2024-2025学年高中数学第2章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理练习新人教A版选修2-2

PAGEPAGE1§2.1.1合情推理[限时50分钟，满分80分]一、选择题(每小题5分，共30分)1．下列关于归纳推理的说法错误的是A．归纳推理是由一般到一般的推理过程B．归纳推理是一种由特别到一般的推理过程C．归纳推理得出的结论不肯定正确D．归纳推理具有由详细到抽象的相识功能解析由归纳推理的定义与特征可知选项A错误，选项B，C，D均正确，故选A.答案A2．视察下列各式：1＝12，2＋3＋4＝32，3＋4＋5＋6＋7＝52，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，可以得出的一般结论是A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝n2B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝n2D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2解析视察很简单发觉规律：n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.答案B3．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示，根据上面的规律，第n个“金鱼”图须要火柴棒的根数为A．6n－2 B．8n－2C．6n＋2 D．8n＋2解析从①②③可以看出，从第②个图起先每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n＋2.答案C4．下面运用类比推理恰当的是A．“若a·3＝b·3，则a＝b”类推出“若a·0＝b·0，则a＝b”B．“(a＋b)c＝ac＋bc”类推出“eq\f(a＋b,c)＝eq\f(a,c)＋eq\f(b,c)”C．“(a＋b)c＝ac＋bc”类推出“eq\f(a＋b,c)＝eq\f(a,c)＋eq\f(b,c)(c≠0)”D．“(ab)n＝anbn”类推出“(a＋b)n＝an＋bn”解析由类比推理的特点可知，C选项正确．答案C5．已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式S＝eq\f(底×高,2)，可知扇形面积公式为A.eq\f(r2,2) B.eq\f(l2,2)C.eq\f(lr,2) D．无法确定解析扇形的弧长对应三角形的底，扇形的半径对应三角形的高，因此可得扇形面积公式S＝eq\f(lr,2).答案C6．(2024·武汉模拟)天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支．十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按依次以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，其次年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新起先，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新起先，即“丙子”，以此类推．已知1949年为“己丑”年，那么到中华人民共和国成立80年时为________年A．丙酉 B．戊申 C．己申 D．己酉解析天干以10循环，地支以12循环，从1949年到2029年经过80年，且1949年为“己丑”年，以1949年的天干和地支分别为首项，80÷10＝8，则2029年的天干为己；80÷12＝6……8，则2029年的地支为酉，故选D.答案D二、填空题(每小题5分，共15分)7．对于平面几何中的命题“夹在两平行线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题______．解析利用类比推理可知，平面中的直线应类比空间中的平面．答案夹在两平行平面间的平行线段相等8．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．解析∵两个正三角形是相像的三角形，∴它们的面积之比是相像比的平方．同理，两个正四面体是两个相像几何体，体积之比为相像比的立方，所以它们的体积比为1∶8.答案1∶89．设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)，…fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2019(x)＝________．解析∵f1(x)＝cosx，f2(x)＝－sinx，f3(x)＝－cosx，f4(x)＝sinx，f5(x)＝cosx，…呈周期性出现，∴f2019(x)＝f4(x)＝－cosx.答案－cosx三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)在德国布莱梅实行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2，3，4，…堆最底层(第一层)分别按下图所示方式固定摆放，从其次层起先，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球总数．(1)求f(3)的值；(2)用n表示f(n)．解析(1)视察分析知：f(1)＝1，f(2)＝1＋(1＋2)＝4，f(3)＝1＋(1＋2)＋(1＋2＋3)=10．(2)f(n)＝1＋(1＋2)＋(1＋2＋3)＋…＋(1＋2＋…＋n)＝eq\f(n（n＋1）（n＋2）,6).11．(12分)若a1，a2∈R＋，则有不等式eq\f(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2),2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a1＋a2,2)))eq\s\up12(2)成立，此不等式能推广吗？请你至少写出两个不同类型的推广．解析可以从a1，a2的个数以及指数上进行推广．第一类型：eq\f(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2,3),3)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a1＋a2＋a3,3)))eq\s\up12(2)，eq\f(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2,3)＋aeq\o\al(2,4),4)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a1＋a2＋a3＋a4,4)))eq\s\up12(2)，…eq\f(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n),n)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a1＋a2＋…＋an,n)))eq\s\up12(2).其次类型：eq\f(aeq\o\al(3,1)＋aeq\o\al(3,2),2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a1＋a2,2)))eq\s\up12(3)，eq\f(aeq\o\al(4,1)＋aeq\o\al(4,2),2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a1＋a2,2)))eq\s\up12(4)，…eq\f(aeq\o\al(n,1)＋aeq\o\al(n,2),2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a1＋a2,2)))eq\s\up12(n).第三类型：eq\f(aeq\o\al(3,1)＋aeq\o\al(3,2)＋aeq\o\al(3,3),3)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a1＋a2＋a3,3)))eq\s\up12(3)，eq\f(aeq\o\al(4,1)＋aeq\o\al(4,2)＋aeq\o\al(4,3)＋aeq\o\al(4,4),4)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a1＋a2＋a3＋a4,4)))eq\s\up12(4)，…eq\f(aeq\o\al(n,1)＋aeq\o\al(n,2)＋…＋aeq\o\al(n,n),n)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a1＋a2＋…＋an,n)))eq\s\up12(n).12．(13分)已知椭圆具有以下性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上随意一点，若直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．试对双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1写出具有类似的性质，并加以证明．解析类似的性质为：若M、N是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上随意一点，若直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．证明如下：设点M、P的