析】

利用二项式定理得到,将89写成1+88,然后再利用二项式定理展开即可.【详解】,因展开式中后面10项均有88这个因式,所以除以的余数为1.故答案为:1【点睛】本题考查二项式定理的综合应用,涉及余数的问题,解决此类问题的关键是灵活构造二项式,并将它展开分析,本题是一道基础题.15、【解析】

取基向量,,然后根据三点共线以及向量加减法运算法则将,表示为基向量后再相乘可得.【详解】如图:设,又,且存在实数使得,,,,,,故答案为:.【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算,属中档题.16、【解析】

先求出球O1的半径,再求出球的半径,即得球的表面积.【详解】解:,,,,设球O1的半径为,由题得,所以棱柱的侧棱为.由题得棱柱外接球的直径为,所以外接球的半径为,所以球的表面积为.故答案为:【点睛】本题主要考查几何体的内切球和外接球问题,考查球的表面积的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2),;(3)见解析.【解析】试题分析:(1)根据题意分段表示出函数解析式;(2)将代入(1)中函数解析式可得,即,根据频率分布直方图可分别得到关于的方程,即可得;(3)取每段中点值作为代表的用电量,分别算出对应的费用值,对应得出每组电费的概率,即可得到的概率分布列,然后求出的期望.试题解析:(1)当时,;当当时,;当当时,,所以与之间的函数解析式为.(2)由(1)可知,当时,,则,结合频率分布直方图可知,∴,(3)由题意可知可取50,150,250,350,450,550,当时,,∴,当时,,∴,当时,,∴,当时,,∴,当时,,∴,当时,,∴,故的概率分布列为25751402203104100.10.20.30.20.150.05所以随机变量的数学期望18、;①;②.【解析】

根据题意列出方程组求解即可;①由原点为的垂心可得,轴,设,则,,根据求出线段的长;②设中点为,直线与椭圆交于,两点,为的重心,则,设:,,,则,当斜率不存在时,则到直线的距离为1,,由,则,,,得出,根据求解即可.【详解】解:设焦距为,由题意知:,因此,椭圆的方程为:;①由题意知:,故轴,设,则,,,解得:或,,不重合,故,,故;②设中点为,直线与椭圆交于,两点,为的重心,则,当斜率不存在时,则到直线的距离为1;设:,,,则,,则,则:,,代入式子得:,设到直线的距离为,则时,;综上,原点到直线距离的最小值为.【点睛】本题考查椭圆的方程的知识点,结合运用向量,韦达定理和点到直线的距离的知识,属于难题.19、(1),232;(2)【解析】

(1)根据公式代入求解;(2)先列出基本事件空间,再列出要求的事件,最后求概率即可.【详解】解:(1)由表格可求出代入公式求出,所以,所以当时,.所以可预测日平均气温为时该出租车公司的网约订单数约为232份.(2)记这5天中气温不高于的三天分别为,另外两天分别记为,则在这5天中任意选取2天有,共10个基本事件,其中恰有1天网约订单数不低于210份的

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