专题13.19-课题-最短路径(将军饮马问题)(专项练习)(培优篇)八年级数学上册基础知识专项讲练

专题13.19课题-最短路径（将军饮马问题）（专项练习）（培优篇）一、单选题1．如图，直线是一条河，、是两个新农村定居点．欲在上的某点处修建一个水泵站，直接向、两地供水．现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（）B．C. D．2．如图，等腰的底边BC长为4cm，面积为，腰AC的垂直平分线EF交AC于点E，交AB于点F，D为BC的中点，M为直线EF上的动点．则周长的最小值为（）A．6cm B．8cm C．9cm D．10cm3．如图．在五边形ABCDE中，∠BAE＝136°，∠B＝∠E＝90°，在BC、DE上分别找一点M、N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为（）A．84° B．88° C．90° D．96°4．如图，，M，N分别是边上的定点，P，Q分别是边上的动点，记，当的值最小时，关于，的数量关系正确的是（） B． C． D．5．如图，在锐角△ABC中，∠ACB＝50°；边AB上有一定点P，M、N分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是（）A．50° B．60° C．70° D．80°6．如图，已知，平分，，在上，在上，在上．当取最小值时，此时的度数为（）A． B． C． D．7．如图，在中，，是的平分线．若，分别是和上的动点，且的面积为，则的最小值是（）A． B． C． D．8．在△ABC中，AB=BC，点D在AC上，BD=6cm，E，F分别是AB，BC边上的动点，△DEF周长的最小值为6cm，则()A．20° B．25° C．30° D．35°9．如图所示，OB是一条河流，OC是一片菜田，张大伯每天从家（A点处）去河处流边挑水，然后把水挑到菜田处，最后回到家中．请你帮他设计一条路线，使张大伯每天行走的路线最短．下列四个方案中你认为符合要求的是（）A． B．C． D．10．如图，在等边△ABC中，BF是AC边上的中线，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，当△AEF周长最小时，∠CFE的大小是()A．30° B．45° C．60° D．90°二、填空题11．如图，在中，，，，，是的平分线，若点、分别是和上的动点，则的最小值是______．12．如图，在锐角中，，，平分，、分别是和上的动点，则的最小值是__________．13．已知，点为射线上一点，点为的中点，且.当点在射线上运动时，则与和的最小值为_______．14．如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD是BC边上的中线且AD＝4，F是AD上的动点，E是AC边上的动点，则CF+EF的最小值为_____．15．如图，在△ABC中，AB=AC=8，S△ABC=16，点P为角平分线AD上任意一点，PE⊥AB，连接PB，则PB+PE的最小值为_____．16．如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE＝CF，当BF＋CE取得最小值时，∠AFB＝_______°．17．如图，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，点N（6，0）是OB上的一定点，点M是ON的中点，∠AOB=30°，要使PM+PN最小，则点P的坐标为_____．18．如图，P为∠AOB内一定点，M，N分别是射线OA，OB上一点，当△PMN周长最小时，∠OPM＝50°，则∠AOB＝___________．19．如图，已知∠AOB＝30°，OC平分∠AOB，在OA上有一点M，OM＝10cm，现要在OC，OA上分别找点Q，N，使QM＋QN最小，则其最小值为________．20．如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，G，H分别是AF和CD的中点，P是GH上的动点，连接AP，BP，则AP＋BP的值最小时，BP与HG的夹角(锐角)度数为________．21．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，∠AOB=30°则△PMN周长的最小值=________三、解答题22．如图，在等边中，是直线上一点，是边上一动点，以为边作等边，连接．（提示：含的直角三角形三边之比为）（1）如图1，若点在边上，求证：；（2）如图2，若点在的延长线上，请探究线段，与之间存在怎样的数量关系？并说明理由；（3）图2中，若，点从运动到停止，求出此过程中点运动的路径长．23．如图，已知∠AOB，点P是∠AOB内部的一个定点，点E、F分别是OA、OB上的动点．(1)要使得△PEF的周长最小，试在图上确定点E、F的位置．(2)若OP＝4，要使得△PEF的周长的最小值为4，则∠AOB＝________．24．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与轴交于点A、与轴交于点B，且∠ABO＝45°，A（－6，0），直线BC与直线AB关于轴对称.(1)求△ABC的面积；(2)如图2，D为OA延长线上一动点，以BD为直角边，D为直角顶点，作等腰直角△BDE，求证：AB⊥AE；(3)如图3，点E是轴正半轴上一点，且∠OAE＝30°，AF平分∠OAE，点M是射线AF上一动点，点N是线段AO上一动点，判断是否存在这样的点M，N，使OM＋NM的值最小？若存在，请写出其最小值，并加以说明.25．已知：如图，在∠POQ内部有两点M、N，∠MOP＝∠NOQ.(1)画图并简要说明画法：在射线OP上取一点A，使点A到点M和点N的距离和最小；在射线OQ上取一点B，使点B到点M和点N的距离和最小；(2)直接写出AM＋AN与BM＋BN的大小关系．参考答案1．D【分析】利用轴对称的性质，通过作对称点找到修建水泵站的位置．【详解】解：作点A关于直线l的对称点，然后连接与直线l交于一点，在这点修建水泵站，根据轴对称的性质和连点之间线段最短的性质可以证明此事铺设的管道最短．故选：D．【点拨】本题考查利用轴对称的性质找线段和最小的问题，解题的关键是掌握这个作图方法．2．D【分析】连接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点A关于直线EF的对称点为点C，MA＝MC，推出MC+DM＝MA+DM≥AD，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．【详解】解：连接AD，MA．∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝16，解得AD＝8cm，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴MA＝MC，∴MC+DM＝MA+DM≥AD，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝8+×4＝10（cm）．故选：D．【点拨】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质和垂直平分线的性质是解答此题的关键．3．B【分析】根据要使的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出关于和的对称点,,即可得出，进而得出即可得出答案．【详解】解：如图示，作关于和的对称点，，连接，交于，交于，则即为的周长最小值．延长，作于点，，，，，，且，，，故选：B．【点拨】此题主要考查了平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质等知识，根据已知得出，的位置是解题关键．4．B【分析】如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小易知∠OPM=∠OPM′=∠NPQ，∠OQP=∠AQN′=∠AQN，KD∠OQN=180°-30°-∠ONQ，∠OPM=∠NPQ=30°+∠OQP，∠OQP=∠AQN=30°+∠ONQ，由此即可解决问题．【详解】如图，作M关于的对称点，N关于的对称点，连接交于Q，交于P，则此时的值最小．

易知，．∵，，∴．故选：B.【点拨】本题考查轴对称-最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．5．D【分析】根据轴对称的性质作PD⊥AC于点E，PG⊥BC于点F，连接DG交AC、BC于点M、N，连接MP、NP，得到△PMN，由此解答.【详解】解：过点P作PD⊥AC于点E，PG⊥BC于点F，连接DG交AC、BC于点M、N，连接MP、NP，∵PD⊥AC，PG⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝90°，∴∠C+∠EPF＝180°，∵∠C＝50°，∵∠D+∠G+∠EPF＝180°，∴∠D+∠G＝50°，由对称可知：∠G＝∠GPN，∠D＝∠DPM，∴∠GPN+∠DPM＝50°，∴∠MPN＝130°﹣50°＝80°，故选：D．【点拨】此题考查最短路径问题，根据题意首先作出对称点，连接对称点得到符合题意的三角形，再根据轴对称的性质解答，正确掌握最短路径问题的解答思路是解题的关键.6．D【分析】作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接、、、、，则由轴对称知识可知，所以依据垂线段最短知：当在一条直线上，且时，取最小值，根据直角三角形的两锐角互余及三角形外角的性质可以求出.【详解】解：∵，平分，∴，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接、、、、，则，，，，，∴，，，，当在一条直线上，且时，取最小值，∴，∴，∴，∴，故选：D.【点拨】本题考查了最短路径问题，等腰三角形等边对等角，直角三角形的两锐角互余，三角形外角的性质，垂线段最短，通过作对称点化折为直是解题的关键.7．C【分析】由题意可知，根据角平分线的性质，先确定当取最小值时动点、的位置，再利用三角形的面积公式即可求出答案．【详解】过点作于点，交于点，过点作，如图所示∵平分，、分别是和上的动点∴，与关于对称∴此时，∵，∴∴的最小值是故选：C【点拨】本题是轴对称最短路线问题，主要考查了角平分线的性质、对称的性质以及三角形的面积公式，确定是解题的关键．8．C【分析】作点D关于AB的对称点G，关于BC的对称点H，连接GH交AB于E，交BC于F，连接BG、BH，此时△DEF的周长最小，根据轴对称关系得到BG=BD=BH=6cm，又由△DEF的周长=DE+DF+EF=GH=6cm，得到∠GBH=60°，由此即可求出∠ABC的度数.【详解】作点D关于AB的对称点G，关于BC的对称点H，连接GH交AB于E，交BC于F，连接BG、BH，此时△DEF的周长最小，由轴对称得：BG=BD=BH=6cm，∠GBA=∠DBA，∠HBC=∠DBC，∵△DEF的周长=DE+DF+EF=GH=6cm，∴△BGH是等边三角形，∴∠GBH=60°，∴∠ABC=∠GBH=30°，故选：C.【点拨】此题考查最短路径，轴对称关系，等边三角形的判定定理及性质定理，三角形周长最小的题通常转化为最短路径的题进行解答.9．D【分析】做出点A关于OB和OC的对称点A′和A″，连接A′A″，与OB、OC分别交于点M，N，则沿AM-MN-NA的路线行走路线最短．【详解】要找一条最短路线，以河流为轴，取A点的对称点A'，连接A'N与河流相交于M点，再连接AM，则张大伯可沿着AM走一条直线去河边M点挑水，然后再沿MN走一条直线到菜园去，同理，画出回家的路线图如下：故选D．【点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质和两点之间线段最短是解决问题的关键．10．D【解析】分析：首先证明点E在射线CE上运动（∠ACE=30°），因为AF为定值，所以当AE+EF最小时，△AEF的周长最小，作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE于E′，此时AE′+FE′的值最小，根据等边三角形的判定和性质即可求出∠CFE的大小．详解：∵△ABC，△ADE都是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=∠ABC=60°，∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAE，∴∠ABD=∠ACE，∵AF=CF，∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=30°，∴点E在射线CE上运动（∠ACE=30°），作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE于E′，此时AE′+FE′的值最小，∵CA=CM，∠ACM=60°，∴△ACM是等边三角形，∵AF=CF，∴FM⊥AC，∴∠CFE′=90°，故选D．点拨：本题考查轴对称——最短距离问题、等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明点E在射线CE上运动（∠ACE=30°），本题难度比较大，属于中考选择题中的压轴题．11．【分析】由题意可以把Q反射到AB的Q点，如此PC+PQ的最小值问题即变为C与线段AB上某一点O的最短距离问题，最后根据“垂线段最短”的原理得解．【详解】解：如图，作Q关于AP的对称点O，则PQ=PO，所以O、P、C三点共线时，CO=PC+PO=PC+PQ，此时PC+PQ有可能取得最小值，

∵当CO垂直于AB即CO移到CM位置时，CO的长度最小，∴PC+PQ的最小值即为CM的长度，∵，∴CM=，即PC+PQ的最小值为，故答案为．【点拨】本题考查线段和最小的问题，通过轴反射把线段和最小的问题转化为线段外一点到线段某点连线段最短问题是解题关键．12．【分析】根据题意画出符合题意的图形，作N关于AD的对称点R，作AC边上的高BE（E在AC上），求出BM+MN=BR，根据垂线段最短得出BM+MN≥BE，求出BE即可得出BM+MN的最小值.【详解】解：作N关于AD的对称点R，作AC边上的高BE（E在AC上）∵平分，△ABC是锐角三角形∴R必在AC上∵N关于AD的对称点是R∴MN=MR∴BM+MN=BM+MR∴BM+MN=BR≥BE（垂线段最短）∵，∴=18∴BE=cm即BM+MN的最小值是cm.故答案为.【点拨】本题考查了轴对称——最短路径问题.解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值.13．【分析】作点D关于OA的对称点D′，连接CD′交OA于点P′，连接DP,，根据轴对称的性质得到P′D′=P′D，此时DP′+CP′=CD′即为PC+PD的最小值，根据已知条件计算求出结果即可．【详解】解：作点D关于OA的对称点D′，连接CD′交OA于点P′，连接DP′，根据轴对称的性质得到P′D′=P′D，此时DP′+CP′=CD′即为PC+PD的最小值.设DD′与OA交于点E，∵∠O=30°，OD=3，由对称性可知∠DEO=90°,∴∠ODE=60°，DE=OD=,∴DD′=2DE=3,∴DD′=CD，∴∠D′=∠DCD′=∠ODE=30°，∴∠EDP′=∠D′=30°，∴∠ODP′=∠ODE+∠EDP′=90°，∴在Rt△ODP′中，∠O=30°，OD=3，∴DP′=∴CP′=2DP′=2∴DP′+CP′=3故与和的最小值为3【点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题，两点之间线段最短的性质．得出动点所在的位置是解题的关键．14．【分析】作BM⊥AC于M，交AD于F，根据三线合一定理求出BD的长和AD⊥BC，根据三角形面积公式求出BM，根据对称性质求出BF＝CF，根据垂线段最短得出CF+EF≥BM，即可得出答案．【详解】解：作BM⊥AC于M，交AD于F，∵AB＝AC＝5，BC＝6，AD是BC边上的中线，∴BD＝DC＝3，AD⊥BC，AD平分∠BAC，∴B、C关于AD对称，∴BF＝CF，根据垂线段最短得出：CF+EF＝BF+EF≥BF+FM＝BM，即CF+EF≥BM，∵S△ABC＝×BC×AD＝×AC×BM，∴BM＝＝＝，即CF+EF的最小值是，故答案为：．【点拨】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，关键是画出符合条件的图形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．15．4【分析】利用角平分线定理确定当BF⊥AC时，PB+PE的值最小，再利用三角形面积公式，即可求得.【详解】如图，∵AB=AC=8，AD平分∴∴当BF⊥AC时，PB+PE的值最小=BF∴BF=4∴PB+PE的最小值为4.【点拨】本题考查了轴对称-最短路径问题，也可以用角平分线定理考虑，找到PE+PB最小值的情况并画出图形，是解题的关键.16．105°【分析】如图，作辅助线，构建全等三角形，证明△AEC≌△CFH，得CE＝FH，将CE转化为FH，与BF在同一个三角形中，根据两点之间线段最短，确定点F的位置，即F为AC与BH的交点时，BF＋CE的值最小，求出此时∠AFB＝105°．【详解】解：如图，作CH⊥BC，且CH＝BC，连接BH交AD于M，连接FH，∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴AC＝BC，∠DAC＝30°，∴AC＝CH，∵∠BCH＝90°，∠ACB＝60°，∴∠ACH＝90°−60°＝30°，∴∠DAC＝∠ACH＝30°，∵AE＝CF，∴△AEC≌△CFH，∴CE＝FH，BF＋CE＝BF＋FH，∴当F为AC与BH的交点时，BF＋CE的值最小，此时∠FBC＝45°，∠FCB＝60°，∴∠AFB＝105°，故答案为105°.【点拨】此题考查全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质、最短路径问题，关键是作出辅助线，当BF＋CE取得最小值时确定点F的位置，有难度．17．（3，）【解析】【分析】作N关于OA的对称点N′，连接N′M交OA于P，则此时，PM＋PN最小，由作图得到ON＝ON′，∠N′ON＝2∠AON＝60°，求得△NON′是等边三角形，根据等边三角形的性质得到N′M⊥ON，解直角三角形即可得到结论．【详解】作N关于OA的对称点N′，连接N′M交OA于P，则此时，PM＋PN最小，∵OA垂直平分NN′，∴ON＝ON′，∠N′ON＝2∠AON＝60°，∴△NON′是等边三角形，∵点M是ON的中点，∴N′M⊥ON，∵点N（6，0），∴ON＝6，∵点M是ON的中点，∴OM＝3，∴PM＝，∴P（3，）．故答案为：（3，）【点拨】本题考查了轴对称−最短路线问题，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，关键是确定P的位置．18．40°【分析】作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，根据对称的性质可以证得：∠OP1M=∠OPM=50°，OP1=OP2=OP，根据等腰三角形的性质即可求解．【详解】如图：作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA、OB的交点时，△PMN的周长最短，连接P1O、P2O，∵PP1关于OA对称，∴∠P1OP=2∠MOP，OP1=OP，P1M=PM，∠OP1M=∠OPM=50°同理，∠P2OP=2∠NOP，OP=OP2，∴∠P1OP2=∠P1OP+∠P2OP=2（∠MOP+∠NOP）=2∠AOB，OP1=OP2=OP，∴△P1OP2是等腰三角形．∴∠OP2N=∠OP1M=50°，∴∠P1OP2=180°-2×50°=80°，∴∠AOB=40°，故答案为40°【点拨】本题考查了对称的性质，正确作出图形，证得△P1OP2是等腰三角形是解题的关键．19．5cm【分析】作M关于OC的对称点P，过P作PN⊥OA于N，交OC于Q，则此时QM+QN的值最小，则OP=OM=10cm，QM=PQ，∠PNO=90°，根据含30°角的直角三角形性质求出PN即可．【详解】解：作M关于OC的对称点P，过P作PN⊥OA于N，交OC于Q，则此时QM+QN的值最小，∵∠AOB=30°，OC平分∠AOB，在OA上有一点M，∴OA、OB关于OC对称，∴P点在OB上，∴OP=OM=10cm，QM=PQ，∠PNO=90°，∵PN=OP=×10=5cm，∴QM+QN=PQ+QN=PN=5cm，故答案为5cm．【点拨】本题考查了含30度角的直角三角形性质，轴对称以及最短路线问题，垂线段最短的应用，关键是确定Q、N的位置．20．60°【详解】如图，因为点Ａ关于GH的对称点是F，所以连接BF交GH于点P，则PA+PB=PF+PB=BF，所以PA+PB的最小值是BF.因为∠BAF=180°×(6-2)÷6=120°，AB=AF，所以∠AFB=30°.因为∠HGF=90°，所以∠GPF=60°.故答案为：60°.21．5cm；【解析】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN．

∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，

∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；

∵点P关于OB的对称点为D，

∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，

∴OC=OD=OP=5cm，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，

∴△COD是等边三角形，

∴CD=OC=OD=5cm．

∴△PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=5cm．

故答案是：5cm．【点拨】主要运用最短路线问题，综合运用了等边三角形的知识．22．（1）见解析；（2），理由见解析；（3）【分析】（1）在上截取，易证是等边三角形，得出，证明，得出，即可得出结论；（2）过作，交的延长线于点，由平行线的性质易证，得出为等边三角形，则，证明，得出，即可得出；（3）当点与重合时，的值最小，最小值，当时，的值最大，最大值，当点与重合时，的值最小，最小值，点的运动路径从最小值增大到4，再减小到，由此可得结论．【详解】解：（1）证明：在上截取，如图1所示：是等边三角形，，是等边三角形，，，是等边三角形，，，，，在和中，，，，，．（2）线段，与之间的等量关系是．理由如下：是等边三角形，，过作，交的延长线于点，如图2所示：，，，，为等边三角形，，，为等边三角形，，，，在和中，，，，．（3）由（2），则∠FCD=∠DGC=60°=∠FCE，∴CF与BC的夹角不变，即点F的运动路径为线段，当点与重合时，的值最小，最小值，当时，∵EF=DF，∴CF垂直平分ED，∴∠CFE=30°，∴∠CEF=90°，∵EF=ED=AC=，∴CF==4，∴的最大值为4，当点与重合时，的值最小，最小值，点的运动路径从最小值增大到4，再减小到，此过程中点运动的路径长．【点拨】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；作辅助线构建等边三角形是解题的关键．23．(1)作图见解析.(2)30°【详解】试题分析：（1）分别作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F.（2）由轴对称的性质知OP=OC，OP=OD，且△PEF周长的最小值是CD，所以dqga4OCD是等边三角形，而