2024-2025学年高中数学第2章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法与分析法学案新人教B版选修1-2

PAGEPAGE12．2.1综合法与分析法1.了解干脆证明的基本方法．2.理解综合法和分析法的思索过程及特点．3.会用综合法与分析法解决数学问题．1．干脆证明(1)定义：从命题的条件或结论动身，依据已知的定义、公理、定理，干脆推证结论的真实性．(2)常用方法：综合法、分析法．2．综合法(1)定义：是从缘由推导到结果的思维方法(由因导果)，即从已知条件动身，经过逐步的推理，最终达到待证结论．(2)推证步骤：P0(已知)⇒P1⇒P2⇒…⇒Pn(结论)．3．分析法(1)定义：是从结果追溯到产生这一结果的缘由的思维方法(执果索因)，即从待证结论动身，一步一步寻求结论成立的充分条件，最终达到题设的已知条件或已被证明的事实．(2)步骤：B(结论)⇐B1⇐B2⇐…⇐Bn⇐A(已知)．1．推断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)综合法是执果索因的逆推证法．()(2)分析法就是从结论推向已知．()(3)分析法与综合法证明同一个问题时，一般思路恰好相反，过程相逆．()答案：(1)×(2)√(3)√2．欲证eq\r(2)－eq\r(3)＜eq\r(6)－eq\r(7)，只需证明()A．(eq\r(2)－eq\r(3))2＜(eq\r(6)－eq\r(7))2B．(eq\r(2)－eq\r(6))2＜(eq\r(3)－eq\r(7))2C．(eq\r(2)＋eq\r(7))2＜(eq\r(6)＋eq\r(3))2D．(eq\r(2)－eq\r(3)－eq\r(6))2＜(－eq\r(7))2答案：C3．函数f(x)＝ax＋b在(－∞，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________．答案：(0，＋∞)综合法的应用如图，在四棱锥P­ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.(1)求证：DC⊥平面PAC.(2)求证：平面PAB⊥平面PAC.【证明】(1)因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥DC.又因为DC⊥AC，且PC∩AC＝C，所以DC⊥平面PAC.(2)因为AB∥DC，DC⊥AC，所以AB⊥AC.因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥AB.又因为PC∩AC＝C，所以AB⊥平面PAC.又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC.eq\a\vs4\al()综合法证明问题的步骤已知a、b、c是不全相等的正数，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)>6abc.证明：因为a、b、c是正数，所以b2＋c2≥2bc，所以a(b2＋c2)≥2abc.①同理，b(c2＋a2)≥2abc，②c(a2＋b2)≥2abc，③因为a、b、c不全相等，所以b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，a2＋b2≥2ab三式中不能同时取到“＝”．所以①②③式相加得a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)>6abc.分析法的应用在锐角△ABC中，求证：tanA·tanB>1.【证明】要证tanAtanB>1，只需证eq\f(sinAsinB,cosAcosB)>1，因为A、B均为锐角，所以cosA>0，cosB>0.即证sinAsinB>cosAcosB，即cosAcosB－sinAsinB<0，只需证cos(A＋B)<0.因为△ABC为锐角三角形，所以90°<A＋B<180°，所以cos(A＋B)<0，因此tanAtanB>1.eq\a\vs4\al()分析法证明数学问题的方法若a>0，证明eq\r(a2＋\f(1,a2))－eq\r(2)≥a＋eq\f(1,a)－2.证明：要证eq\r(a2＋\f(1,a2))－eq\r(2)≥a＋eq\f(1,a)－2，只需证eq\r(a2＋\f(1,a2))＋2≥a＋eq\f(1,a)＋eq\r(2).只需证eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al(\r(a2＋\f(1,a2)))＋2))eq\s\up12(2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)＋\r(2)))eq\s\up12(2)，即证a2＋eq\f(1,a2)＋4＋4eq\r(a2＋\f(1,a2))≥a2＋eq\f(1,a2)＋2＋2＋2eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))，只需证eq\r(a2＋\f(1,a2))≥eq\f(\r(2),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))，只需证a2＋eq\f(1,a2)≥eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2＋\f(1,a2)＋2))，即证a2＋eq\f(1,a2)≥2，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,a)))eq\s\up12(2)≥0，明显成立，所以原不等式成立．综合法与分析法的综合应用△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，其角A、B、C的对边分别为a、b、c，求证(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.【证明】法一：(分析法)要证(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1成立，即证eq\f(1,a＋b)＋eq\f(1,b＋c)＝eq\f(3,a＋b＋c)成立，即eq\f(a＋b＋c,a＋b)＋eq\f(a＋b＋c,b＋c)＝3，化简，得eq\f(c,a＋b)＋eq\f(a,b＋c)＝1，又需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，即c2＋a2＝b2＋ac，又△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，所以B＝60°.由余弦定理，得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(1,2)，所以a2＋c2－b2＝ac，所以原命题成立．法二：(综合法)因为△ABC三个内角A，B，C成等差数列，所以B＝60°.由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2accos60°，即c2＋a2＝ac＋b2，两边同时加ab＋bc，得c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，两边除以(a＋b)(b＋c)，得eq\f(c,a＋b)＋eq\f(a,b＋c)＝1.所以(eq\f(c,a＋b)＋1)＋(eq\f(a,b＋c)＋1)＝3，即eq\f(1,a＋b)＋eq\f(1,b＋c)＝eq\f(3,a＋b＋c)，所以(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.eq\a\vs4\al()在解决问题时，我们常常把综合法和分析法综合起来运用．依据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论P；依据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论Q，若由Q可以推出P成立，就可证明结论成立．1.设a，b∈(0，＋∞)，且a≠b，求证：a3＋b3＞a2b＋ab2.证明：法一：(分析法)要证a3＋b3＞a2b＋ab2成立，即需证(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)成立．又因a＋b＞0，故只需证a2－ab＋b2＞ab成立，即需证a2－2ab＋b2＞0成立，即需证(a－b)2＞0成立．而依题设a≠b，则(a－b)2＞0明显成立．由此不等式得证．法二：(综合法)a≠b⇔a－b≠0⇔(a－b)2＞0⇔a2－2ab＋b2＞0⇔a2－ab＋b2＞ab.因为a＞0，b＞0，所以a＋b＞0，所以(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)．所以a3＋b3＞a2b＋ab2.2．在某两个正数x，y之间插入一个数a，使x，a，y成等差数列，插入两数b，c，使x，b，c，y成等比数列，求证：(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)．证明：由已知得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＝x＋y，,b2＝cx，,c2＝by，))所以x＝eq\f(b2,c)，y＝eq\f(c2,b)，即x＋y＝eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,b)，从而2a＝eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,b).要证(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)，只需证a＋1≥eq\r((b＋1)(c＋1))成立．只需证a＋1≥eq\f((b＋1)＋(c＋1),2)即可．也就是证2a≥b＋c.而2a＝eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,b)，则只需证eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,b)≥b＋c成马上可，即证b3＋c3＝(b＋c)(b2－bc＋c2)≥(b＋c)bc，即证b2＋c2－bc≥bc，即证(b－c)2≥0成立，上式明显成立，所以(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)．1．分析法解题方向较为明确，有利于找寻解题思路；综合法条理清楚，宜于表述，因此，在实际解题时，通常以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述过程．2．综合法和分析法是证明数学问题的基本方法．在解决问题时既能单独运用也可以交替运用．1．利用综合法证明问题时，要把产生某结果的详细缘由写完整，不行遗漏．2．用分析法书写证明过程时，格式要规范，一般为“欲证…，只需证…，只需证…，由于…明显成立(已知，已证…)，所以原结论成立．”其中的关联词语不能省略．1．干脆证明中最基本的两种证明方法是()A．类比法与归纳法B．综合法与分析法C．反证法和二分法D．换元法和配方法解析：选B．干脆证明的方法包括综合法与分析法．2．函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，若当x≤1时，f(x)＝(x＋1)2－1，则当x>1时，f(x)的解析式为__________．解析：因为函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以有f(x)＝f(2－x)，当x>1时，有2－x<1，则f(2－x)＝[(2－x)＋1]2－1＝(3－x)2－1＝(x－3)2－1＝f(x)．答案：f(x)＝(x－3)2－13．设a＝eq\r(2)，b＝eq\r(7)－eq\r(3)，c＝eq\r(6)－eq\r(2)，则a，b，c的大小关系是________．解析：要比较b与c的大小，只需比较eq\r(7)＋eq\r(2)与eq\r(3)＋eq\r(6)的大小，只需比较(eq\r(7)＋eq\r(2))2与(eq\r(3)＋eq\r(6))2的大小，即比较eq\r(14)与eq\r(18)的大小，明显eq\r(14)<eq\r(18)，从而eq\r(7)－eq\r(3)<eq\r(6)－eq\r(2)，即b<c，类似可得a>c，所以a>c>b.答案：a>c>b[A基础达标]1．分析法是从要证的结论动身，逐步寻求结论成立的()A．充分条件 B．必要条件C．充要条件 D．等价条件解析：选A．由分析法的要求知，应逐步寻求结论成立的充分条件．2．要证：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明()A．2ab－1－a2b2≤0B．a2＋b2－1－eq\f(a2＋b2,2)≤0C．eq\f((a＋b)2,2)－1－a2b2≤0D．(a2－1)(b2－1)≥0解析：选D．要证：a2＋b2－1－a2b2≤0，只需证：a2b2－a2－b2＋1≥0，只需证：(a2－1)(b2－1)≥0，故选D．3．若a＞1，0＜b＜1，则下列不等式中正确的是()A．ab＜1 B．ba＞1C．logab＜0 D．logba＞0解析：选C．ab＞a0＝1，ba＜b0＝1，logab＜loga1＝0，logba＜logb1＝0.4．若a<b<0，则下列不等式中成立的是()A．eq\f(1,a)<eq\f(1,b)B．a＋eq\f(1,b)>b＋eq\f(1,a)C．b＋eq\f(1,a)>a＋eq\f(1,b)D．eq\f(b,a)<eq\f(b＋1,a＋1)解析：选C．因为a<b<0，所以eq\f(1,a)>eq\f(1,b).由不等式的同向可加性知b＋eq\f(1,a)>a＋eq\f(1,b).5．下列函数f(x)中，满意“对随意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)成立”的是()A．f(x)＝eq\f(1,x)B．f(x)＝(x－1)2C．f(x)＝exD．f(x)＝ln(x＋1)解析：选A．本题就是找哪一个函数在(0，＋∞)上是减函数，A项中，f′(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝－eq\f(1,x2)＜0，所以f(x)＝eq\f(1,x)在(0，＋∞)上为减函数．6．设a＝eq\r(3)＋2eq\r(2)，b＝2＋eq\r(7)，则a，b的大小关系为________．解析：a＝eq\r(3)＋2eq\r(2)，b＝2＋eq\r(7)，两式的两边分别平方，可得a2＝11＋4eq\r(6)，b2＝11＋4eq\r(7)，明显，eq\r(6)<eq\r(7).所以a<b.答案：a<b7．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2eq\r(3)，则△ABC的面积等于________．解析：如图所示，在△ABC中，由正弦定理得eq\f(2\r(3),sin60°)＝eq\f(4,sinB)，解得sinB＝1，所以B＝90°，所以S△ABC＝eq\f(1,2)×AB×2eq\r(3)＝eq\f(1,2)×eq\r(42－(2\r(3))2)×2eq\r(3)＝2eq\r(3).答案：2eq\r(3)8．假如aeq\r(a)＞beq\r(b)，则实数a，b应满意的条件是________．解析：要使aeq\r(a)＞beq\r(b)成立，只需(aeq\r(a))2＞(beq\r(b))2，只需a3＞b3＞0，即a，b应满意a＞b＞0.答案：a＞b＞09．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cosAsinB＝sinC．推断△ABC的形态．解：因为A＋B＋C＝180°，所以sinC＝sin(A＋B)．又2cosAsinB＝sinC，所以2cosAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，所以sin(A－B)＝0.又A与B均为△ABC的内角，所以A＝B.又由(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，得(a＋b)2－c2＝3ab，a2＋b2－c2＝ab.又由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得a2＋b2－c2＝2abcosC.所以2abcosC＝ab，cosC＝eq\f(1,2)，所以C＝60°.又因为A＝B，所以△ABC为等边三角形．10．求证：当一个圆和一个正方形的周长相等时，圆的面积比正方形的面积大．证明：设圆和正方形的周长为L，故圆的面积为πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(L,2π)))eq\s\up12(2)，正方形的面积为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(L,4)))eq\s\up12(2)，则本题即证πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(L,2π)))eq\s\up12(2)＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(L,4)))eq\s\up12(2).要证πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(L,2π)))eq\s\up12(2)＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(L,4)))eq\s\up12(2)，即证eq\f(πL2,4π2)＞eq\f(L2,16)，即证eq\f(1,π)＞eq\f(1,4)，即证4＞π，因为4＞π明显成立，所以πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(L,2π)))eq\s\up12(2)＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(L,4)))eq\s\up12(2).故原命题成立．[B实力提升]11．在不等边三角形中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满意什么条件()A．a2<b2＋c2 B．a2＝b2＋c2C．a2>b2＋c2 D．a2≤b2＋c2解析：选C．由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)<0，所以b2＋c2－a2<0，即b2＋c2<a2.12．如图所示，四棱柱ABCD­A1B1C1D1的侧棱垂直于底面，满意________时，BD⊥A1C(写上一个条件即可)．解析：要证BD⊥A1C，只需证BD⊥平面AA1C.因为AA1⊥BD，只要再添加条件AC⊥BD，即可证明BD⊥平面AA1C，从而有BD⊥A1C.答案：AC⊥BD(答案不唯一)13．如图，几何体E­ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.(1)求证：BE＝DE；(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.证明：(1)取BD的中点O，连接CO，EO，则由CB＝CD知，CO⊥BD.又EC⊥BD，EC∩CO＝C，所以BD⊥平面OCE，所以BD⊥EO，又O为BD的中点，所以BE＝DE.(2)取AB的中点N，连接MN，DN，DM.因为M，N分别是AE，AB的中点，所以MN∥BE.又MNeq\o(⊂,\s\up0(/))平面BEC，BE⊂平面BEC，所以MN∥平面BEC.因为△ABD为正三角形，所以DN⊥AB.由∠BCD＝120