2024-2025学年新教材高中数学第三章函数的概念与性质3.3幂函数学案含解析新人教A版必修第一册

PAGE1-3．3幂函数[目标]1.记住幂函数的定义，熟识α＝1,2,3，eq\f(1,2)，－1时幂函数的图象及性质；2.记住幂函数的性质，并会用性质解决有关问题．[重点]幂函数的定义、图象和性质．[难点]利用幂函数的性质解决有关问题．学问点一幂函数的概念[填一填]一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．[答一答]1．下列函数：①y＝2x3；②y＝x2＋1；③y＝(x＋1)3是幂函数吗？提示：它们都不满意幂函数的定义，所以都不是幂函数．学问点二幂函数的图象[填一填]五种常见幂函数的图象幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝的图象如下图．[答一答]2．幂函数y＝xα的图象在第一象限内有何特征？提示：(1)α>1，图象过点(0,0)，(1,1)，下凸递增，如y＝x2.(2)0<α<1，图象过点(0,0)，(1,1)，上凸递增，如y＝.(3)α<0，图象过点(1,1)，以两坐标轴为渐近线，如y＝x－1.3．为什么幂函数在第四象限内不存在图象？提示：当x>0时，y＝xα>0，不行能出现y<0的情形，所以幂函数在第四象限不存在图象．学问点三幂函数的性质[填一填]五类幂函数的性质[答一答]4．对于幂函数y＝xα(α是常数，x是自变量)其在第一象限内的单调性是怎样的？提示：α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上是增函数；α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上是减函数．类型一幂函数的概念[例1]下列函数：①y＝x3；②y＝x2＋2x；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x.其中幂函数的个数为()A．1 B．2C．3 D．4[解析]②为二次函数，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数，故选B.[答案]B幂函数解析式的结构特征：1解析式是单项式；2幂指数为常数，底数为自变量，系数为1.[变式训练1](1)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))，则k＋α＝(C)A.eq\f(1,2) B．1C.eq\f(3,2) D．2(2)已知函数y＝(m2＋2m－2)xm＋2＋2n－3是幂函数，则m＝－3或1，n＝eq\f(3,2).解析：(1)由幂函数定义知k＝1，把eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))代入y＝xα得α＝eq\f(1,2)，∴k＋α＝eq\f(3,2).选C.(2)因为函数y＝(m2＋2m－2)xm＋2＋2n－3是幂函数，由幂函数的定义得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋2m－2＝1，,2n－3＝0，))解得m＝－3或1，n＝eq\f(3,2).类型二幂函数的图象[例2]下图是幂函数y＝xm、y＝xn与y＝x－1在第一象限内的图象，则()A．－1<n<0<m<1B．n<－1,0<m<1C．－1<n<0，m>1D．n<－1，m>1[解析]由y＝xm的图象是横卧抛物线形，知0<m<1；由y＝xn的图象是双曲线，知n<0.作直线x＝x0(0<x0<1)，与y＝xn、y＝x－1的图象分别交于点A、B，由“点低指数大”知n<－1.故选B.[答案]B在区间(0,1)上，幂函数的指数越大，图象越靠近x轴；在区间(1，＋∞)上，幂函数的指数越大，图象越远离x轴．[变式训练2]幂函数y＝x－1及直线y＝x，y＝1，x＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个区域，分别标记为①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧(如图所示)，那么幂函数y＝的图象经过的区域对应的序号有(D)A．④⑦B．④⑧C．③⑧D．①⑤解析：∵x－eq\r(x)＝eq\r(x)(eq\r(x)－1)，当0<x<1时，x－eq\r(x)<0，即x<eq\r(x)<1，∴幂函数y＝的图象经过区域①；当x>1时，x－eq\r(x)>0，即x>eq\r(x)>1，∴幂函数y＝的图象经过区域⑤.类型三幂函数的性质应用[例3]比较下列各组中三个数的大小．[分析]本题考查幂函数．比较幂值大小的方法分类比较对象方法指数相同，底数不同xeq\o\al(α,1)与xeq\o\al(α,2)利用幂函数y＝xα的单调性底数相同，指数不同ax1与ax2利用不等式性质底数、指数都不同ax1与bx2找寻“中间量”ax2或bx1或1或0等[变式训练3]比较下列各组中两个值的大小：1．下列所给出的函数中，是幂函数的是(B)A．y＝－x3 B．y＝x－3C．y＝2x3 D．y＝x3－12．假如幂函数f(x)的图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,2)))，那么feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)))的值为(D)A.eq\f(1,2) B．2C．1 D．4解析：设f(x)＝xα.∵f(x)的图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,2)))，∴eq\f(1,2)＝4α，解得α＝－eq\f(1,2).∴f(x)＝＝4.3．函数y＝的图象是(B)解析：∵函数y＝是幂函数，幂函数在第一象限内恒过点(1,1)，解除A，D.当x>1,0<α<1时，y＝xα在直线y＝x下方，解除C，选B.4．幂函数y＝x－1在[－4，－2]上的最小值为－eq\f(1,2).解析：∵y＝x－1在(－∞，0)上单调递减，∴y＝x－1在[－4，－2]上递减，∴y＝x－1在[－4，－2]上的最小值是－eq\f(1,2).5．比较下列各题中两个幂的值的大小：——本课须驾驭的三大问题1．幂函数y＝xα的底数是自变量，指数是常数．2．幂函数在第一象限内指数改变规律在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图